话说微积分 制作人:项晶菁.

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第一讲 : §1.1~§1.3 数学起源与古希腊数学 §1.1 数学思想的萌芽. 古代巴比伦的数学.
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高等数学( XJD ) 第二章 导数与微分 返回 高等数学( XAUAT ) 高等数学( XJD ) 求导法则 基本公式 导 数 导 数 微 分微 分 微 分微 分 求导方法 高阶导数 微分法则 导数与微分关系图导数与微分关系图.
一、 一阶线性微分方程及其解法 二、 一阶线性微分方程的简单应用 三、 小结及作业 §6.2 一阶线性微分方程.
第五节 全微分方程 一、全微分方程及其求法 二、积分因子法 三、一阶微分方程小结. 例如 所以是全微分方程. 定义 : 则 若有全微分形式 一、全微分方程及其求法.
第五节 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则 四、微分形式不变性 五、微分在近似计算中的应用 六、小结.
第二章 导数与微分 习题课 主要内容 典型例题 测验题. 求 导 法 则求 导 法 则 求 导 法 则求 导 法 则 基本公式 导 数 导 数 微 分微 分 微 分微 分 高阶导数 高阶微分 一、主要内容.
Yunnan University Chapt 5. 微分学基本定理及其应用 导 数导 数 函数性质 中值定理 §1. 中值定理 §2. 泰勒公式 §3. 函数的升降、凸性与极值 §4. 平面曲线的曲率 §5. 待定型.
2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.
高 等 数 学高 等 数 学 内蒙古科技大学公共数学教学部 主编:李淑俊. 引言 第一章 函数与极限 第二章 导数与微分 第三章 微分中值定理与导数的应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 定积分的应用 目 录 目录 下一页 目录 下一页.
2.6 隐函数微分法 第二章 第二章 二、高阶导数 一、隐式定义的函数 三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数, 由 表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此 隐函数求导方法.
2.5 函数的微分 一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、小结.
第二章 导数与微分 一. 内 容 要 点 二. 重 点 难 点 三. 主 要 内 容 四. 例 题与习题.
第二章 导数与微分. 二、 微分的几何意义 三、微分在近似计算中的应用 一、 微分的定义 2.3 微 分.
全微分 教学目的:全微分的有关概念和意义 教学重点:全微分的计算和应用 教学难点:全微分应用于近似计算.
第三节 微分 3.1 、微分的概念 3.2 、微分的计算 3.3 、微分的应用. 一、问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.
《解析几何》 -Chapter 3 §7 空间两直线的相关位置.
孕育(16-17世纪) 牛顿(英, ) 莱布尼茨(德, ) 发展(17-18世纪)
《高等数学》(理学) 常数项级数的概念 袁安锋
例题 教学目的: 微积分基本公式 教学重点: 牛顿----莱布尼兹公式 教学难点: 变上限积分的性质与应用.
恰当方程(全微分方程) 一、概念 二、全微分方程的解法.
高等数学电子教案 第五章 定积分 第三节 微积分基本定理.
第二节 微积分的基本定理 在上节中,我们看到用和式极限计算定积分相当繁难。本节通过揭示定积分与原函数间的关系,导出定积分的基本计算公式:牛顿—莱布尼茨公式。 一、 变上限定积分 由定积分定义知,定积分的大小仅与被积函数 和积分区间 有关。当我们固定 和积分下限a时,显然,定积分的大小会随着积分上限b的变化而变化。
第五节 微积分基本公式 、变速直线运动中位置函数与速度 函数的联系 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式.
一、原函数与不定积分 二、不定积分的几何意义 三、基本积分公式及积分法则 四、牛顿—莱布尼兹公式 五、小结
第二节 微积分基本公式 1、问题的提出 2、积分上限函数及其导数 3、牛顿—莱布尼茨公式 4、小结.
绪 论 金建华 2010年9月.
数 学 分 析 第九章 定积分 第二节 微积分学基本公式 主讲:师建国.
