§5.7 哈密顿原理 （1）最速落径问题和变分法 数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。 §5.7 哈密顿原理 （1）最速落径问题和变分法 数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。 如图所示，铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中，找出一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自A点沿它无摩擦地滑下时，以最短时间到达B点。 设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲线运动速度为 质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间 （1）

显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值的条件为 （2） 算符δ称为变分记号。 变分运算法则和微分运算法则相似： （3）

（2）变分问题的欧拉方程 求泛函J[y(x)]的变分δJ = 0的条件： 为普遍起见，将（7.6）式改写 （4） 对上式求变分，令δJ=0：

（7.10）是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件，称为欧拉方程， 思考：欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别？ 因此， （5） （7.10）是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件，称为欧拉方程， 思考：欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别？ （3）哈密顿原理 一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 来描述。 在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点， 随着时间的变动，位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻 和 体系位于位形空间的 点和 点，相应的广义坐标为 （或缩写为 ）， 由 点通向和 点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在 时间内，为何确定体系的s个广义坐标 ？

哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。 · 定义： 体系的拉格朗日函数在 内的积分 （6） 为哈密顿作用量（或主函数），是 的泛函数。 · 哈密顿原理 1843年哈密顿提出：对于一个保守系 的完整力学体系，其由动力学规律所决定 的真实运动轨道可由泛函数 取极值的条件 （7） 给出——哈密顿原理。 对于非保守系，哈密顿原理的数学表达式为

（8） 式中 为广义力。 由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程，因此，哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起“几何公里”作用，可由它导出全部力学定律的原理或假说，称为力学第一性原理或最高原理，如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等都是力学第一性原理，所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的，各有优缺点，但都是等价的。 7.3 正则变换 （1） 选好广义坐标的重要性 选取不同的广义坐标，所得的微分方程的形式不同，求解方程的难易程度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标，就能在正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则微分方程的求解就变得十分困难，因此，为何选取广义坐标是理论力学中最富技术性的环节。

（2）正则坐标变换的目的和条件 正则坐标变换（正则变换）的理论，就是寻找最佳坐标，使H函数中出现更多的循环坐标，求解微分方程组变得更容易的方法。 设原来的正则变量为p、q，通过变量变换新的正则变量为P、Q，它们的变换关系为 （7.14） 如果变换后，新的哈密顿函数 仍然满足正则方程 （7.15） 满足（7.15）式子的正则坐标变换称为正则变换。 满足正则变换（7.15）式的具体条件（证明见P.256-257）是： （7.16） 式中F为正则变换母函数。

由（7.16）式可得 （7.17） （7.18） 以上二式表明：由 时， 可任意规定； 规定后， 则 由 规定，F由 来选取， 来确定。 （3）四种不同类型的正则变换 （7.16）式是正则变换的一种形式，是以（q，Q）为独立变量的形式，对应的母函数F（q，Q，t）为第一类正则变换母函数。也可以（q，P），（p，Q），（p，P）为独立变量。

① 第一类正则变换 （7.19） ② 第二类正则变换 ③ 第二类正则变换

④ 第二类正则变换 （4）正则变换的关键 若变换后新哈密顿函数只是变量 及t的函数，即 则由（7.15）式知 =常数 ∴

可得力学体系2s个运动积分，于是体系的运动问题就完全解决了。体系能否有2s积分，全靠母函数F规定得如何而定，所以体系的运动微分方程的积分，从正则变换的眼光看，就变成为何寻找合适的母函数F的问题了，F规定适当，变换后出现很多循环坐标，问题即可大为简化。 [例1] 用正则变换法求平面谐振子的运动 解：设振子沿x，y方向的动量为 ，振 动频率为 ，哈密顿函数为 设母函数 由（7.19）式，得 （2）

将（3）式中的 及 表示代入（1）中，得 （4） （5） 由（7.15）式，得 （6） 积分得 （7） 积分常数 由起始条件决定。

由（3）式得振子运动方程 （8） 7.4 哈密顿——雅可比方程 （1）方程的推导 通过正则变换可使新的哈密顿函数 结构简化，从而使正则方程 易于求解。最理想的情况是 ，这时 （常数）， （常数）。

的结构形式与母函数F有关。在四类正则变换中，母函数和新旧 哈密顿函数的关系为 （7.23） 取第二类母函数 ，则由（7.20）式得 （7.24） 并根据 =0的要求，令 ，则（7.23）式为 （7.25） 由（7.25）式知：如果F（q,t）是方程的解，则 （常数） （7.26） 也是方程的解，故（7.25）式可改写成 （7.27）

