力 学 第一章 杨维纮 中国科学技术大学 近代物理系

第一章 质点运动学 第一章 质点运动学 §1.1 引言 §1.2 质点和参考系 §1.3 速度与加速度 §1.4 直角坐标系中运动的描述 第一章 质点运动学 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 §1.1 引言 §1.2 质点和参考系 §1.3 速度与加速度 §1.4 直角坐标系中运动的描述 §1.5 自然坐标系中运动的描述 §1.6 平面极坐标中的运动描述 §1.7 相对运动

第一章 质点运动学 §1.1 引 言 1.1.1 力学的研究对象 1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量 1.1.3 宇宙的层次和数量级 §1.1 引 言 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.1.1 力学的研究对象 1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量 1.1.3 宇宙的层次和数量级

第一章 质点运动学 §1.1 引 言 1.1.1 力学的研究对象 中 国 科 学 技 术 大 运动学： §1.1 引 言 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.1.1 力学的研究对象 运动学： 动力学： 静力学： 研究物体运动的几何性质，而不研究引起物体运动的原因。（位移，速度，加速度，轨迹等的描述和计算） 研究受力物体的运动变化与作用力之间的关系。（运动微分方程的建立和求解） 研究物体在力系作用下的平衡规律，同时也研究力的一般性质和力系的简化方法等。（平衡方程的应用和受力分析） 经典力学适用范围：弱引力场中宏观物体的低速运动。

第一章 质点运动学 1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量 时间 ： 时间用以表述事物之间的顺序 空间 ： 空间用以表述事件相互之间的位形 1.1.2 时间、空间和牛顿力学的绝对量 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 时间 ： 空间 ： 时间用以表述事物之间的顺序 空间用以表述事件相互之间的位形 在牛顿力学中，时间间隔和空间间隔（长度）被认为是绝对量，是独立于所研究对象（物体）和运动而存在的客观实在。时间的流逝与空间位置无关，空间为欧几里德几何空间。而近代物理理论对此是否定的，这个问题将在相对论一章中详细讨论。 没有满意的“严格”的理论定义，并不妨碍时间和空间二者在物理中的使用，因为，物理学是一门基于实验的科学，在考查物理学的概念或物理量的时候，首先应当注意它与实验之间是否有明确的、不含糊的关系。对于时间和空间这两个基本概念来说，首要的问题似不是去追究它们的“纯粹”定义，而是应当了解它们是怎样量度的。

第一章 质点运动学 时间的测量 ： 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 任何具有重复性的过程或现象，都可以作为测量时间的一种钟 （例如，太阳的升没表示天；四季的循环称作年；月亮的盈亏是农历的月。其他的循环过程，如双星的旋转、人体的脉搏、吊灯的摆动、分子的振动等等，也都可以用作测时的工具） 真太阳日：太阳视面中心连续两次出现在地面某处正 南方所需的时间 平太阳日：一年之内全部真太阳日的平均 秒： 一个平均太阳日的1/86,400，这种以地球 自转为基础的计时标准叫世界时（UT） 1956年起改用以地球公转周期为基准的时间标准，称为历书时（ET），并规定秒为1900年回归年的1/31,556,925.9747

第一章 质点运动学 时间的测量 ： 中 国 科 学 1967年10月在第十三届国际度量衡会议上规定： 技 术 大 杨 维 纮 1967年10月在第十三届国际度量衡会议上规定： 位于海平面上的铯原子的基态的两个超精细能级在零磁场中跃迁辐射的周期T与1秒的关系为 1秒 = 9,192,631,770 T 这样的时间标准称为原子时 用铯钟作为计时标准，误差若按一个周期计算，测量精度要比秒表作时计提高 倍，即误差下降到秒表的 之一 自从人类发明机械计时的时钟以来，400年来时间计量准确度的提高是惊人的，现代的原子钟的计时误差已小于 秒/天。目前，时间是测量得最准确的一个基本量

第一章 质点运动学 空间的测量 ： 中 国 科 学 长度是空间的一个基本性质 技 术 大 杨 维 纮 长度是空间的一个基本性质 对长度的测量，在日常的范围中，是用各种各样的尺，如米尺、千分尺、螺旋测微计等等。对于不能用尺直接加以测量的小尺度，可以求助于光学方法。在精密机床上常有光学测量装置；测定胰岛素中原子的位置，是用调光衍射方法。对于大的尺度，也不能直接用尺去测量，也要求助于光。测量月亮与地球的距离可以用激光测距的方法，测量一些不太远的恒星，可以用三角学方法。至于银河系之外的遥远天体的距离，同样是用它们发光的一些特征来测定的。