定积分性质和微积分学基本定理 一、 定积分性质 二、 变上限积分函数 三、 定积分基本公式.
第四章 函数的积分学 第六节 微积分的基本公式 一、变上限定积分 二、微积分的基本公式.
微积分基本定理 2017/9/9.
伯努利介绍   丹•伯努利(Daniel Bernoull,1700—1782):瑞士科学家,曾在俄国彼得堡科学院任教,他在流体力学、气体动力学、微分方程和概率论等方面都有重大贡献,是理论流体力学的创始人。
附录Ⅰ 数学家简介 笛卡儿 莱布尼兹 伯努利 雅可比 狄利克雷 斯托克斯 03 世纪 刘徽 16 世纪 17 世纪 费马 牛顿 洛必达 泰勒
定积分的换元法 和分部积分法 换元公式 分部积分公式 小结 1/24.
§5.3 定积分的换元法 和分部积分法 一、 定积分的换元法 二、 定积分的分部积分法 三、 小结、作业.
微积分前期史.
复习 定积分的实质: 特殊和式的极限 2. 定积分的思想和方法 分割,近似, 求和,取极限 3. 定积分的性质
第四章 一元函数的积分 §4.1 不定积分的概念与性质 §4.2 换元积分法 §4.3 分部积分法 §4.4 有理函数的积分
第一章 函数与极限.
第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
第二节 柯西积分定理 一、单连通区域的柯西积分定理 二、复函数的牛顿-莱布尼兹公式 三、多连通区域上的柯西积分定理.
第六章 定积分 第一节 定积分的概念 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的积分法.
定积分习题课.
定积分的概念与性质 变上限积分的概念与定理 牛顿-莱布尼茨公式 讨论或证明变上限积分的特性
第三节 函数的求导法则 一 函数的四则运算的微分法则 二 反函数的微分法则 三 复合函数的微分法则及微分 形式不变性 四 微分法小结.
第四节 一阶线性微分方程 线性微分方程 伯努利方程 小结、作业 1/17.
§5 微分及其应用 一、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..
1.5 场函数的高阶微分运算 1、场函数的三种基本微分运算 标量场的梯度f ,矢量场的散度F 和F 旋度简称 “三度” 运算。
问题1 设 问.
第三章 导数与微分 习 题 课 主要内容 典型例题.
2-7、函数的微分 教学要求 教学要点.
§5 微分及其应用 一、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..
义务教育课程标准实验教科书 九年级数学上册 24.3 正多边形和圆(第2课时) 正多边形的画法.
北师大版数学 《旋转》系列微课 主讲:胡 选 单位:深圳市坪山新区光祖中学.
计算机数学基础 主讲老师: 邓辉文.
第一章 函数与极限.
Partial Differential Equations §2 Separation of variables
4.2.1 原函数存在定理 1、变速直线运动问题 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 4.2 微积分基本定理(79)
第一章 导数及其应用 函数的平均变化率 瞬时速度与导数.
相似三角形 石家庄市第十中学 刘静会 电话:
3.3 垂径定理 第2课时 垂径定理的逆定理.
第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结 思考题.
第三章 函数的微分学 第二节 导数的四则运算法则 一、导数的四则运算 二、偏导数的求法.
学习任务三 偏导数 结合一元函数的导数学习二元函数的偏导数是非常有用的. 要求了解二元函数的偏导数的定义, 掌握二元函数偏导数的计算.
第二节 函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结 思考题.
我们能够了解数学在现实生活中的用途非常广泛
第四章 函数的 积分学 第七节 定积分的换元积分法     与分部积分法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法.
教学大纲(甲型,54学时 ) 教学大纲(乙型, 36学时 )
第三节 数量积 向量积 混合积 一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结 思考题.
生活中的几何体.
9.3多项式乘多项式.
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话说微积分 制作人:项晶菁

