为什么要用三级火箭来发射人造卫星 为什么不能用一级火箭,而必须用多级火 箭来发射人造卫星? 为什么一般都采用三级火箭系统？

为什么不能用一级火箭发射人造卫星? （1）卫星能在轨道上运动的最低速度 假设： 分析： 根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: （i）卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此 轨道上作匀速圆周运动； （ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的 引力忽略不计。 分析： 根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: 在地面有 得 故 R为地球半径，约为6400公里

卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力，故： 从而 （2）火箭推进力及速度的分析 假设：不计外力 分析：记火箭在时刻 t 的质量和速度分别为m(t) 和υ(t) ，有 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），由动量守恒定理： R=6400km r=7000km 送入高度为600km的轨道，火箭的末速度为7.6km/s 得 由此解得： υ0和m0一定的情况下，火箭速度υ(t)由喷发速度u及质量比决定。

（3）火箭推进力及速度的分析 为常数 现将火箭——卫星系统的质量分成三部分： （i）mp（有效负载，如卫星） （ii）mf（燃料质量） （iii）mS（结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）。 最终质量为 mP+mS,初始速度为0，所以末速度： 一般地 为常数 则末速度为 特别地，当mP=0时

（4）理想火箭模型 假设：记结构质量 mS 在 mS+mf 中占的比例为λ，假设火箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以λ与（1－λ）的比例同时减少。 由动量守恒得 得 - 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP 所以最终速度为：

只要m0足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。 考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星要使υ=10.5公里/秒才行，则可推算出m0/ mp约为50,即发射一吨重的卫星大约需要50吨重的理想火箭

（5）理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统 记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第i级火箭的质量，mP表示有效负载。 考虑二级火箭. 先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的λ,即i级火箭中λmi为结构质量,（1－λ）mi为燃料质量。 （ii）设m1=k(m2+mP)，m2=kmP 当第一级火箭燃烧完时，其末速度为： 当第二级火箭燃尽时，末速度为：

又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，仍设u=3公里/秒，且为计算方便，近似取λ=0.1，则可得 要使υ2=10.5公里/秒，则应使: 即k≈11.2，而: 三级火箭比二级火箭几乎省了一半 类似地，可以推算出三级火箭： 在同样假设下: 要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP≈77。

是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四 级、五级等火箭进行讨论。

考虑n级火箭： 记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在相同的假设下若mP等于1吨，可以计算出相应的m0的值，见下表 1 2 3 4 5 … ∞（理想） 火箭质量（吨） / 149 77 65 60 … 50 由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器， 所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭 提供了一个最好的方案。 当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制 作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭

（6）火箭结构的优化设计 前面假设(ii)有点强加的味道。现去掉该假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。 记：

则

等价于 的条件极值。 利用Lagrange乘子法，设Lagrange函数

由对称性我们知道这3个数相等时v/u最大。 求导得： A1=a2=a3得到a1-1=a2-1=a3-1,进一步有： k的假设是正确的 由对称性我们知道这3个数相等时v/u最大。

火箭结构优化设计讨论中我们得到与 假设（ii）相符的结果，这说明前面 的讨论都是有效的！

SARS的建模和预测 SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS从2002年11月份开始在我国和世界范围内流行，到2003年6月23日为止，世界卫生组织(WHO)报道的SARS患者已经达到了8459人，其中802人死亡。 中国是SARS流行的重灾区，到2003年6月23日为止的SARS患者为5326人，其中347人死亡。给人民生活和国民经济的发展带来了巨大的影响。

ＳＡＲＳ是由一种冠状病毒引起的传染性很强的呼吸道传染病，它主要通过近距离空气飞沫以及接触病人呼吸道分泌物和密切接触进行传播，也可能通过病人飞沫污染物、如通过手、衣物、食物、水或环境等途径传播。ＳＡＲＳ潜伏期一般为2-11天，在潜伏期无感染 。SARS患者的主要症状有：发热（体温38℃以上）为首发症状，多为高热，并可持续1-2周以上，可伴有寒战或其他症状，包括头痛、全身酸痛和不适、乏力，部分病人在早期也会有轻度的呼吸道症状(如咳嗽、咽痛等）。 SARS患者治愈后不会再被感染。