第一章 质点运动学 空间的测量 ： 中 国 科 米： 规定为通过巴黎的自北极至赤道的子午线长度 的1/10,000,000 学 技 术 大 杨 维 纮 米： 规定为通过巴黎的自北极至赤道的子午线长度 的1/10,000,000 1875年起，决定改用米原器（截面呈“X”形的铂铱合金尺）作为长度标准。由于这样规定的标准米不易复制，精度又不高 1960年在第十一届国际计量大会上规定： 1米等于氪86原子的和能级之间跃迁时所对应的辐射（橙色谱线）在真空中的波长λ的1,650,763.73倍。这样规定的米叫原子米 1983年10月在第十七届国际计量大会上规定： 米是光在真空中在1/299,792,458秒的时间间隔内所传播的路程长度 光速：c = 299,792,458米／秒

第一章 质点运动学 1.1.3 宇宙的层次和数量级 1. 空间尺度：从极小到极大 最遥远星系 银河系 邻近恒星 太阳 地球 人类 细胞 原子 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1. 空间尺度：从极小到极大 1026 m 最遥远星系 银河系 邻近恒星 太阳 地球 人类 细胞 原子 质子 夸克 1020 m 1010 m 100 m 10-10 m 10-20 m

第一章 质点运动学 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮

第一章 质点运动学 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 人造物体和自然物体的电子显微镜照片，图中垂线是20纳米的聚合物纤维，有短尾的物体是T-4噬菌病毒 星系的直径大约是 1021米

第一章 质点运动学 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 一些典型的时间尺度 学 技 术 大 杨 维 纮 6×1017 秒 宇宙年龄 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 一些典型的时间尺度 6×1017 秒 1.5×1017 秒 8×1015 秒 6×1013 秒 8×1011 秒 2×109 秒 3×107 秒 8.6×104 秒 1 秒 1×10-1 秒 5×10-5 秒 2×10-6 秒 1×10-12 秒 1×10-15 秒 2×10-16 秒 1×10-25 秒 1×10-43 秒 宇宙年龄 地球年龄 太阳绕银河系中心的轨道周期 古人类的出现 钚的半衰期 人的寿命 地球的公转周期（1年） 地球的自转周期（1天） 人的脉搏 人的神经系统反应时间 可听见的最高频率的声音周期 μ子的寿命 典型的分子转动周期 实验室能产生的最短光脉冲周期 π介子的半衰期 共振粒子寿命 从宇宙诞生到已知的物理定律可用的时间

第一章 质点运动学 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 学 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 我们研究的对象跨越如此巨大的数量级范围，单一的单位（如秒、米），用起来就很不方便了，通常的做法是采用一些词冠来代表一个单位的十进倍数或十进分数，如千（kilo）代表倍数103，厘（centi）代表分数10-2，等等。在国际单位制中，原来从10-18到1018的36个数量级之间规定了16个词冠，最近又建议在大、小两头再各增加两个，共20个词冠，一并列在下表1.1中。表内中译名在方括弧里的字可以省略。这些词冠与各种物理量的单位组合在一起，构成尺度相差甚为悬殊的大小各种单位，在现代物理学中广泛使用着。其中有的已化作物理学名词的一部分，如纳米（nm）结构、飞秒（fs）光谱等，成为一些新兴技术的标志和象征。

第一章 质点运动学 1.1.3 宇宙的层次和数量级 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.1.3 宇宙的层次和数量级 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 国际单位制所用的词冠 中译名   分 厘 毫 微 纳[诺] 皮[可] 飞[母托] 阿[托] 仄[普托] 幼[克托] 缩写符号   d c m μ n p f a z y 数量级   10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24 英文名   deci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto

第一章 质点运动学 1.1.3 宇宙的层次和数量级 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.1.3 宇宙的层次和数量级 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 国际单位制所用的词冠（续） 中译名   十 百 千 兆 吉[咖] 太[拉] 拍[它] 艾[克萨] 泽[塔] 尤[塔] 缩写符号   da h k M G T P E Z Y 数量级   10 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024 英文名   deca hecto kilo mega giga tera peta exa zeta yota