数学的核心领域是: 代数学——研究数的理论; 几何学——研究形的理论; 分析学——沟通形与数且涉及极限运算的部分。

旧三高(高等分析、高等代数、高等几何) 数学分析权威R•柯朗所指出的,“微积分乃是一种震撼人心灵的智力奋斗的结晶”。 现代微积分有时作为“数学分析”的同义语,一般来说数学分析包括微积分、函数论(突变、复变、实变)、微分方程、积分方程、变分法、泛函分析、非标准分析等 。 在古典意义下,微积分是微分学和积分学的合称。

1.1微积分的萌芽(15世纪以前) 1.1.1(公元前)东西方 1.古代中国 战国时代的《庄子·天下篇》中,“一尺之锤,日取其半,万世不竭。” , “至大无外,谓之大一;至小无内,谓之小一,”--惠施(约公元前370~公元前310) 《墨经》中不仅对有穷与无穷作了明确的区分,而且也有丰富的微分思想。

2.古希腊罗马 如何求圆的面积是数学对人类智慧的一次考验,也是极限诞生的种子。 大约在公元前400年古希腊人提出了三大几何难题,其中之一是“化圆为方”即指用圆规与无刻度的直尺求与一圆等面积的正方形。直到19世纪,它才被人们证明它为尺规作图不能问题。 公元前5世纪的古希腊智者安提丰与布拉森分别用圆的内接多边形以及外切正多边形的边数不断加倍的办法来接近圆的面积,他们认为圆的面积可以取作边数不断增加时他的内接和外切正多边形的面积的平均值。

对这一思想做出重大发展的是欧多克斯(公元前408~公元前355),相应的方法被后人称为“穷竭法”。这一方法被欧几里得记述在《几何原本》第12章中。 阿基米德(公元前287~公元前212)对穷竭法做出了重要贡献,这位“数学之神”证明了 还算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积等。

1.1.2 十五世纪以前的东西方 我国三国时期(公元后3世纪)的数学家刘徽在《九章算术》的注文中,第一次把《庄子》中的极限思想用于算“圆天”和“弧天”的面积,创立了一种推求圆周率的方法,即“割圆术”。 刘徽先在圆内作内接正6边形S6, S6的面积不难算出。再继续算出正12边形,正24边形,。他指出:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。”这等同于现代微积分中的极限思想。他得出了徽率。 古印度的数学家,对圆却采用了类似切西瓜的方法,把圆切成许多小瓣,再把这些小瓣对接成一个长方形,用长方形的面积去代替圆面积。

1.2微积分的先驱工作(16世纪左右) 1.2.1圆的面积之迷的继续探寻(17世纪) 1615年出版了《葡萄酒桶的立体几何》一书,书中介绍了一种他独创的求面积的新方法:把圆分割成许多小扇形,不同的是他一上来就把圆分成无穷多个小扇形,因为太小了,所以小扇形又可用小等腰三角形来代替。 利用阿基米德的“穷竭法”求出387种旋转体的体积。 开普勒(德,1571-1630)

意大利物理学家迦利略的学生卡瓦列里深入研究了上述求积方法,认为这每一小扇形的面积到底等不等于零,就不好确定了。他想:开普勒为什么不再继续分下去了呢?要是真的再细分下去,那分到什么程度为止呢?陷入深思之中的卡瓦利里从衣服的布和一本书的构造上得了启示,经过反复琢磨,提出了求面积和体积的新方法“不可分元法”,并于1635年在意大利出版了《不可分量几何学》一书。

1.2.2微分学的先驱工作(17世纪) 微分学主要与以下两个问题相联系: 1.求曲线在任意一点的切线; 2.求变量的极值。

1650年左右,法国数学界3巨头:罗伯瓦尔(Gilles Persone de Roberval,1602~1675)、费马(Pierre de Fermat,1601~1665)、帕斯卡(Blaise Pascal,1623~1662),对这两个问题作了深入的研究。 罗伯瓦尔借助合成运动速度做切线,他从运动的角度出发,将切线看作描绘这曲线的运动在这点的方向;解析几何的焦点重合时的割线;费马则从集合的角度出发,认为切线是当两个交点重合时的割线;费马还借助微小增量作切线,此外他对问题2也提出了较好的方法(即先求,再令解之即为极值点)。

费马(Pierre de Fermat,1601~1665)被称为“业余数学家之王“

帕斯卡(法, 1623-1662) 孕育(16-17世纪) 帕斯卡(法, 1623-1662)的特征三角形 自变量的增量Δx与函数的增量Δy为直角边组成的直角三角形

帕斯卡的工作: 16岁时发现了非常有名的“帕斯卡六边形原理”; 1640年出版了《圆锥曲线论》; 1658完成了《摆线论》的名著; 19岁时发明了世界第一台机械加法计算机; 23岁时推测大气压的存在,在发现了算术中的“帕斯卡三角形”; 在积分学上他用“无穷小矩形”取代了卡瓦列利的“不可分元”算出了以曲线为一边的曲边形的面积; 在微分学上,他把无穷小概念引入数学,出版了《四分之一圆的正弦论》(1659)。

