定积分性质和微积分学基本定理 一、 定积分性质 二、 变上限积分函数 三、 定积分基本公式
一、定积分的性质 条件：下列积分都存在 性质1 性质2 性质３ ( k 为常数) 性质４ ( 积分区间可加性) 推广：
性质５ 在区间 上 性质６ 如果 分别是 和 最小值和最大值,则 上 在区间 性质７
(1)偶函数的图像关于y轴对称 (2)奇函数的图像关于原点对称
例１ 例2 不计算定积分的值，比较下列定积分大小． (1)因为当 时， 所以 (2)因为当 时，
性质８ ( 积分中值定理 ) 如果函数 在闭区间 上连续，则在区间 上 至少存在一点 使得 通常我们称 为连续函数 在 上的平均值。
积分中值定理的几何解释 ： 当 时,由曲线 ,直线 所围成的曲边梯形的面积，等于以区间 为底、以该区间上某一点处的函数值 为高的矩形的面积 。
二、 变上限积分函数 设函数 在 上连续，x为区间上的任意一点，则定积分 存在． 随着积分上限x在区间内变化，定积分都有惟一确定的值与之相对应,故 是x的函数，称它为 变上限积分函数，记作 ，即
微积分学第一基本定理 如果函数 在区间 上连续，则函数 在区间 上可导，且它的导数就是 ，即 定理表明， 是连续函数 的一个原函数．这个定理揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系。
例 设 ，求 解：根据定理，可得 例 设 ，求 练习．设 ,求 ． （答案： ）
区别三种积分 不定积分 表示全体原函数 定积分 表示一个常数 变上限积分 表示一个原函数 练习
三、定积分基本公式 微积分学第二基本定理 设函数 在 上连续，若 设函数 在 上连续，若 称为牛顿（Newton）—莱布尼茨（Leibniz）公式，也叫定积分基本公式．
求定积分 例
练习．求定积分 ． （答案： ） 例 求定积分
例 求定积分 解：被积函数是分段函数 由积分区间的可加性，得
.
这种做法是错误的。不能直接使用牛—莱公式 计算积分 这种做法是错误的。不能直接使用牛—莱公式 注意：牛—莱公式使用条件： 函数在闭区间连续
小 结 1．定积分性质． 2．变上限积分函数的概念． 3．变上限积分函数求导方法 ． 4．利用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分