第一章 质点运动学 1.1.3 宇宙的层次和数量级 1.1.3 宇宙的层次和数量级 最长的时间和最短的时间 中 国 科 学 技 术 大 1.1.3 宇宙的层次和数量级 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 最长的时间和最短的时间 目前，物理学中涉及的最长的时间是1038 秒，它是质子寿命的下限。宇宙的年龄大约是6x1017秒，即200亿年。牛顿力学所涉及的时间尺度大约是10-5 ～1015秒，即从声振动的周期到太阳绕银河中心转动的周期。粒子物理的时间尺度都很小，μ子的寿命是2x10-6秒，已经算是极长寿的了，最短寿的是一些共振粒子，它们的寿命只约有10-24秒，目前物理学中涉及的最小的时间是10-43秒，称为普朗克时间。普朗克时间被认为是最小的时间，比普朗克时间还要小的范围内，时间的概念可能就不再适用了。

第一章 质点运动学 1.1.3 宇宙的层次和数量级 1.1.3 宇宙的层次和数量级 最大的长度和最小的长度 中 国 科 学 技 术 大 1.1.3 宇宙的层次和数量级 1.1.3 宇宙的层次和数量级 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 最大的长度和最小的长度 目前，物理学中涉及的最大长度是1028米，它是宇宙曲率半径的下限；弱电统一的特征长度为10-20米；普朗克长度约为10-35米，被认为是最小的长度，意思是说，在比普朗克长度更小的范围内，长度的概念可能就不再适用了。

第一章 质点运动学 §1.2 质点和参考系 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.2.1 质点和参考系 1.2.2 轨迹和运动方程

第一章 质点运动学 §1.2 质点和参考系 1.2.1 质点和参考系 参考系 = 参考物 + 坐标架 + 钟 中 国 科 学 技 术 大 §1.2 质点和参考系 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.2.1 质点和参考系 质点 ： 参考物 ： 参考坐标系 ： 突出了“物体具有质量”、“物体占有位置” 为了研究运动，固定坐标系的物体 固定在参考物上的坐标架（简称参考系） 参考系 = 参考物 + 坐标架 + 钟

第一章 质点运动学 1.2.1 质点和参考系 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 质点 的位置矢量 r（简称位矢）的大小为OP的长度，而方向从O指向P。用这个矢量就完全确定了质点P的位置 其中i，j，k分别分别表示空间的三个坐标方向（ 轴）上的单位矢量，称为坐标基矢 参考系的选择是任意的，对于同一个质点的位置，用不同参考系来描写时，则具有不同的位置矢量。就这一点，我们可以说，位置是具有相对性的物理量。

第一章 质点运动学 1.2.2 轨迹和运动方程 中 国 科 学 质点在运动中所经过的各点在空间连成一条曲线，这条曲线我们称之为轨迹。 技 术 大 杨 维 纮 1.2.2 轨迹和运动方程 质点在运动中所经过的各点在空间连成一条曲线，这条曲线我们称之为轨迹。 轨迹可以利用曲线方程来描写。 譬如，曲线方程： 就描写了在平面上半径为R的圆周运动的轨迹。 一般曲线方程可以表示成：

第一章 质点运动学 1.2.2 轨迹和运动方程 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.2.2 轨迹和运动方程 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 在历史上很长一个时期内，人们只注重轨迹形状的研究，例如行星走圆形，落体走直线。我们知道，质点运动是位置的变化，它涉及空间和时间两方面。轨迹形状只反映了运动的空间方面的性质，它对于研究运动还是不够的，因为轨迹还没有把质点运动的情况全部表述出来，特别是没有表述它的动态性质。百米赛跑时，所有运动员的轨迹都是直线，但他们各自的运动情况并不全同，否则就分不出名次了。我们不仅应该知道轨迹，而且还应知道质点经过轨迹上各点的时刻。运动是在时间、空间里的现象，关键是把时间描写和空间描写联系起来。直到牛顿之前不久，才特别强调了这一点。

第一章 质点运动学 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.2.2 轨迹和运动方程 我们知道，可以利用矢量方法来描写质点 M 的位置。质点的位置关于时间的函数称为运动方程或运动解，知道了这个方程等于知道了此质点运动的一切情况。质点的运动方程可以表示成： 当然，也可以用坐标系中三个坐标分量来描述运动 并有关系式 从运动方程中消去时间 t 即得到轨迹的方程