瓦里士(John Wallis,1616~1703)的工作: 瓦里士是英国最富独创性的数学家之一,早年在剑桥学神学,从1649年起是牛津大学的“沙维教授”,瓦里士的算术化工作很有意义。 著作《圆锥曲线论》与《无穷小算术》 第一次用符号表示无穷大,用表示无穷小或零量,并把它们与有限数同样看待,一起参加运算,他还引入了“变量极限——这是变量所能如此逼近的一个常数,使得它们之间的差能够小于任何给定的量。”

伊萨克·巴罗的主要著作为《光学和几何讲义》(1669),有意义的贡献是把“求切线”和“求积”作为互逆问题联系起来了。 伊萨克·巴罗(英, 1630-1677)的工作: 伊萨克·巴罗的主要著作为《光学和几何讲义》(1669),有意义的贡献是把“求切线”和“求积”作为互逆问题联系起来了。 特征三角形与曲线切线(1664) Δy/Δx对于决定切线的重要性

1.3微积分的诞生(17世纪后半期) 1661年牛顿考入了剑桥大学的三一学院,作为减费生,1664年21岁获学士学位,接着当了研究生。 1665~1667年,伦敦流行鼠疫,剑桥大学关闭,牛顿回农村住了18个月。在这期间他发现了二项式定理,酝酿了微积分原理,提出了万有引力定律,也研究了光的分析。 1667年,瘟疫过去,牛顿又回到剑桥大学,由于他在数学上的出色成就,他的老师巴罗认为他的学识已经超过自己,于1669年10月把“路卡斯教授”的职位让给牛顿。 牛顿(英,1643-1727年) 主要著作有三部:《运用无穷多项方程的分析学》、《流数法和无穷参数》、《自然哲学的数学原理》 他的微积分思想最早出现在1665年5月20日的一页文件中,这一天可作为微积分诞生的日子。

牛顿(英,1643-1727年) 墓志铭: 自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜中。上帝说:让牛顿出世吧!于是一切都豁然明朗。 影响: 笛卡儿的《几何学》(1637), 沃利斯的《无穷算术》(1656) 第一个创造性成果:二项定理(1665)及无穷级数(1666) 第一篇微积分文献: 《流数简论》(1666) 发表最重要的著作:《自然哲学的数学原理》(1687) 一些重要贡献:力学、物理学、天文学、化学、自然哲学.

牛顿(英,1643-1727年) 牛顿《自然哲学的数学原理》1687年

柯特弗里德·威尔赫·莱布尼茨 (Gottfried Will-helm Lleibniz, 1646~1716),德国

莱布尼茨(德,1646-1716) 1661年秋天,15岁的他考上了莱比锡大学,攻读法律专业。 由于对欧氏几何的求知欲,于1663年转入耶拿大学跟数学家厄哈德·维格尔学习数学, 1666年《论组合的艺术》 第一篇发表的微分学论文: 《一种求极大与极小值和求切线的新方法》(1684) 已含有现代微分符号和基本微分法则,还给出了极值的基本条件。但运算规则只含简短的叙述而没有证明,使人很难理解。

第一篇发表的积分学论文: 《深奥的几何与不可分量及无限的分析》(1686) 他还是历史上最杰出的符号创造家之一,他所发明的微积分符号,远远优于牛顿的符号,对微积分的发展有重大的影响,现今通用的符号等以及名称《微分学》和《积分学》都是莱布尼茨创立的。 一些重要贡献:计算机、物理学、力学、光学、地质学、化学、生物学、心理学、哲学

莱布尼茨(德,1646-1716) 发现易图结构可以用二进制数学予以解释,用二进制数学来理解古老的中国文化,收藏了关于中国的书籍50多册,200多封信件中谈到中国。第一位全面认识东方文化尤其是中国文化的西方学者。 1697年莱布尼茨著《中国新事萃编》(Novissima Sinica) “我们从前谁也不信这世界上有比我们的伦理更美满,立身处事之道更进步的民族存在,现在从东方的中国,给我们以一大觉醒!东西双方比较起来,我觉得在工艺技术上,彼此难分高低;关于思想理论方面,我们虽优于东方一筹,而在实践哲学方面,实在不能不承认我们相形见拙。” 1699年,他写出一篇论文《论二进制的算术》 1714~1716《勃兰斯威克王族的族谱》

