实际问题当中的微分方程模型 　　对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等（有传统领域，有新的非传统领域）。本专题首先归纳出微分方程模型所涉及的领域以及常见模型类型，然后列举几个领域的典型例子。

一、不同领域中的微分方程模型 1 社会及市场经济中的微分方程模型 （1）综合国力的微分方程模型 （2）诱发投资与加速发展的微分方程模型 （3）经济调整的微分方程模型 （4）广告的微分方程模型 （5）价格的微分方程模型

（1）军备竞赛的微分方程模型 （2）战争的微分方程模型 （3）战斗中生存可能性的微分方程模型 （4）战争的预测与评估模型 2 战争中的微分方程模型 （1）军备竞赛的微分方程模型 （2）战争的微分方程模型 （3）战斗中生存可能性的微分方程模型 （4）战争的预测与评估模型

3 人口与动物世界的微分方程模型 （1）单种群模型及进行开发的单种群模型 （2）弱肉强食模型 （3）两个物种在同一生态龛中的竞争排斥模型 （4）无管理的鱼类捕捞模型 （5）人口预测与控制模型

4 疾病的传染与诊断的微分方程模型 （1）艾滋病流行的微分方程模型 （2）糖尿病诊断的微分方程模型 （3）人体内碘的微分方程模型 （4）药物在体内的分布与排除模型

5 自然科学中的微分方程模型 　（1）人造卫星运动的微分方程模型 　（2）航空航天器翻滚控制的微分方程模型 　（3）非线性振动的微分方程模型 　（4）PLC电路自激振荡的微分方程模型 （5）盯梢与追击问题的微分方程模型

二、建立微分方程模型的一般方法 1 根据规律列方程 2 微元分析法 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。 2 微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。

3 模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

三、微分方程的解法 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解； 2）求数值解（近似解）； 3）定性理论方法。

四、典型案例分析 案例一 范. 梅格伦（Van Meegren）伪造名画案 问题： 第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了此人。Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画《耶稣在学者中间》。当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。

为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。 但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。

问题的分析： 著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：物质的放射性正比于现存物质的原子数。 设 t 时刻的原子数为N(t)，则有 其中 为物质的衰变常数，初始条件为 这是一阶常微分方程初值问题，其解为 从中解得 半衰期公式为 , 而碳-14、镭-226、铀-238、铅-210等的半衰期T分别为5568年、1600年、45亿年、22年，N(t)可以测定出，只要知道 就可算出断代。这正是问题的难处，下面是间接确定 的方法。

油画中的放射性物质 白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。

下图是铀裂变示意图 （放射性） （无放射性） 铀238 镭226 铅206 钋210 铅210

模型假设： 　（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用r表示。 （2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。 建模： 设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t)， 为制造时刻 每克白铅中含铅210的数量。 为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量为

模型求解： 这是一个一阶线性微分方程的初值问题，由常数变易法得其解为 变形为 均可测出，可算出白铅中铅的衰变率 ，再与 当时的矿物比较，以鉴别真伪。

测定分析与结论： 测定结果如图所示 画名 铅210衰变原子数 镭226衰变原子数 Emmaus的信徒们 8.5 0.82 洗足 12.6 0.26 读乐谱的妇人 10.3 0.3 弹曼陀林的妇人 8.2 0.17 做花边的人 1.5 1.4 欢笑的女孩 5.2 6.0

对第一幅画，各已知量为 代入 计算得 而矿石中铀的最大含量为 2~3%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过 4%。 可见铅210每分钟每克衰变不合理，故为赝品。同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。 注：类似于上例，在考古、地质学等方面专家常用碳定年代法（也是依靠放射性物质的性质）来估计文物或化石的年代。

案例二　放射性废料的处理问题 问题： 　　美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料时,一直采用把它们装入密封的圆桶里扔到水深约为91米海底的方法。对此，科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞发生破裂而造成核污染。原子能委员会分辩说不会发生这种情况。为此，工程师们进行了碰撞试验，发现当圆桶下沉速度超过12.2米/秒与海底碰撞时，圆桶就可能发生破裂。这样，为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶下沉到海底时速度是多少。已知圆桶重量为239.456千克，体积为0.208立方米，海水浮力为1025.94千克/立方米。于是，如果圆桶下沉速度小于12.2米/秒，说明原处理放射性

废料的方法是安全可靠的，否则，应该禁用原方法处理放射性废料。大量试验表明圆桶下沉时的阻力与圆桶的方位大致无关，而与下沉的速度成正比，比例系数为0.12。你能判断美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料方法是否合理吗？ 符号说明： w: 圆桶重量，这里为239.456千克 V: 圆桶体积，这里为0.208立方米 B:海水浮力，这里为1025.94×V=213.396千克 k: 圆桶下沉时的阻力系数，这里为0.12 v: 圆桶下沉时的速度 D: 圆桶下沉时的阻力，这里为kv t: 圆桶离开海平面下沉的时间，单位为秒 y (t)：圆桶在t时刻下沉的深度，单位为米

问题分析与求解： 因为圆桶下沉满足牛顿第二定律：运动物体受到的力等于该物体的质量与其运动加速度的乘积，即F=ma。在本问题中有 ，F=W-B-D=W-B-kv，y(0)=0，v(0)=0， 于是可以得到如下微分方程： 重力 浮力 阻力 (1)

y =-m/k^2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k^2 求解出函数y(t)后，求出圆桶下落到水深为91米海底的时间，即求满足y(t)=91的时间t1,然后求出在时间t1的速度即可以得到问题的解答。这里的速度关系由直接求函数y(t)对t的导数得到。 用Matlab软件求解。 ①　求解问题（１），Matlab命令为 syms t; syms y; y=dsolve('m*D2y+k*Dy-w+b=0','y(0)=0','Dy(0)=0') 运行结果为 y =-m/k^2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k^2 即

