第5章 动态电磁场与电磁波

§5-1 动态电磁场 1.时变电磁场的边界条件 （1) 两种一般媒质分界面上的边界条件  H的边界条件 l 1 1 2 2 n0 2 1 H1        Js 1.时变电磁场的边界条件 （1) 两种一般媒质分界面上的边界条件  H的边界条件 应用积分形式的麦克斯韦第一方程，在令h0的前提下，得 由于 是有限量，如果分界面上没有传导面电流，则当h0时，上式右端为零。因此

应用积分形式的麦克斯韦第二方程，在令h0的前提下，得 如果分界面上有传导面电流，则 写成矢量形式，两式分别为  E的边界条件 E2 l 1 1 2 2 n0 2 1 E1 h 应用积分形式的麦克斯韦第二方程，在令h0的前提下，得 因为 是有限值，所以 写成矢量形式

时变场中磁感应强度B和电位移矢量D在两媒质分界面上的边界条件与静态场的相同，即 （2)理想介质与理想导体分界面上的边界条件 设媒质1电导率1=0；设媒质2电导率2=。媒质2中的传导电流密度J2不能是无穷大，由J=E可知，E2=0。  理想导体 H1 E1 n0 Js 由麦克斯韦第二方程，可知B2和H2不随时间变化，因而可以认为理想导体内也不存在磁场（B2=0和H2=0）。

由场量表示的边界条件 或 【例】两无限大导体平板分别位于z=0和z=d处，在两板之间的空气中有一时变电磁场，其电场强度 其中E0、、为常数。求磁场强度H和导体板表面上的面电流密度Js 解：由

下导体板（z=0）的外法线为n0=az 上导体板（z=d）的外法线为n0=-az

既然电场强度矢量的每一个坐标分量均是同频率的正弦时间函数，可以引入相量来表示每一个坐标分量，即 2.正弦电磁场的复数表示法 正弦电磁场场强矢量的每一个坐标分量均是同频率的正弦时间函数，其振幅和初相位都是空间坐标的函数。以电场强度为例，在直角坐标中可以表示为 其中各坐标分量为： 既然电场强度矢量的每一个坐标分量均是同频率的正弦时间函数，可以引入相量来表示每一个坐标分量，即

可以引入复矢量来表示电场强度矢量，其表达式为 相量与它对应的正弦量之间的数学关系为： 可以引入复矢量来表示电场强度矢量，其表达式为 它与对应的电场强度矢量之间的数学关系为 引入复矢量之后，正弦电磁场场强矢量的下列数学运算可以用对应的复矢量的运算来代替。  两个场强矢量相加或相减的运算可以用对应复矢量相加或相减的运算来代替；

 场强矢量对时间微分的运算可以用对应复矢量乘以因子j的运算来代替；  场强矢量乘以一个常数的运算可以用对应复矢量乘以一个常数的运算来代替；  场强矢量对时间微分的运算可以用对应复矢量乘以因子j的运算来代替；  场强矢量对时间积分的运算可以用对应复矢量除以因子j的运算来代替； 场强矢量对空间坐标微分的运算可以用对应复矢量对空间坐标微分的运算来代替； 场强矢量对空间坐标积分的运算可以用对应复矢量对空间坐标积分的运算来代替； 例如，电场强度对时间微分的运算可表示为： 再如电场强度的旋度可表示为：

微分形式的麦克斯韦方程的复数形式为 其中，场源J和已分别用它们所对应的复矢量和相量表示。 3.复介电常数和复磁导率 在正弦电磁场中，复介电常数是一个复数，可以表示为

其虚部总是大于零的正数，反映媒质的极化损耗。媒质单位体积的极化损耗平均功率为 当频率较低时，媒质的极化损耗常常可以忽略。对于线性、均匀、各向同性的媒质，在没有场源的空间，麦克斯韦第一方程的复数形式为 式中 称为等效复介电常数。与媒质的介电性能相似，媒质的导磁性能在高频下可以用复磁导率表示为

复磁导率的虚部也是与磁损耗相对应的。对于电介质，其损耗角正切定义为 对于导磁媒质，其损耗角正切定义为 良好媒质的损耗角正切在10-3以下。

§5-2 电磁场能量·坡印廷定理 电场能量密度与磁场能量密度为 在单位体积导电媒质中消耗的电功率为 由恒等式 上式为 对于各向同性的线性媒质

对任意闭合曲面 S 包围的体积V求积，并由散度定理得 由此可得 坡印廷定理 对任意闭合曲面 S 包围的体积V求积，并由散度定理得 传入V内电磁功率 V内电磁能量的增量 V内焦尔热损耗功率 令 坡印廷矢量，单位面积上的电磁功率 对于时谐电磁场，导电媒质吸收的复功率体密度为 仿照上述的推导过程，可得

§5-3 电磁位 这是时谐电磁场坡印廷定理的微分形式，其积分形式为 在时谐电磁场中，定义复坡印廷矢量为 媒质吸收的有功功率密度，等于电磁功率流面密度的平均值： §5-3 电磁位 定义动态矢量位 A为

