8.4 幂级数 主要内容： 1. 函数项级数的概念 2.幂级数及其收敛域 3、幂级数的运算性质 4、泰勒级数

一、 函数项级数的概念 定义1 给定一个定义在区间I上的函数列 则由这个函数列构成的表达式 称为定义在区间I上的函数项级数．

对于每一个确定的值 ，函数项级数(1)成为常数项级数 它可能收敛，也可能发散，因此，我们有如下定义: 定义2 设 如果级数(2)收敛，则称x0是函数项级数(1)的收敛点． 如果级数(2)发散，则称x0是函数项级数(1)的发散点．所有收敛点的全体称为(1)的收敛域，所有发散点的全体称为(1)的发散域．

例如，函数项级数 是以变量x为公比的几何级数，由第一节例1知道，当|x|<1时，级数(3)收敛；当|x|≥1时，级数(3)发散．故收敛域为(-1,1)，发散域为 （-∞，-1]U[1，+∞）。

设I0为级数(1)的收敛域，对应于收敛域I0内的任意一个数x，级数(1)成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s，它是x的函数，记为s(x)，称为函数项级数(1)的和函数，即 例如，级数(3)的收敛域(-1,1)内的和函数为

把函数项级数(1)的前N项的部分和记作)sn(x)，则在收敛域I0上均有 我们仍称 为函数项级数(1)的余项，于是有

二、幂级数及其收敛域 下面我们讨论在理论和实践中都有着广泛应用的一种函数项级数，即幂级数．它是函数项级数中一类重要而又常见的级数． 定义3 形如 称为定义在区间I上的函数项级数． 其中a0 ,a1 ,…,an,…称为幂级数的系数．

例如 都是幂级数． 更一般的形式是

级数(5)称为在点处的幂级数，当x0=0时，便成为幂级数(4)； 当x0≠0时，令t=x-x0，此时幂级数(5)变为 因此,我们主要讨论幂级数(4)． 对于给定的幂级数(4)，它的收敛域是怎样的？这包括两个方面的问题，其一是收敛域的形式，其二是收敛域的求法． 我们已经讨论过幂级数(3)的收敛性，它的收敛域是开区间(-1,1)，这是一个以原点为中心的区间．事实上，这个结论对于一般的幂级数也是成立的，我们有下面的定理:

定理1 幂级数(4)的收敛性必为下述三种情形之一： (ⅰ) 仅在x=0处收敛； (ⅱ) 在（-∞， +∞ ）内处处绝对收敛； (ⅲ) 存在确定的正数，当∣x∣＜R时绝对收敛；当∣x∣＞R时发散．

定理1所列情形(ⅲ)中的正数R称为幂级数(4)的收敛半径， (- R, R)称为收敛开区间．由于幂级数(4)在x=± R处可能收敛，也可能发散，因此它的收敛域可能是(- R, R)， [- R, R) ， (- R, R]或[- R, R]四种区间之一． 在情形(ⅰ)中，规定收敛半径R =0，这时幂级数(4)仅在x=0处收敛．在情形(ⅱ)中，规定收敛半径R = +∞ ，这时收敛域为区间（ -∞ ， +∞ ）． 关于幂级数收敛半径的求法，有下面的定理:

定理2 设幂级数 的系数满足 则有

例1 求幂级数 的收敛半径和收敛区间． 解 因为 所以收敛半径 于是收敛开区间为(-1,1)．

当x=-1时，级数成为 ，发散；当x =1时，级 数成为交错级数 收敛．因此，所给幂级数 的收敛区间为 (-1,1] .

例2 求幂级数 的收敛区间． 解 因为 所以收敛半径 从而收敛域为（ -∞ ， +∞ ）．

例3 求幂级数 收敛区间． 解 令t=x-1,则所给幂级数成为 因为 所以收敛半径

当t= -2时，级数 成为交错级数 ，收 敛;当t= - 2时，级数 成为调和级数 , 发散．因此级数 的 收敛区间[-2,2] ．故所给级数的收敛区间为[-1,3]．