假设： 1）单位时间感染的人数与现有的感染者成比例； 2）单位时间内治愈的人数与现有的感染者成比例； 3）单位时间内死亡的感染者与现有感染者成比例； 4）SARS患者治愈恢复后不再被感染； 5）各类人口的自然死亡可以忽略； 6）忽略迁移的影响。

令I(t)是第t天时SARS感染者的数量， 则 I(t+1)=I(t)+ b(t)I(t)-[d(t)+c(t)]I(t), 模型 令I(t)是第t天时SARS感染者的数量， 则 I(t+1)=I(t)+ b(t)I(t)-[d(t)+c(t)]I(t), b(t)为感染率，d(t)为死亡率，c(t)为治愈率。 模型简化为 I(t+1)=I(t)+ r(t)I(t) 只要知道开始时SARS的感染人数和r(t)，就可以利用该模型进行预测。 r(t)的估计 r(t)=[I(t+1)-I(t)]/I(t) 利用实际数据计算，再进行曲线拟合 r(t)可由已知的I （T）的数据推算出。T=1,2,N.

SARS传播过程的成功预测 研究。建模思路与确 定参数的反推法为今 后的研究提供了新思 路。 建立了SARS在我国的传播模型，进行了理论研究并研制了预测与控制分析软件，于2003年5月21日向新闻媒体发布了我们的研究结果，预测按世界卫生组织(WHO)的标准，我国将于2003年6月下旬解除旅游警告。届时全国感染者数量累计6000人左右。与后来的实际情况吻合良好。我们还对不同隔离强度的影响作了具体 研究。建模思路与确 定参数的反推法为今 后的研究提供了新思 路。

评价与反响 报纸: 人民日报、北京日报、中国 网站: 东方网、人民网、中国信息 媒体关于我们对SARS研究情况的报道(2003年5月下旬): 青年报、文汇报、科技日报、 科学时报等 网站: 东方网、人民网、中国信息 网、科报网等100多个网站

数学建模的一般步骤 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构, 即建立数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。 实体信息(数据) 假设 建模 求解 验证 应用 在难以得出解析解时，也应当借助 计算机 求出数值解。

在不同的理解和假设下可以建立不同的模型，得到不同的结果，但是，不同的假设都应该有一定的合理性，不同的模型都应该在不同的侧面反映实际问题的特征，不同的结果都应该在不同的程度上反映客观事物的变化规律。 有人承认你的工作；展示自己工作的窗口；

用一些有趣的例子说明数学的应用 逐渐学会用数学语言‘翻译’实际问题 培养学习的兴趣和主动性

流言蜚语的传播问题 假设在某地区的总人口为N，在短期内不变，x(t)表示知道消息的人数所占的百分比，初始时刻的百分比为x0<1,传播率为h,则可以建立数学模型为

求解易得 且 显然这是不符合实际的，实际情况是未知者会从传播中得知，传播率为h，而有一部分人虽知消息，但不轻信，不去传播，于是可设不传播率为r，则数学模型可修正为

求解得 于是有 这样的结论表明： 随着时间的增长，消息慢慢地会淡化， 这是符合实际情况的。

电缆铺设设计 一条河宽1km，两岸各有城镇A与B，A与B的直线距离为4km，今需铺设一条电缆连结A与B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸为平行的直线，问应如何架设电缆方可使总的修建费用最少?

