§7.6 二重积分 二重积分的概念 二重积分的性质 二重积分的计算 小结 思考与练习
在这一节，我们将把一元函数定积分的概念及基本性 二重积分的概念 在这一节，我们将把一元函数定积分的概念及基本性 质推广到二元函数的定积分，即二重积分，为引出二重积 分的概念，我们先来讨论两个实际问题。 1.曲顶柱体的体积 体积公式来计算，但可采用这样的思想方法 体积公式来计算，但可采用这样的思想方法
（1）分割 （2）近似 （2）近似
即 即
(3)求和 就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值， 即 （4）取极限 即 即
2.平面薄板的质量 2.平面薄板的质量
定义 上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。 在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的 和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下 述二重积分的定义。 定义 上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。 定义
如果当个小闭区域的直径中的最大值 趋于零时， 最后附带指出，在二重积分的定义 这和的极限总存在，则称此极限为函数
边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭 区域。任取一小区域 也就是说，在直角坐标系下，有 边界
性质1 性质2 二重积分的性质 二重积分与一元函数定积分有类似的性质。下面所涉及 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面， 即 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重 二重 性质1
性质3 性质4 此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。 此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在 数值上就等于柱体的底面积。
性质5 特殊地，由于 又有不等式 性质6 性质6 特殊地，由于 又有不等式
性质7（二重积分的中值定理） 使得下式成立 性质7（二重积分的中值定理） 使得下式成立
按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的 二重积分的计算 按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的 被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区 域来说，这不是一种切实可行的方法。 1.在直角坐标系下二重积分的计算 三、二重积分的计算 1.在直角坐标系下二重积分的计算
其截面是一个曲边梯形，这个曲边梯形的“曲边”是曲线
由于整个曲顶柱体的体积为 由此，可得 或者写成 由于整个曲顶柱体的体积为 由此，可得 或者写成
定理7.9 记作 因此，等式7.6也写成 定理7.9 记作 因此，等式7.6也写成
定理7.10 设区域D为 记作 定理7.10 设区域D为
上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们 二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。 二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而 积分限是根据积分区域D的类型来确定的。
例1 解 对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时， 为了计算简便，需要选择恰当的二次积分次序。这时，既要 考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数 下面举例说明如何利用公式(7.6)计算二重积分。 例1 对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，下面 例1 解 解
（2）定限 （3）计算 例2 （2）定限 （3）计算 例2
解 （3）计算 解 （3）计算
下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式. 2.在极坐标系下二重积分的计算 按二重积分的定义有 下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式. 按二重积分的定义有 下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式. 曲线相交不多于两点,我们用以极点为中心的一族同心圆:
于是 于是 即
这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换 由于在直角坐标系中 也常记作 所以,上式又可写成 这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换 这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式,其中 公式（7.8）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的 公式（7.8）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变 变换为极坐标，只要把被积函数中的
接下来的问题，仍然是要将它化成二次积分来计算。为 接下来的问题，仍然是要将它化成二次积分来计算。为简便起见，一般都
二重积分化为二次积分的公式为 （7.9） 上式也写成 二重 上式也写成 （7.9）
例3 解 例3
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