例4 求幂级数 的收敛半径． 解 由于级数缺少奇次幂的项，不能直接应用定理2，我们根据比值审敛法来求收敛半径．设 则有

时， 级数发散，故所求级数的收敛半径

三、幂级数的运算性质 下面我们讨论在理论和实践中都有着广泛应用的一种函数项级数，即幂级数．它是函数项级数中一类重要而又常见的级数． 其中

其中 的和函数s(x)在(-R,R)内连续．

性质4 设R为幂级数 的收敛半径，且． 则有 性质4表明，幂级数逐项积分等于原级数的积分．

性质5 设R为幂级数 的收敛半径，且． 则(ⅰ) s(x)可导，且 这个性质表明，幂级数逐项求导等于原级数求导． 反复应用这个结论可得:幂级数的和函数在收敛开区间(-,)内具有任意阶的导数．

例5 求幂级数 的和函数． 解 设 则有 故当x2＜1，即∣x∣＜1时，级数收敛；当x2＞1， 即∣x∣＞1时，级数发散．

当x=±1时，级数成为 ，级数发散． 因此所给级数的收敛区间为(-1,1)．设 则有 注意到s(0)=0，则有

例6 求幂级数 的和函数， 并由此计算级数 解 令x-1=t，则幂级数变为 显然这个幂级数的收敛区间为(-1,1)．设

则有 上式两边求导，可得 从而可知幂级数 的和函数为

四、泰勒级数 1、泰勒级数 前面讨论了幂级数的收敛区间及其和函数的性质，由此我们看到，幂级数不仅结构简单，而且还有很多特殊的性质．但从应用的角度出发，我们遇到的却是相反的问题：给定函数f(x)，是否能找到一个幂级数它在某区间内收敛，且其和函数恰好就是给定的函数f(x) ．如果能找到这样的幂级数，我们就说函数f(x)在该区间内能展开成幂级数，或简单地说，函数f(x)能展开成幂级数，而幂级数就称为的幂级数展开式．

在这里需要解决两个问题 其一，假若函数f(x)能展开成幂级数，其系数如何确定？ 其二，函数f(x)应满足什么条件才能展开成幂级数？

定理3 假设在点处及其近旁，函数f(x)可展成(x-x0)的幂级数，即 则 （证明略） 此定理表明，如果在点x0处及其近旁，函数f(x)能展成(x-x0)的幂级数，则幂级数的系数完全由函数f(x)在x0处的导数值唯一确定，可见f(x)的幂级数展开式是唯一的．

定义 如果函数f(x)在点x0处及其近旁具有各阶导数，则称级数

特别地,当x0 =0时，泰勒级数为 级数(3)称为f(x)的麦克劳林级数． 关于这由上面讨论可知，如果f(x)在点x0处及其近旁能展开成幂级数，则它必为泰勒级数(2)．因此， f(x)能不能展开成幂级数，就看级数(2)的和函数s(x)与在点x0处及其一点近旁是否恒等．

定理4 设在f(x)点x0处及其近旁具有任意阶导数，则f(x)在点x0处及其近旁能展开成泰勒级数的充要条件为f(x)的n阶泰勒公式的余项Rn(x)满足 这个定理不予证明．

2、函数的幂级数展开式 （1） 直接展开法 例7 将函数f(x)=ex展开成的幂级数 解 初等函数f(x)=ex在（-∞， ∞ ）内具有任意阶导数 因此 于是f(x)的麦克劳林级数为 易求得它的收敛半径R=+ ∞，因此

例8 将函数f(x)=sinx展开成x的幂级数 当n取0,1,2,…时，f(n)(0)依次地取0,1,0,-1,…,于是得级数 易求得它的收敛半径R=+ ∞，因此

（2） 间接展开法 用直接展开的方法将函数展开成幂级数，计算量较大．下面我们将介绍间接展开的方法．这就是利用幂级数展开式的唯一性及一些已知函数的展开式，通过四则运算、求导、积分以及变量代换等，将所给的函数展开成幂级数．

例9 将函数f(x)=cosx展开成x的幂级数 解 因为 对(6)式两边求导，即得

例10 将函数f(x)=ln(1-x)展开成x的幂级数 解 因为 两边积分得

例11 将函数f(x)= arctanx展开成x的幂级数 解 因为 将x换成x2得 两边积分得 即

例12 将函数 展开成x的幂级数． 解 因为 而

因此,在|x|＜2内，有

五、小结 １、函数项级数的概念 2、幂级数及其收敛域 3、幂级数的运算性质 4、泰勒级数 作业