第一章 质点运动学 1.2.2 轨迹和运动方程 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.2.2 轨迹和运动方程 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 应当指出，同一物体，相对于不同的参考系，显示出不同的运动。风洞中的模型，相对于地面是静止的，相对于空气（风），模型却在以高速度飞行。车刀，相对于车床的床座，仅仅作直线运动；相对于工件，刀刃却在作螺旋运动。所以，研究运动，必须首先选定参考系，由于运动方程既包含质点的位矢，也包含时间，因而对于不同的坐标原点与时间原点的选取，运动方程的形式将有所不同。 在日常生活中，我们习惯于认为地面是静止的，在讲到“静止”、“运动”的时候总是对地面而言的。可是，大家知道，地球以大约30公里/秒的速度绕太阳公转，根本不是静止的。宇宙间没有一个绝对静止的物体。静止和运动都是相对的，不存在“绝对静止”的参考系，只存在描述某个运动较为方便的参考系。

第一章 质点运动学 §1.3 速度与加速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.3.1 位移、路程与速度 1.3.2 加速度

第一章 质点运动学 §1.3 速度与加速度 1.3.1 位移、路程与速度 1. 直线运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 §1.3 速度与加速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.3.1 位移、路程与速度 1. 直线运动 质点在t1到t2时间间隔内的平均速度 瞬时速度（简称速度）定义为： 通常称平均速度的绝对值为平均速率。类似地，瞬时速度的绝对值被称为速率。

第一章 质点运动学 1.3.1 位移、路程与速度 2. 三维曲线运动 中 国 科 学 技 术 1.3.1 位移、路程与速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 2. 三维曲线运动 质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时间间隔内的平均速度 这个平均速度的定义表明，平均速度是矢量。 是在时间间隔 △t 内质点位置矢量的改变量，称为位移矢量（简称位移）

第一章 质点运动学 1.3.1 位移、路程与速度 2. 三维曲线运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.3.1 位移、路程与速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 2. 三维曲线运动 由右图很清楚知道，在t1到t2时间间隔内质点的运动方向并非总是沿着1到2的方向的，而是先从1向4、3方向运动，然后从3向2方向运动，这些运动方向并不平行于 1到2的方向。 所以平均速度所指的方向，只是质点真实运动方向的平均。也就是说，平均速度不但对于运动快慢的描写是粗略的，而且对于运动方向的描写也是粗略的。但当△t减小时，矢量相继从1，2变到1，3，变到1，4……，在△t→0的极限情况下， △r的方向趋于轨迹曲线在点 1的切线方向，且位移与路程两者的大小近似相等。这样，我们就得到一个结论：瞬时速度的方向，就是轨迹曲线在相应点的切线方向；瞬时速度的大小，就是时平均速率的大小。

第一章 质点运动学 1.3.1 位移、路程与速度 2. 三维曲线运动 中 国 科 学 技 术 大 1.3.1 位移、路程与速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 2. 三维曲线运动 路程函数s(t)：质点从 t1 =0 到 t2 = t 时刻所走过的路程长度 质点从 t1 = t 到 t2 = t +△t 时间间隔内所走过的路程 由此可以定义平均速率：

第一章 质点运动学 1.3.1 位移、路程与速度 2. 三维曲线运动 中 国 科 学 技 术 1.3.1 位移、路程与速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 2. 三维曲线运动 由右图可以看出，位移△r与路程△s有如下的异同点： (1) 位移与路程不同于位矢，它们与坐标原点的选取无关。 (2) 路程△s是由M到M′的曲线的实际长度，是一个标量。而位移是由始点至终点的有向线段，是一个矢量。而且位移的大小通常也不等于路程。 (3) 位移不反映初位置到终位置中间的细节，也不反映初位置或终位置本身，仅反映两者相对位置的改变。

第一章 质点运动学 1.3.1 位移、路程与速度 2. 三维曲线运动 中 国 科 学 技 术 大 瞬时速度（简称速度）定义为： 杨 维 纮 1.3.1 位移、路程与速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 2. 三维曲线运动 瞬时速度（简称速度）定义为： 速度的数值大小（绝对值）称为速率，由上式知： 在国际单位制中，速度的单位是米/秒，常用的单位还有厘米/秒、千米/小时等

