第六节 高斯公式 通量与散度 第十一章 Green 公式 Gauss 公式 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 高斯公式 通量与散度 推广 Green 公式 Gauss 公式 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲 面 所围成,  的方向取外侧, 定理1. 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲 面 所围成,  的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在  上有连续的一阶偏导数 , 则有 (Gauss 公式) 运行时, 点击按钮“相片”, 或按钮“高斯”, 可显示高斯简介,并自动返回. 下面先证: 高斯 目录 上页 下页 返回 结束

证明: 设 为XY型区域 , 则 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

所以 若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 闭域  的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = (用柱坐标) 思考: 若  改为内侧, 结果有何变化? 若  为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中  为锥面 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面 取上侧 解: 作辅助面 取上侧 所围区域为, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

利用重心公式, 注意 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 设 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用极坐标 用柱坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 例4. 设函数 在闭区域 上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 其中  是整个  边界面的外侧. 分析: 高斯公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证:令 由高斯公式得 移项即得所证公式.(见 P171) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 . 例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但 不是二维单连通区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2. 在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则 ① 的充要条件是: ② 证: “充分性”. 根据高斯公式可知②是①的充分条件. “必要性”. 用反证法. 已知①成立, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域 取外侧, 则由高斯公式得 与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、通量与散度 引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为 当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于 流出的, 表明 内有泉; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明  内有洞 ; 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 根据高斯公式, 流量也可表为 ③ 机动 目录 上页 下页 返回 结束

分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

divergence 定义: 设有向量场 其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数,  是场内的一片有向 曲面, 其单位法向量 n, 则称 为向量场 A 通过 有向曲面  的通量(流量) . divergence 在场中点 M(x, y, z) 处 记作 称为向量场 A 在点 M 的散度. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且 表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 运行时, 点击按钮“P16” ,可显示三度的含义. 故它是无源场. P16 目录 上页 下页 返回 结束

*例5. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为 解: 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1. 高斯公式及其应用 公式: (1) 计算曲面积分 应用: (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 通量与散度 设向量场 P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面  的通量为 G 内任意点处的散度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习  为 所围立体, 判断下列演算是否正确? (1) (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 P174 1 (2), (4), (5); 2(2) ; 3; 4 第七节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 设  是一光滑闭曲面, 所围立体  的体 积为V,  是  外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径 的夹角, 备用题 设  是一光滑闭曲面, 所围立体  的体 积为V,  是  外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径 的夹角, 试证 证: 设  的单位外法向量为 则 例16 ( L.P339例4 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

高斯(1777 – 1855) 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的 原则: “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.