由maxwell第二方程，可得 由此，可定义动态标量位为 将以上两式带入麦克斯韦方程，可得 引入洛仑兹规范： 可得：

以上两式称为电磁位的非齐次波动方程，又称为达朗贝尔方程。对于时谐电磁场，电磁位的非齐次波动方程的复数(有效值)形式为 式中 称为波数，单位为弧度/米 (rad/m). 令： 为电磁波的传播速度。在自由空间中 m/s 动态标量位满足的非齐次波动方程为：

位于坐标原点的时变元电荷dq = dV产生的标量位(r,t)= (r,t)仅为球坐标r 的函数。故在除坐标原点以外的整个无源空间，位函数 满足方程 即： (0 < r <)； 其通解为： 在无界空间中，上式右端第二项应舍去。位于原点的时变电荷产生的标量位为 式中函数 f1 取决于场域中的媒质和dq的变化形式。当dq与时间无关时，即为静电场，这时它所产生的电位为

对比可得位于原点的时变元电荷dq产生的标量位为 若元电荷dq不在原点，而位于r点，则令R =|r - r|为源点到场点的距离，可得其标量位 位于场域V 中的任意体分布电荷(r,t)，在场点r处产生的标量位

同理，可得位于场域V 中的任意体分布电流J(r,t)，在场点r处产生的动态矢量位为 动态标量位复数形式的解为：

同理可得动态矢量位复数形式的解为： 如果是线电流，动态矢量位复数形式的解为： 基本参量间的关系：

§5-4 电磁辐射 1.电偶极子的电磁场 设电偶极子长度 l远小于其上电流频率对应的电磁波波长，且其横截面可忽略不计。 为电流有效值相量,则 在球坐标系下, 根据， 可得

根据， 可得 2. 近场与远场 电偶极子的近区即 ( )中的场可近似表达为 利用电流与电荷的关系 ,电场的表达式式可写为

注1：场与源的相位完全相同。虽然源随时间变化，但它产生的近区场(近场)与静态场的特性完全相同，无滞后效应，所以近场也称为似稳场。 注2：电场强度和磁场强度的相位差为90，故坡印廷矢量的平均值Sav为零。事实上近场也有平均功率在传输，而且正是这部分功率提供了向外空间传送的辐射功率，只是相对于存储在近场的功率而言，其值可以忽略不计。 电偶极子的远区 ( )中的场可近似表达为 电场和磁场的振幅之比定义为介质的特性阻抗，即

在一般媒质中，则 远区空间任意一点复坡印廷矢量的平均值为 3. 方向图 辐射场的电场强度随角度变化的函数f( ,) 被称为天线的方向图因子。电偶极子的方向图因子为 电偶极子天线向外发出的总辐射功率为

如将上式写为 的形式，则 称为天线的辐射电阻。Rr 愈大则天线的辐射功率也就愈强。有时还常用 P 或 Rr 表示坡印廷矢量的平均值，即 【例】GSM系统双频移动电话天线的发射功率，当f=900 MHz时为0.1～2 W；当f =1.8 GHz时为0.1～1 W。若将该移动电话天线近似看作为偶极子天线，试分别计算距移动电话3 cm处的最大功率面密度。 [解] 由 ，最大功率面密度在 ＝90 ， 当f＝900 MHz时，Savmax＝265.2 W/m2 ＝26.52 mW/cm2 当f＝1.8 GHz时，Savmax＝132.6 W/m2 ＝13.26 mW/cm2。 美国IEEE/ANSI标准规定功率面密度限值为1 mW/cm2

4. 电磁波频谱 1021 电磁波频谱分配图 10- 9 10 0 频率（Hz） 频 段 主 要 应 用 领 域 波长（m） 10-12 γ射线 癌症治疗，天体物理研究 x射线 医学诊断 1018 1015 1012 109 106 103 100 10-6 10-3 紫外线 杀菌 可见光 视觉显示，天文学研究，光通信 红外线 毫米波 加热，夜视，光通信 天文学研究，气象学研究 极高频（EHF） 特高频（SHF） 雷达，遥感 微 波 雷达，卫星通信，移动通信（800MHz～3GHz） 微波炉(2.45GHz),全球定位系统,移动通信,电视(14～83频道,470~890MHz) 超高频（UHF） 甚高频（VHF） 电视(2~4频道,54~72MHz;5~6频道,76~88MHz,7~13频道,174~216MHz) 调频广播(88~108MHz) 高频（HF） 中频（MF） 短波广播，业余无线电频带 中波广播（535～1605kHz） 低频（LF） 导航 甚低频（VLF） 超低频（ULF） 导航，定位和海上通信 电话，音频 特低频（SLF） 电力传输，水下通信 极低频（ELF） 地球勘探，脑电波 天线向空间发射电磁波信号，并占用一定的频谱宽度。因此，频谱成为一种特殊资源。为了防止电磁波信号相互干扰，必须将电磁波的频谱进行合理分配，并进行有效管理。