李清旭 数理学院 2014.09 liqx@cqupt.edu.cn, 2523 数学物理方法 48学时 李清旭 数理学院 2014.09 liqx@cqupt.edu.cn, 2523

课程概况 上课时间、地点 (周四 9-11节、4215) 教材 数学物理方法，梁昆淼等，高等教育出版社。 参考书 1. 数学物理方法, 姚端正, 武汉大学出版社。 2. 数学物理方法, 吴崇试, 北京大学出版社。 最终成绩 = 平时成绩(30%) + 期末考试成绩(70%)

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课程内容 数学物理方程及其傅里叶解 积分变换方法 常微分方程的幂级数解 球函数和柱函数

第七章 数学物理定解问题

数学物理方程的研究范围十分广泛，本课程主要 讲述线性偏微分方程，尤其是二阶线性偏微分方程的 相关内容。 这些方程是从各种物理问题中归纳总结出来的。 常见的二阶线性偏微分方程有如下三类：

机械波的波动方程 根据牛顿定律可以证明，机械波的波函数应满 足如下波动方程： （一维波动方程）

静电势的 Laplace 方程和 Poisson 方程 由静电场的性质： 或者: 稳定问题: 与时间无关. 在没有电荷的区域，静电势满足Laplace方程： 在有电荷分布的区域，静电势满足 Poisson 方程： （静电场方程）

量子力学中的 Schrödinger 方程 含时 Schrödinger 方程 如果势能函数不显含时间，则上述方程可简化为：

微分方程中的叠加原理实际上是物理规律中的叠加原理的反映。我们知道几个物理量同时存在时的效果常常等价于各个物理量单独存在时效果的叠加。叠加原理又称为独立作用原理。叠加原理是线性问题和非线性问题最本质的区别。在非线性的情况下，叠加原理不成立。

弦的横振动方程 考察长为 l ，两端固定、水平拉紧的均匀柔软而有弹性的弦．当它在平衡位置附近作垂直于弦的微小横振动时，求弦上各质点的运动规律。

根据牛顿第二定律，u 方向运动可以描述为： 由于弦作微小横振动，从而有： 由 得到

波速 弦的自由振动：f = 0, 弦的受迫振动：f ≠ 0,

上述弦振动方程的推导过程表明，该方程反映 弦振动这一类物理问题所遵循的物理规律。该方程 不涉及体系和外界的边界，也不涉及体系的历史状 况，从而并没有确定一个确定的物理体系或者物理 过程；通常称该方程为泛定方程。从数学的角度来 说，仅仅振动方程并不能确个确定的振动函数。

边界条件与初始条件 由物理学规律出发得到的数学物理方程是某一类（或几类） 物理现象所必需遵循的，并不能唯一地、确定地描写某一个具体 的物理过程。例如从Newton第二定律得到的动力学方程并不能唯 一地确定质点的运动；完全确定质点的运动还需要有初始条件。 一般地，要完全描写一个具有确定解的物理问题，在数学上 就是要构成一个定解问题。除了微分方程之外，构成定解问题还 必须有边界条件和初始条件。边界条件用于确定体系和外界的相 互作用；初始条件用于确定体系的历史状况。

初始条件 初始条件用于确定体系的历史状况，当所考察的物 理现象随时间变化时，需要确定体系的初始条件来唯一 确定地描述该现象。（稳定问题不需要初始条件） 对于传导或扩散过程，需要确定体系的初始状态： 对于振动过程，初始条件还需要包含速度的信息：

边界条件 常见的边界条件可以分为三类 体系的边界会影响体系的物理状态, 体系的边界情况由边界条件确定.边界条件反应体系和外界的界面上的情况. 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件

第一类边界条件 (Dirichlet条件)

第二类边界条件 (Neumann条件)

第三类边界条件 如杆的纵振动问题,若一端与一个一端固定的弹簧相连,则相应的边界条件为 (混合边界条件) 第三类边界条件给出未知函数和在边界上的法线方向的导数的线性组合在边界上的取值，即 如杆的纵振动问题,若一端与一个一端固定的弹簧相连,则相应的边界条件为

第一、二、三类边界条件可以统一地写成

定解问题的分类 数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件 一起构成了定解问题。根据定解条件的不同，又可以 把定解问题分为三类： 初值问题：定解条件仅有初值条件； 边值问题：定解条件仅有边值条件； 混合问题：定界条件有初值条件也有边值条件。

定解问题的适定性 定解问题解的存在性、唯一性和稳定性，统称为 定解问题的适定性。 存在性：定解问题是否有解. 唯一性：定解问题的解是否唯一. 稳定性：定解问题的解是否稳定. 只要对实际物理问题的抽象是合理的，初始条件完全、确定地描写了初始时刻体系内部和边界上的状况；边界条件完全而确定地描写了边界上的状况; 构成的定解问题就一定是适定的，解一定存在且唯一和稳定。

数学物理方程的常用解法 1.行波法 2.分离变量法 3.幂级数解法 4.格林函数法 5.积分变换法 6.保角变换法 7.变分法 8.计算机仿真解法 9.数值解法 数学物理方程的常用解法

在求解常微分方程时，通常的做法是先求出方程的通解，然后利用给定条件确定通解中的积分常数。对于如上定解问题，这种做法一般情况下是行不通的。原因在于通常很难求出偏微分方程的通解。 这里有一个特例，可以沿用求解常微分方程时的做法，即求出方程的通解，然后利用给定条件确定通解中的积分常数。这个特例就是无界弦的振动问题。

一维无界弦自由振动的定解问题为：

d’Alembert公式

作业1 P179：1，8.

The End