第一章 质点运动学 1.3.2 加速度 1. 直线运动 中 国 科 学 技 术 大 1.3.2 加速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1. 直线运动 质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时间间隔内的平均加速度 瞬时加速度（简称加速度）定义为：

第一章 质点运动学 1.3.2 加速度 2. 曲线运动 中 国 科 学 技 术 大 1.3.2 加速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 2. 曲线运动 质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时间间隔内的平均加速度 瞬时加速度（简称加速度）定义为： 在国际单位制中，加速度的单位是米/秒2，常用的单位还有厘米/秒2 等。

第一章 质点运动学 §1.3 速度与加速度 中 国 科 学 技 小结： 术 大 速度、加速度是矢量，它具有矢量性 §1.3 速度与加速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 小结： 速度、加速度是矢量，它具有矢量性 质点做变速运动中各个时刻的速度、加速度不一定相同，它具有瞬时性 选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不同的，它具有相对性 从运动学本身来考虑，没有足够的理由说明，为什么我们应当到此为止，而不去讨论加加速度、加加加速度……。其中的原因在动力学，学过动力学后，我们将看到，对力学的讨论几乎全部是基于位置矢量、速度和加速度这三个量。

第一章 质点运动学 §1.4 直角坐标系中运动的描述 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.4.1 直线运动 1.4.2 曲线运动

第一章 质点运动学 §1.4 直角坐标系中运动的描述 1.4.1 直线运动 中 国 科 学 技 术 大 运动方程： 平均速度： 杨 维 纮 §1.4 直角坐标系中运动的描述 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.4.1 直线运动 运动方程： 平均速度： 瞬时速度： 右图表示的是质点做直线运动时的位置、速度和加速度关于时间的图形。由图上可见，当位置最大时，速度为零（此时曲线的斜率为零），同样当速度最大时，其加速度为零。

第一章 质点运动学 1.4.1 直线运动 中 国 科 学 技 术 瞬时速率： 大 平均加速度： 杨 维 纮 瞬时加速度： 1.4.1 直线运动 瞬时速率： 平均加速度： 瞬时加速度： 由此可见，如知道运动方程，则速度、加速度等皆可求得。故古希腊自然哲学家亚里士多德 (Aristotle, 384~322 B.C.) 认为：轨迹是最基本的，速度次之（当时并不知道加速度）。这种方法的特点是先研究运动的大的整体方面，往往从对称性入手，然后再涉及局部细节。就人类的认识过程来看，的确是先看到轨迹的形状，然后有了运动快慢的概念，最后认识到速度的变化，即加速度。

第一章 质点运动学 1.4.1 直线运动 中 国 科 运动学的反问题 学 技 术 如果已知质点运动的加速度 ： 大 1.4.1 直线运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 运动学的反问题 如果已知质点运动的加速度 ： 若再知道 t = 0 时刻质点的速度和位置 ： 可以完全描述运动。 利用： 可以解得：

第一章 质点运动学 1.4.1 直线运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.4.1 直线运动 牛顿认为：瞬时情况更基本，不要先探讨物体运动的整体方面，而是先弄清局部细节，再积分得到整体性质。这种方法，是现代物理学的一个基本方法，至今在大多数情况下，物理学家们都采用牛顿这种方法。 从哲学上看，本小节处理运动问题的两种方法（正问题和反问题）反映了人们的两种不同信念：一种认为整体的大的方面简单些，因此，主张从大到小的研究顺序；另一种认为局部的单元过程更简单些，因此，主张从小到大的研究顺序。现在看来，这两种“简单性”可能是分不开的，虽然在大多数情况下，我们偏爱第二种研究顺序，但在某些局部过程不得要领的情况下，第一种研究顺序也有其独到之处。在第四、五章我们再讨论这个问题。

第一章 质点运动学 1.4.2 曲线运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1. 运动方程 2. 速度 分量式： 速率： 其中：

第一章 质点运动学 1.4.2 曲线运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 3. 加速度 分量式：

第一章 质点运动学 1.4.2 曲线运动 中 国 科 学 技 术 大 运动的重要性质： 运动的独立性 杨 维 纮 1.4.2 曲线运动 运动的重要性质： 运动的独立性 运动的独立性 的实验演示 由速度、加速度的分量表达式可以看到，描写一个质点的复杂的曲线运动时，其方向的坐标、速度和加速度与其它方向的坐标、速度和加速度无关；对方向和方向也有这种性质，即三个方向相互无关。这种性质称为运动的独立性。