②　求解方程y(t)=91，先画出图形，命令为 b=1025.94*0.208; k=0.12; w=239.456; m=w/9.8; % 这里重力加速度取为9.8米/秒2 t=0 :0.1 :20 ; y=-m/k^2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k^2-91 ; plot(t,y) 运行结果如图

可见方程的根在t=13附近， 为求解方程，建立M文件： function y=my0(t) b=1025.94*0.208; k=0.12; w=239.456;

m=w/9.8; y=-m/k^2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k^2-91 ; 用如下的命令求解： t=fsolve(‘my0, 13) 结果为t =13.204223061992241 ③　求y(x)的导数，Matlab代码为 b=1025.94*0.208; k=0.12; w=239.456; m=w/9.8; syms t; y1=diff(-m/k^2*exp(-k/m*t)*(-w+b)-(-w+b)/k*t+m*(-w+b)/k^2-91) 

运行结果为 y1 = -3190720108293556007631/14692224126156800000*exp(- 21/4276*t)+81439/375 即 故t =13.204223061992241时的速度为v =13.636101129315506 　计算结果表明圆桶下沉到水深约为91米海底时的速度约为13.6361米/秒，这个速度大于12.2米/秒的速度，因此，计算结果说明美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料方法是不安全的。

案例三 弱肉强食微分方程模型 问题： 变量说明： 案例三　 弱肉强食微分方程模型 问题： 　　生活在同一环境中的各类生物之间，进行着残酷的生存竞争。设想一海岛，居住着狐狸与野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之丰富，兔子们无无食之忧，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐狸数量增加吃掉大量兔子，狐群又进入饥饿状态而使其总数下降，这时兔子相对安全，于是兔子总数回升。就这样，狐兔数目交替地增减，无休止的循环，遂形成生态的动态平衡。如何用建立数学模型描述并预测下一阶段情况？ 变量说明：

数学模型： x(t)―――t时刻兔子数目 y(t)―――t时刻狐狸数目 （１） 其中a, b, c, d 均为正常数。 模型各项意义 ax表示兔子的繁殖速度与现存兔子数成正比； -bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度； -cy表示狐狸因同类争食造成的死亡速度与狐狸总数成正 比； dxy表示狐兔相遇，对狐狸有好处而使狐狸繁殖增加的速 度。

这是意大利著名物理学著名生物数学家Volterra建立的微分方程模型，这是达尔文主义的数学表达，称为Volterra-Lotka模型。 模型求解与分析: 设该问题的初始条件为 （２） 令 得系统的两个稳定点（奇点）为 和 ①　取x(t)=0，求解问题（１）与（２），得其解为 　取y(t)=0，求解问题（１）与（２），得其解为

说明x轴和y轴都是方程组（１）的轨线，它们的实际意义是：如果没有兔子，狐狸因为没有食物将趋于死亡；而如果没有狐狸，兔子将无限制增长。 这是一个可分离变量的方程，积分得通解 两边取指数得 （３）

③　证明：当初值 时，方程（３）确定了xoy面上位于第一象限的一族封闭曲线。 ，由于 令 易证f(y)在 处取得极大值 ； 同理g(x)在 处取得极大值 ； 所以当 时，方程无 x > 0 , y > 0 的解； 当 时，方程有唯一解　　　　　　；

当 时，令　F(x , y)=g(x) f (y)，则F(x , y)在第一象限内连续，从而对第一象限内任意一条连接原点O与点S的连续曲线L，由于 ，即曲线F(x , y)= C与L相交。由L的任意性知，当 时，曲线（３）是封闭的。 ④　由于这些封闭曲线都不经过奇点S，可见任何从x(0)>0, y(0) > 0出发的轨线都具有周期性，即函数x(t) , y(t)满足

这说明若初始时既有兔子又有狐狸，则随着时间的增加，狐兔数量呈周期性变化，无休止的形成动态的生态平衡。 此外，当 时，由（１）式知 ，即y随着时间递增，从而(x(t),y(t))沿曲线逆向运动。 ⑤　对于模型（１），可用定积分计算的平均值。记平均值为 ，则 由于 ，故 而

从而　 ，即 。 同理可得 结果表明，当开始时，既有兔子又有狐狸，则随着时间的推移，狐兔数目均呈现周期变化，处于动态平衡。 但人类对自然界的生物群体要进行干涉，例如人类既猎取狐狸又滥杀兔子，于是可以建立下面的数学模型： （４） 其中 表示捕捉率。 　　同理分析可知，当　　　　　时修正模型（４）的解也是周期函数，并且平均值为

（5） （５）式表明：当　　　　，即捕捉率　不超过兔子的繁殖率a时，平均而言，兔子数量有所增加，狐狸的数量减少；若降低捕捉率 ，则会增加狐狸的数目而减少兔子的数目。因同时捕杀狐狸，故仍能保持动态平衡。当 ，即捕捉率超过兔子的繁殖率时，不论开始时狐兔数量如何，随着时间的推移，狐兔均因滥捕滥杀而灭绝。