1.4微积分的蓬勃发展(18世纪) 在英国,英国派的代表人物有乔治·贝克莱、瓦里斯、巴罗,他们之后有巴罗的学生牛顿、科林斯、格里高利,牛顿的追随者有泰勒(Brook Taylor,1685~1731)、麦克劳林(1698~1764)、托马斯·辛普生。 约翰·兰登(英皇家学会的会员,《残差分析》对导数定义提出了代表性方案之一“代数的微分学”)

微积分的发展 法学博士,进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论委员会 1715年出版《正和反的增量法》 与约翰•伯努利关于泰勒公式优先权之争 泰勒(英, 1685-1731)

在欧洲大陆: 代表人物有被誉为法国三巨头的:罗伯瓦尔、费马、帕斯卡,更有在帕斯卡的好朋友惠更斯影响下成长起来的莱布尼茨、洛尔、莱布尼茨的朋友伯努利兄弟(雅各布·伯努利、约翰·伯努利),之后有约翰·伯努利的两个儿子(尼古拉、丹尼尔)和学生(欧拉和洛必达),以及在他们的影响下成长起来的达朗贝尔和被誉为“3L”的拉普拉斯,拉格朗日(欧拉的学生),勒让德,让他们的继承人有博里叶,泊松。 产生了常微分方程,偏微分方程,级数论等。

微积分的发展 发展-(瑞)伯努利家族

雅格布•伯努利 (1654-1705) 17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发展微积分的人 1687年悬链线问题 1691年对数螺线 1694年《微分学方法》 1698年证明调和级数的发散性. 雅格布•伯努利 (1654-1705)

约翰•伯努利 (1667-1748) 1694年获医学博士学位 1691年解决悬链线问题 18世纪初分析学的重要奠基者之一 1700年左右发展了积分法 提出洛比达法则 1742年出版《积分学教程》. 约翰•伯努利 (1667-1748)

丹尼尔•伯努利 (1700-1782) 医学博士、植物学教授、生理学教授、物理学教授、哲学教授 第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连接起来的人 把微积分、微分方程应用到物理学,研究流体力学问题、物体振动和摆动问题,为数学物理方法的奠基人. 丹尼尔•伯努利 (1700-1782)

达朗贝尔 (法, 1717-1783) 自学成才,进入巴黎科学院 “科学处于17世纪的数学时代到18世纪的力学时代,力学应该是数学家的主要兴趣。” 数学分析的重要开拓者之一,其成就仅次于欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼尔•伯努利 1750年起《百科全书》 1760年起《数学手册》. 达朗贝尔 (法, 1717-1783)

拉格朗日 (法, 1736-1813) 数学、力学和天文学中都有重大历史性贡献,分析学仅次于欧位的最大开拓者 1754年(18岁)发现莱布尼茨公式, 1755年任数学教授 1797年《解析函数论》 “在我看来,似乎数学矿井已挖掘很深了,除非发现新的矿脉,否则势必放弃它”. 拉格朗日 (法, 1736-1813)

1.5微积分现代形式的确立(19世纪) 一、函数概念的发展 首先有博里叶,柯西等冲破函数的解析式,之后狄利克雷,罗巴切夫斯基用对应观点给函数下了定义,最后有黎曼给出了今天的形式。

傅里叶(法, 1768-1830) 热传导问题的研究和新的普遍性数学方法的创造 1822年《热的解析理论》 “傅里叶是一首数学的诗”

二、极限理论完成 波尔查诺的工作堪称是它的先驱,而柯西的工作才使它基本完成,之后,由狄利克雷,黎曼等的贡献,经过魏尔斯特拉斯的工作才彻底完成极限理论,可以说极限概念的历史是从动态化过渡到静态化的历史。

三、实数理论的建立 柯西用极限概念为微积分奠定了基础,在这个基础上魏尔斯特拉斯又进一步的算术化,但并不等于微积分基础研究已到了终结,人们愈来愈觉得建立实数连续系统的必要性和迫切性。 代德金的实数理论是它的现代形式,摩托尔的贡献使微积分建立在集合论上,从而给了微积分一个更坚实的基础。 摩托尔在1874年所创立的《集合论》,他的关于无穷集的理论可以说是这部无穷交响乐的高潮。

1.6微积分新发展(20世纪) 20世纪初由H·勒贝格(Lebesgue,1875~1941)将实函数的积分概念作了推广,提出了包罗广泛的积分理论L积分(即实变函数理论)。 1966年,鲁滨逊(Robinson,1918~1974)为无穷小概念提供逻辑基础时,提出了非标准分析。

微积分的发展