注意到下岸的过河地点可以自由选取，将起点选在A点最方便。设电缆到上岸的横坐标为 x ，目标函数为 等价于 这就是该实际问题的数学模型，解决方法：作图或描点;一元函数求极值;或：

几何方法 过点B作BM与BC成30°夹角，过A作AM⊥MB, 过C作CN⊥BM. 根据单位长度地下与水下电缆修建费用之比为1∶2的关系，有CN=CB/2, 故问题等价于AC+CN最短，由于AC+CN>AM,所以当C与P重合时最短。由此求得P点的坐标为

动物体重的变化问题 某动物从食物中每天得到2500卡的热量，其中1200卡用于基本的新陈代谢，每天每公斤的体重需要再消耗16卡。假如它每增加1公斤体重需要10000卡的热量。问该动物的体重怎样变化?

解1. 离散模型 设该动物的原始体重为w(0)kg, 每天剩余的热量全部转化为体重，由题目可设1卡热量可增加1/10000kg体重。w(n)为第n天的体重。（n>=1）可得关系式 w(n)=w(n-1)＋(2500-1200－16w(n-1))/10000

递推得

另外一种整理方法 w(n+1)-w(n)=(1- )(w(n)-w(n-1)) 令 c(n)=w(n)-w(n-1) c(n)= (1- ) c(n-1)=… = c(1)

利用Matlab画出不同初始值的图形如下

解2. 连续模型 设该动物t时刻的体重为x(t)，原始体重为x(0)kg, 每天剩余的热量全部转化为体重，由题意得 整理后得 求解得 解2. 连续模型 设该动物t时刻的体重为x(t)，原始体重为x(0)kg, 每天剩余的热量全部转化为体重，由题意得 整理后得 求解得 极限情况

问题的推广 每天得到的热量和基本的新陈代谢热量依 赖于体重的变化； 每天每公斤的体重需要再消耗； 每天热量的变化与体重有关; 每天基本热量的消耗与体重有关; 每天单位体重消耗的热量与年龄有关； ……

崖高的估算 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。 我有一只具有跑 表功能的计算器。

简单想法 记崖高为h 假定空气阻力不计，可以利用自由落体运动的公式来计算。 例如， 设测得时间为t=4秒， g=9.81米/秒2，则可求得 h ≈78.5 (米) 我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。

令k→ 0 + ，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果 进一步考虑 除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气阻力。根据力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数 r 为常数。 由牛顿第二定律可得： 令k→ 0 + ，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果 令k=r/m，解得 （1）式中对第二项进行展开e^(-kt)=1+(-k)+k^2/2+o() (1) 若设k=0.05,并仍设 t=4秒，则可求得h ≈73.6米。

深入考虑 多测几次，取平均值 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间。 不妨设平均反应时间为0.1秒。 假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒，代入式(1)求得 h≈69.9（米）

进一步深入考虑 声音传回需时间 为此，令石块下落的真正时间为t1，声音传回来的时间记为t2，得一个方程组： 这一方程组是非线性的，求解不容易。 为了估算崖高竟要去解一个非线性方程组似乎不合情理 340:声音的传播速度

仍设扣除反应时间后为t= 3.9秒，代入式(1)求得 h≈69.9（米） 则回声传回时间为 近似求解 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可用前一方法先求一次 h，再由声速公式得t2=h/340，和t=t1+ t2 校正t。 仍设扣除反应时间后为t= 3.9秒，代入式(1)求得 h≈69.9（米） 则回声传回时间为 t2 =h/340 ≈0.21（秒） 故 t1 =t-t2 ≈3.69 求得 h≈62.3 （米）

包饺子问题 通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个饺子 今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了0.4公斤，问：是否可以多包几个（小一些），或少包几个（大一些）将这些馅仍用1公斤面包完？ 多包：皮小一些；少包：皮大一些。 面积 体积

面积为S的一个皮，包成体积为V的饺子。若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。 问题 面积为S的一个皮，包成体积为V的饺子。若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。 S s … V v (共n个) V和 nv 哪个大? 定性分析 V比 nv大或小多少? 定量分析

假设 模型 应用 皮的厚度一样 饺子的形状一样 R ~大皮 的半径；r ~小皮的半径 V是 nv的 倍 若100个饺子包1公斤馅, 则50个饺子可以包 公斤馅 1.4