§4 泰勒公式与极值问题 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式 三、极值问题 §4 泰勒公式与极值问题 就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似计算外, 又为建立极值判别准则作好了准备. 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式 三、极值问题 返回

一、高阶偏导数 如果它们关于 x 与 y 的偏导数也 存在, 说明 具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏 导数有如下四种形式:

类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 的三阶偏导数共有八种情形:

例1 解 由于

因此有

例2 数为

注意 在上面两个例子中都有

数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导 数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数 它的一阶偏导数为

的混合偏导数:

由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 式. 由于

因此有

类似地有 这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2) 相等的一个充分条件． 连续，则

(3) 证 令 于是有 (4)

由 (4) 则有 (5) 如果令

则有 用前面相同的方法, 又可得到 (6)

由定理假设 都在点 连 续, 故当 时, (7) 式两边极限都存 在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式． 合偏导数都与求导顺序无关． 注2 这个定理对 n 元函数的混合偏导数也成立. 例 如三元函数 的如下六个三阶混合偏导数

若在某一点都连续，则它们在这一点都相等． 今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外, 一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续． 复合函数的高阶偏导数 设 数 同样存在二阶连续

偏导数. 具体计算如下:

同理可得

例3 改写成如下形式:

由复合函数求导公式，有 自变量的复合函数．所以

二、中值定理和泰勒公式 二元函数的中值公式和泰勒公式, 与一元函数的拉 也有相同的公式，只是形式上更复杂一些． 先介绍凸区域 若区域 D 上任意两点的连线都含于 D, 则称 D 为凸区域 (图17- 6). 这就是说, 若 D 为 一切 恒有

上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两 图 17 - 6 凸 非凸 定理17.8 ( 中值定理 ) 设 在凸区域 上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两

的一元连续函数, 且在 (0, 1) 内可微. 根据一元函数 中值定理， ，使得 其中 (10)

(9), (10) 两式即得所要证明的 (8) 式． 注 若 D 为严格凸区域，即 ，都有

式成立 ( 为什么? )． 公式 (8) 也称为二元函数 (在凸域上) 的中值公式. 它与定理17.3 的中值公式 (12) 相比较, 差别在于这 请读者作为练习自行证明此推论．

例4 对 应用微分中值定 理，证明存在某个 分析 将上式改写成

之间应用微分中值定理． 证 首先, 当 , 有 再 计算偏导数:

定理17.9 (泰勒定理) 若 在点 内有直到 阶的连续偏导数, 则对 内任一点

其中

而首项 也可看作 的情形. (11) 式称为 的 n 阶泰勒公式, 并称其中 证 类似于定理17.8 的证明，先引入辅助函数

由假设， 上满足一元函数泰勒公式的条 件，于是有 (12) 应用复合求导法则, 可求得 的各阶导数如下:

将 (13), (14) 两式代入 (12) 式, 就得到所求之泰勒 公式 (11)． 时的特殊情形.

则仅需 内存在 n 阶的连续偏导数即可, 此时的 n 阶泰勒公式可写作

将它们代入泰勒公式 (15)，即有

与§1 例7 的结果 (1. 32) 相比较，这是更接近于真 微分近似相当于现在的一阶泰勒公式．

三、极值问题 多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应 用, 这里仍以二元函数为例进行讨论. 有定义. 若 用, 这里仍以二元函数为例进行讨论. 有定义. 若 的极大 (或极小) 值点. 极大值、极小值统称极值; 极 极大值点、极小值点统称极值点．

注意 这里讨论的极值点只限于定义域的内点． 点, 是 g 的极大值点, 但不是 h 的极值点．这是因

值 ( 注 由定义可见, 若 在点 取极值, 则当固 同极值; 也取相同极值. 于是 得到二元函数取极值的必要条件如下: 定理17.10 (极值的必要条件) 若函数 在点 存在偏导数, 且在 取得极值, 则必有