第一章 质点运动学 1.4.2 曲线运动 中 国 科 运动学的反问题 学 技 如果已知： 术 分量式： 大 可以完全描述运动。 杨 速度： 1.4.2 曲线运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 运动学的反问题 如果已知： 分量式： 可以完全描述运动。 速度： 位矢： 路程：

第一章 质点运动学 §1.5 自然坐标系中运动的描述 1.5.1 切向加速度和法向加速度 1.5.2 自然坐标系 1.5.3 圆周运动 中 §1.5 自然坐标系中运动的描述 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.5.1 切向加速度和法向加速度 1.5.2 自然坐标系 1.5.3 圆周运动

第一章 质点运动学 §1.5 自然坐标系中运动的描述 中 国 科 学 技 有时直角坐标系不是最好的坐标系，这是因为： 术 大 杨 维 纮 §1.5 自然坐标系中运动的描述 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 有时直角坐标系不是最好的坐标系，这是因为： 若我们研究的运动是受约束的运动，比如火车的行驶（它不能离开铁轨），或穿在弯曲钢丝上的小环的运动等。这类运动往往轨迹的形状是给定的，由于约束力的参与（本章中我们不讨论力，仅研究运动），加速度往往与轨迹上点的位置有关（有时还与质点在该点速度有关），此时运动的独立性往往失效。沿轨迹的曲线坐标系有可能是更好的坐标系。 即使我们研究运动的独立性有效的运动，使用直角坐标系使得数学计算简单了，但我们对其中的一些物理细节却并不很清楚。比如，我们知道速度的方向是沿着轨迹上质点所在位置的切线方向，但加速度的方向如何？加速度的方向对速度又有何影响？ 于是，我们需要引入一种新的坐标系：自然坐标系。

第一章 质点运动学 §1.5 自然坐标系中运动的描述 1.5.1 切向加速度和法向加速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 §1.5 自然坐标系中运动的描述 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.5.1 切向加速度和法向加速度 我们现在考虑加速度的方向。对于沿直线的运动，只有一个方向，故速度与加速度的方向都与轨迹的方向平行（对于减速运动，加速度的方向与运动方向相反，我们仍视加速度与速度方向平行，有时也称其为反平行），如图1.11(a)；对于匀速圆周运动，加速度与速度方向垂直，如图1.11(b)；而对于一般的曲线运动，加速度的方向比较复杂，它往往与速度的方向即不平行又不垂直，如图1.11(c)。 由于一维的直线运动非常简单，我们下面的讨论认为质点的运动不是直线运动。

第一章 质点运动学 1.5.1 切向加速度和法向加速度 中 国 科 速度矢量： 学 技 1.5.1 切向加速度和法向加速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 速度矢量： 其中 是沿着轨道切向，指向运动方向的单位矢量。v(t)没有法向分量。 加速度 ：

第一章 质点运动学 1.5.1 切向加速度和法向加速度 该项沿轨迹的切向，也即是速度的方向，我们称这一项为切向加速度。 中 国 科 学 技 1.5.1 切向加速度和法向加速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 该项沿轨迹的切向，也即是速度的方向，我们称这一项为切向加速度。

第一章 质点运动学 1.5.1 切向加速度和法向加速度 中 国 科 如图知，求瞬时加速度至少需要在轨迹上取三个点。 学 技 术 大 1.5.1 切向加速度和法向加速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 如图知，求瞬时加速度至少需要在轨迹上取三个点。 设我们取三个点P、Q、Q1来求加速度。 在求加速度的过程中，每次只取三个点，而不在一条直线上的三个点可以唯一确定一个平面（我们已假定了质点的运动不是直线运动），在取极限的过程中，这三个点所确定的平面也会随之变化，最后会趋于一个极限的平面。我们认为这个极限平面与点附近的轨迹的关系最为密切，故称该极限平面为密切平面（简称密切面）。不仅如此，不在一条直线上的三个点还可以唯一确定一个圆，于是，在我们的密切面上还有一个极限圆，我们认为这个极限圆与点附近的轨迹的弯曲情况最为密切，故称该极限圆为密切圆，又称曲率圆，这个圆的半经称为曲率半径。

