CH 4 级数 1、复数项级数 2、幂级数 3、泰勒(Taylor)级数 4、罗朗(Laurent)级数

§4.1 复数项级数 1. 复数列的极限 2. 级数的概念

1. 复数列的极限 定义 又设复常数： 定理1 证明

例1 判断下列数列是否收敛？若收敛，求出其极限.

2. 级数的概念 ---无穷级数 定义 设复数列： 级数的前面n项的和 ---级数的部分和 不收敛

例2 解 定理2 证明

由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 　　 两个实数项级数的收敛问题. 性质 定理3 证明

由定理3的证明过程，及不等式 定理4 ? 定义

例2 解

级数收敛判定： 1.正项级数收敛判定： 2.交错级数收敛判定： 3.特殊结构的级数收敛判定：

练习：

§4.2 幂级数 1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质

1. 幂级数的概念 设复变函数列： 定义 ---称为复变函数项级数 级数的最前面n项的和 ---级数的部分和

若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 ---级数(1)的和函数 特殊情况，在级数(1)中 称为幂级数

2. 收敛定理 同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理）

证明

3. 收敛圆与收敛半径 (2)用反证法， 由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况： 3. 收敛圆与收敛半径 　　由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况： (i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处　处收敛. (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.

小，在c外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错.故 显然，<  否则，级数(3)将在处发散. 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，逐渐变大， 在c内部都是红色,逐渐变 播放

定义　这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析. (ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.

4. 收敛半径的求法 定理2 (比值法) 证明

定理3 (根值法)

定理2 (比值法) 定理3 (根值法)

例1 解 综上

例2 求下列幂级数的收敛半径

5. 幂级数的运算和性质 　代数运算　 ---幂级数的加、减运算 ---幂级数的乘法运算

---幂级数的代换(复合)运算 幂级 数的代换运 算在函数展 成幂级数中 很有用. 例3 解 代换

解 代换 展开 还原

　分析运算　 定理4 ---幂级数的逐项求导运算 ---幂级数的逐项积分运算

例4 求幂级数的和函数及收敛圆.

§4.3 泰勒(Taylor)级数 1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式

1. 泰勒(Taylor)展开定理 由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数. 现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？） 以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示.

定理1（泰勒展开定理） D 分析： k 代入(1)得

D k z

---(*)得证！

证明

2. 展开式的唯一性 利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？ 结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它 结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它 　　　的Taylor级数. 事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:

由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的. 函数展开成Taylor级数的方法： 　代公式 ---直接法 　由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 　 析运算和 已知函数的展开式来展开 ---间接法

3. 简单初等函数的泰勒展开式 例1 解

上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法. 解

(2)由幂级数逐项求导性质得：

　(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负

练习

定理

§4.4 罗朗(Laurent)级数 1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数 4. 展开式的唯一性

由§4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 z - z0<R 内展开成 z - z0 的幂级数. 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1<z - z0<R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？ 例如，

由此推想，若f (z) 在R 1<z - z0<R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即

本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法.它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础.

1. 预备知识 Cauchy 积分公式的推广到复连通域 ---见第三章第18题 D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z

2. 双边幂级数 ---含有正负幂项的级数 定义 形如 ---双边幂级数 正幂项(包括常数项)部分： 负幂项部分：

级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在 z - z0=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在z - z0=R 2外发散.

z0 R2 R1 z0 R1 R2

(2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上,

3. 函数展开成双边幂级数 定理

D z0 R1 R2 证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式： r R k1 k2 D1 z 记为I1 记为I2

式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子： 证毕！ 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分.

级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分. (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么 　　 就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开.

4. 展开式的唯一性 结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数. 事实上， 结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数. 事实上， D z0 R1 R2 c

D z0 R1 R2 c

由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可 用间接法.在大都数情况，均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有 在个别情况下，才直接采用公式(5')求Laurent系 数的方法. 例1 解

例2 解 例3 解

例4 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2

解: 没 有 奇 点

注意首项

小结：把f (z)展成洛朗( Laurent )级数的方法： (2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式.

(4)根据区域判别级数方式： 在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数， 在环域内需要把f (z)展成洛朗( Laurent )级数.

y x o 1 2 例5 解 (1) 在(最大的)去心邻域

(2) 在(最大的)去心邻域 x o 1 2 练习：

(3) Laurent级数与Taylor 级数的不同点： Taylor级数先展开求R, 找出收敛域. Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远 点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成 级数.

本章作业 1.（2），（5）； 11.（2），（6）； 12.（2），（3）； 16.（5），（7）.