的稳定点. 上述定理指出: 偏导数存在时, 极值点必是稳定点. 但要注意: 稳定点并不都是极值点．在例 6 中之所 以只讨论原点, 就是因为原点是那三个函数的惟一 稳定点；而对于函数 h, 原点虽为其稳定点,但却不 是它的极值点. 与一元函数的情形相同, 多元函数在偏导数不存在 原点没有偏导数, 但

(17) 定点, 则有如下结论:

证 由 在 的二阶泰勒公式，并注意到条件 于是有

首先证明: 当 正定时， 在点 取得极小 值．这是因为，此时对任何 恒使 二次型 连续函数 ( 仍为一正定二次型 )

由于 因此 在此有界 闭域上存在最小值 ，于是有 即 在点 取得极小值． 极大值．

最后证明: 当 为不定矩阵时, 在点 不 则沿着过 的任何直线 亦取

这表明 必须是负半定的. 同理, 倘若 取 极小值, 则将导致 必须是正半定的. 也就是 的或负半定的，这与假设相矛盾． 根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关 系，定理17.11又可写成如下比较实用的形式—— 若 如定理17.11 所设，则有如下结论:

取得极小值; 取得极大值; 是否取得极值． 例7 解 由方程组

例8 讨论 是否存在极值．

因 ，故原点不是 的 极值点. 又因 处处可微，所以 没有极值点. 得极值? 解 容易验证原点是 的稳定点, 且 故由定理17.11 无法判断 在原点是否取得极值． 但因为在原点的任意小邻域内, 当 时

以 f (0, 0) = 0 不是极值 ( 参见图17-7 )． 由极值定义知道, 极值只是函数的一个局部性概念. 想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值, 方法 与一元函数问题一样：需先求出在该区域上所有稳 定点、无偏导数点处的函数值, 还有在区域边界上 的这类特殊值；然后比较这些值, 其中最大 (小)者 即为问题所求的最大 (小) 值．

例10 证明: 圆的所有外切三角形中, 以正三角形的 图 17- 8 图 17-7 例10 证明: 圆的所有外切三角形中, 以正三角形的 面积为最小． 证 如图17- 8 所示, 设圆的半径为 a, 任一外切三角

形为 ABC, 三切点处的半径相夹的中心角分别为 式为 其中 . 为求得稳定点, 令

在定义域内, 上述方程组仅有惟一解: 的二阶偏导数:

此稳定点处取得极小值． 因为 , 面积函数 S 在定义域中处处存在偏 导数，而具体问题存在最小值，故外切三角形中以 正三角形的面积为最小． 解 (i) 求稳定点：解方程组

得稳定点 (ii) 求极值：由于 的黑赛矩阵为 因此 (iii) 求在 上的特殊值: 当

当 ， 当 ，

单调增, 算出两端值 算出

图形, 上面的讨论都能在图中清晰地反映出来． 注 本例中的 上虽然只有惟一极值, 且为极 小值，但它并不因此成为 上的最小值．这 一点与一元函数是不相同的，务请读者注意！

图 17 - 9

例12 ( 最小二乘法问题 ) 设通过观察或实验得到一 例12 ( 最小二乘法问题 ) 设通过观察或实验得到一 上，即大体上可用直线 图 17 - 10 方程来反映变量 x 与 y 之间的对应关系 ( 参见 图17-10 ). 现要确定一 直线, 使得与这 n 个点 的偏差平方之和为最小 ( 最小二乘方 )．

解 设所求直线方程为 为此令

把这组关于 a, b 的线性方程加以整理并求解，得

并由实际意义可知这极小值即为最小值.

复习思考题 试比较本节的中值公式 (8) 与§1 里的中值公式 (12)，两者的条件与结论有何区别？ 2. 对于函数 下列记号 各表示什么意义？

什么不可以推广到多元函数中来？( 请努力说点理 由出来，歪理、正理都无妨. )