第一章 质点运动学 1.5.1 切向加速度和法向加速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 于是： 维 纮 其中： 1.5.1 切向加速度和法向加速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 于是： 其中： 切向加速度，表示速度大小的变化 法向加速度，表示速度方向的变化 曲率半径

第一章 质点运动学 1.5.1 切向加速度和法向加速度 中 国 科 学 加速度： 技 术 大 加速度的大小（绝对值）： 杨 维 纮 1.5.1 切向加速度和法向加速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 加速度： 加速度的大小（绝对值）： 如果运动方程 已知： 可以求得： 可得轨迹上任意一点的曲率半径为：

第一章 质点运动学 1.5.1 切向加速度和法向加速度 中 国 科 学 如果以弧长 s 为坐标，则 ： 技 术 大 杨 维 可得： 纮 1.5.1 切向加速度和法向加速度 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 如果以弧长 s 为坐标，则 ： 可得： 质点的运动在形式上与直线运动相仿，所不同的是，质点走的实际上是曲线。

第一章 质点运动学 1.5.2 自然坐标系 中 国 科 学 技 术 大 1.5.2 自然坐标系 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 这样构成的正交坐标系称为自然坐标系（有的书上称为内禀坐标系、本性坐标系、路径坐标系等） 当质点作空间运动时，它的速度向量位于轨迹上的切线方向，而加速度向量位于该点的密切平面上。

第一章 质点运动学 1.5.3 圆周运动 中 国 科 学 技 术 2. 轨道在一个平面上 大 称这样的运动为圆周运动。 杨 维 1.5.3 圆周运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 2. 轨道在一个平面上 称这样的运动为圆周运动。 若同时有 常数 则称为匀速圆周运动。

第一章 质点运动学 1.5.3 圆周运动 中 国 科 学 圆周运动的另一种描述法： 技 术 1.5.3 圆周运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 圆周运动的另一种描述法： 定义：角速度矢量 ，大小为 ，方向按右手系指向平行于转轴方向。 有了上述定义，则当坐标原点选在转轴上时，如图，有：

第一章 质点运动学 1.5.3 圆周运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 我们曾指出，对于一个物理对象，用什么数学语言来描写，这并不是一件很自然的事情，任何一种数学只是一种逻辑体系，一种逻辑体系能不能正确地描写我们的物理对象，是要认真研究的。物理上，寻找那种能正确地、简洁地描写物理对象的数学是一个难点。在这里，我们定义了角速度矢量，这似乎很自然，它又有大小，又有方向。这里要提醒大家注意的是，有大小又有方向的量可不一定就是矢量，若要是矢量还必须满足矢量的运算法则。

第一章 质点运动学 §1.6 平面极坐标中的运动描述 1.6.1 平面极坐标 1.6.2 位矢、速度和加速度 的极坐标表示 中 国 科 学 §1.6 平面极坐标中的运动描述 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.6.1 平面极坐标 1.6.2 位矢、速度和加速度 的极坐标表示

第一章 质点运动学 §1.6 平面极坐标中的运动描述 1.6.1 平面极坐标 中 国 科 学 技 术 大 §1.6 平面极坐标中的运动描述 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.6.1 平面极坐标 直角坐标系是最常用的坐标系，但对有些运动，如圆周运动、速度或加速度指向空间某固定点的运动等，直角坐标就不那么方便，而用平面极坐标（简称极坐标）会有许多优点。 极坐标法(只对平面曲线运动时可用)： 极坐标的建立：规定极点，极轴，极径，极角 　　　　极角：极径和极轴的夹角称为极角 两个单位矢量 和 ，它们分别表示 r 增加的方向（称为径向）和 增加的方向（称为横向）

第一章 质点运动学 1.6.1 平面极坐标 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 在极坐标系中，质点的运动方程为： 1.6.1 平面极坐标 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 在极坐标系中，质点的运动方程为： 从该方程组中消去时间t，可得轨迹方程为：

第一章 质点运动学 1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 前者叫径向速度，用vr表示；后者叫横向速度，用 表示，即： 其中：

第一章 质点运动学 1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示 中 国 科 利用矢量的求导公式 推导： 学 技 由于： 术 大 可得： 杨 1.6.2 位矢、速度和加速度的极坐标表示 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 利用矢量的求导公式 推导： 由于： 可得： 径向加速度 横向加速度