（7.27）式称为哈密顿——雅可比方程，其中S（q,t）称为哈密顿主函数。 求出 ，由 求出 ，就可得出正则方程的全部积分了。这样， 正则方程的求解问题归纳为为何从哈密顿——雅可比方程（7.27）式求S的 问题。 （2）方程的解 为简单起见，设H=E（常数），即讨论能量守恒或广义能量守恒 问题的求解。 哈——雅方程为 （7.28） 由于上式是包含s个q和t的变量的偏微分方程，故对t积分后得 （7.29） 式中 称为哈密顿特征函数，将

（7.30） 代入关系H=E，得 （7.31） 从（7.31）式可解得W，再代入（7.29）式，就可得到H=E体系的哈密顿——雅可比方程的解，于是正则方程的求解又归结到从（7.31）式中求特征函数W的问题了。通常采用“分离变量法”求（7.31）的解。 7.5 解题指导 （1）习题类型及基本解法 哈密顿理论的三个重力学方程（正则方程、哈密顿原理、雅可比方程） 主要用于建立体系的动力学方程，这是本章习题内容和类型。 基本解法：将体系的拉格朗日函数L或哈密顿函数H代入相应的方程即得 体系的运动微分方程。解起的要点和步骤是：

① 析体系约束类型，主动力性质； ② 确定自由度，选择适当的广义坐标； ③ 正确写出体系的L函数和H函数； ④ 将L或H代入相应的哈密顿理论的动力学方程，并进行运算，可 得出体系的运动微分方程； ⑤ 方程，出要求的量。 ⑵ 范例 [例1] 用哈密顿原理建立开普问题的动力学方程。 解：用极坐标描述开普勒问题较方便。自由度为2，以r，Q为 广义坐标，拉格朗日函数为

代入哈密顿原理表达式，得

[例2] 用哈密顿—雅可比方程解开普勒问题。 解：开普勒问题能量守恒，其哈密顿-雅可比方程形式为 （1） 哈密顿函数 （2） 由 ，代入（2）和（1）得哈密顿—雅可比方程为 （3）

求出方程（3）的解，代入 （4） 可得 用 乘（3）式两边，并移项得 （5） 用分离变量法求解，令 （6）

将（6）代入（5）得 （7） 上式左边只是r的函数，右边只是θ的函数，要使其对任意的r、θ都成立， 来表示，由此可得 （8） （9） 积分（8）式得 （10） （9）式可改写为

所以 （11） 将（10）、（11）代入（6），最后得方程（3）的解： （12） 将（12）代入（7.19）得 上式中的 为积分常数 ，适当选取坐标原点，总可令 ，于是得 （13）

令 ，则（13）式可改写为 （14） 这正是开普勒问题的轨道方程。 （15） 这就是开普勒问题的运动方程r=r（t）的积分表示式，再将（15）和（14） 联立起来即可解得θ=θ（t）。

第五章

试求对应于θ1、θ2的广义力Q1、Q2。 因此，系统所有主动力的虚功为 第五章

1.笛卡儿直角坐标:为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。 坐标的发展历史 1.笛卡儿直角坐标:为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。 2.极坐标、柱坐标和球坐标:用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。 从直角坐标到极坐标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。 3.广义坐标。反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。 坐标概念的第二次飞跃。 第五章

正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。 3.正则共轭坐标 在保持广义坐标的定义和广义动量的定义不变的基础上，对也不做任何限制，可以使与保持相互独立，因而可以以二者为坐标来描述力学体系的状态，这样的一组坐标就被称为正则共轭坐标。 第五章

                                                                          　 式中                                                         是体系的广义能量。由                                可以解出                     ，故H是p、q、t的函数，表征体系的状态，称为哈密顿函数。     若L不显含t，并且约束是稳定的，体系的 能量守恒，则                                                       第五章

（2）哈密顿正则方程 哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为 （7. 3） 比较（7. 2）和（7. 3）式，得 （7. 4） （7 （2）哈密顿正则方程      哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为                                                                   （7.3） 比较（7.2）和（7.3）式，得                                                             （7.4）                                              （7.5）              （7.4）式称为保守系的哈密顿正则方程，它是2s个一阶微分方程，形式对称、结构紧凑。 第五章

[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。 解：取图7. 3所示的转动参考系。粒 子的L函数为（参见5 第五章

正则方程为 （6） 将 代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程 正则方程为                                                      （6） 将 代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程                                                                        第五章

第五章

第五章

第五章

第五章