《高等数学》（理学） 常数项级数的概念 袁安锋 2016.7
教学内容 问题的提出 级数的概念 小结 重点： 级数的概念； 难点： 级数与部分和数列的关系
一、问题的提出 引例
分析 问题 无穷和形式是否总可表达某个确定的数？ 思 考 无穷和形式与有限项的和一样吗？
二、级数的概念 定义1 1. 级数的定义 给定一个数列 u1 , u2 , … , un , … , 则由这数列构成的表达式 称为(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数. 记为 即 其中 un称为级数的一般项.
例如： （1） （2） 思 考 级数的问题（无穷和形式）能否先转化为有限项问题来研究呢？
2.级数的部分和 称 为无穷级数的前 n 项和(或称部分和). 定义2 记作 sn . 即 问题 级数与部分和是什么关系呢？
（1）已知级数 ， 按照下列方式 s1 = u1， s2 = u1+u2 ， sn = u1+ u2 + …+ un ， …, …, 可唯一地确定一个部分和数列{sn }． （2）若给定一个数列{ sn }, 按照下列方式 u1 = s1 ， u2 = s2 − s1 , …, un = sn−sn-1 ， …, 也可唯一确定相应的级数 ．. 因此有
意义 将级数问题就转化为数列问题了； 无穷和形式转化为有限和的极限问题。
3. 级数的收敛与发散 若 , 则称级数 是收敛的. 定义3 称 s 为级数 的和. 记作 若 不存在, 则称级数 是发散的.
归纳 常数项级数 收敛 部分和数列 存在 发散 不存在 方法 将未知的问题转化为已知问题来解决
例1 讨论等比级数（几何级数） 的敛散性. 解 若 时， 当 时， 级数收敛. 级数发散. 当 时，
若 时， 当 时， 级数变为 从而级数发散. 当 时， 级数变为 不存在， 从而级数发散. 综上 收敛，和为 ， 发散， 当 时； 当 时.
应用 试解释无限循环小数 与1的关系. 解 等比级数 公比 收敛，和为 ， 发散， 当 时； 当 时. 练习 将无限循环小数 化为分数 .
小结 1.常数项级数的基本概念 2. 级数 收敛（发散） 数列 存在（不存在） 3.等比级数（几何级数） 收敛，和为 ， 发散， 当 时； 2. 级数 收敛（发散） 数列 存在（不存在） 3.等比级数（几何级数） 收敛，和为 ， 发散， 当 时； 当 时.
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