第一章 质点运动学 例：设质点在匀速转动（角速度为）的水平转盘上从开始自中心出发以恆定的速率沿一半径运动，求质点的轨迹、速度和加速度。 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 解： 取质点运动所沿的半径在时的位置为极轴，得： 轨迹方程： 此曲线为阿基米德螺线

第一章 质点运动学 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 总结： 一般地，当加速度为常量（如重力加速度），应选取直角坐标系；当加速度总指向空间一点时（有心力情形），选极坐标系较方便；当质点的轨迹已知时（譬如限定在某曲线轨道上滑动），则可选用自然坐标系。

第一章 质点运动学 §1.7 相对运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 §1.7 相对运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 通常，把相对观察者静止的参考系称为定参考系或静参考系，把相对观察者运动的参考系称为动参考系；把物体相对于动参考系的运动称为相对运动（相应的有相对速度和相对加速度），物体相对静参考系的运动称为绝对运动（相应的有绝对速度和绝对加速度）。动参考系相对静参考系的运动称为牵连运动（相应的有牵连速度和牵连加速度）。 当相对作平动（如的坐标轴在运动中始终与的坐标轴保持平行）时，牵连速度和牵连加速度不因物体在上的位置不同而异。当相对转动时，牵连速度和牵连加速度均与物体的位置有关。为了讨论问题简单起见，本节中动参考系和静参考系中的坐标系都取直角坐标系。

第一章 质点运动学 §1.7 相对运动 1.7.1 动参考系作任意方式的平动 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 学 技 术 §1.7 相对运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1.7.1 动参考系作任意方式的平动 1.7.2 动参考系作任意方式的运动

第一章 质点运动学 1.7.1 动参考系作任意方式的平动 中 国 科 注意：平动不一定是直线运动！ 学 技 术 大 对静参考系 K： 杨 维 1.7.1 动参考系作任意方式的平动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 注意：平动不一定是直线运动！ 对静参考系 K： 对动参考系 K/: 于是，我们有：

第一章 质点运动学 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 学 技 术 P点在K系的坐标： 大 杨 维 P点在K/系的坐标： 纮 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 P点在K系的坐标： P点在K/系的坐标： O/点在K系的坐标、速度和加速度： 现在， 和 不能象平动参考系那样称其为牵连速度和牵连加速度

第一章 质点运动学 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 学 定义： 技 术 在静参考系K中对时间的微商称为绝对微商，符号： 大 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 定义： 在静参考系K中对时间的微商称为绝对微商，符号： 在动参考系K/中对时间的微商称为相对微商，符号： 它们之间差别表现在对坐标系的坐标基矢作用时不同 绝对微商视 为变量，视 为常量； 相对微商视 为变量，视 为常量； 除此之外，对坐标值（它们是标量）作用时 与 完全相同。

第一章 质点运动学 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 学 K 系： 技 术 大 K/ 系： 杨 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 K 系： K/ 系： 当K/系只平动而不转动时，坐标基矢 都是常矢量，则 对它们作用后结果为零； 而当K/系只转动而不平动时，坐标基矢 都在以角速度ω作圆周运动

第一章 质点运动学 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 学 用D/Dt作用于K/系中任意随时间t变化的矢量： 技 术 大 杨 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 用D/Dt作用于K/系中任意随时间t变化的矢量： 即：

第一章 质点运动学 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 1. 相对于K/系静止的点，向心加速度 学 技 术 大 杨 维 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1. 相对于K/系静止的点，向心加速度 由于P点相对于K/系静止，有： 即牵连速度：

第一章 质点运动学 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 1. 相对于K/系静止的点，向心加速度 学 技 术 大 杨 维 纮 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 1. 相对于K/系静止的点，向心加速度 若K/系的原点相对于K系静止，即: 有： 由于牵连加速度的方向为由P点垂直指向转轴方向，故称该加速度为向心加速度。

第一章 质点运动学 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 2. 相对于K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度 学 技 术 大 杨 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 2. 相对于K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度 P点相对于K/系作匀速运动 ，有： 即： 其中 是牵连速度

第一章 质点运动学 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 2. 相对于K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度 学 技 术 大 杨 1.7.2 动参考系作任意方式的运动 中 国 科 学 技 术 大 杨 维 纮 2. 相对于K/系作匀速运动的点，科里奥利加速度 令： 则得： 其中 称为科里奥利加速度，这是法国人科里奥利（G.Coriolis）于1835年提出的。