第四章 函数的积分学 第六节 微积分的基本公式 一、变上限定积分 二、微积分的基本公式
一、变上限定积分 如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分 表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形AaxC 的面积， 当 x 在区间 [a, b] 上变化时, 如图中阴影部分所示的面积. y x y = f (x) a b O A C B 阴影部分的曲边梯形面积也随之变化， 所以变上限定积分 (x) 是上限变量 x 的函数. 记作 (x)， 即 ≤
定理 1 若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续， 则变上限定积分 在区间 [a, b] 上可导， 并且它的导数等于被积函数， 即
由 (x) 的定义得对应的函数 (x) 的量 (x)， 给自变量 x 以增量 x，x + x [a, b]， 证 按导数定义， 由 (x) 的定义得对应的函数 (x) 的量 (x)， 给自变量 x 以增量 x，x + x [a, b]， 即 (x) = (x + x) - (x) A C b B y = f (x) x y a O (x) x + x
根据积分中值定理知道，在 x 与 x + x 之 间至少存在一点 x ， 使 (x) 所以，当x 0 时有 x x， f (x) f (x)， 成立. 又因为 f (x) 在区间 [a, b] 上连续， 从而有 (x) 故
定理 1 告诉我们， 变上限定积分 是函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数， 这就肯定了连续函数的原函数是存在的， 所以，定理 1 也称为原函数存在定理.
例 1 求 (x). 解 根据定理 1，得
例 2 求 F (x). 解 根据定理 1，得
例 3 求 (x). 解 (x)
例 4 解
二、微积分的基本公式 定理 2 如果函数 f (x) 在区间[a, b]上连续， F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数， 那么
又由题设知道 F(x) 也是 f (x) 在 [a, b] 上一个原函数， f (x) 在 [a, b] 上的一个原函数， 证 由定理 1 知道 又由题设知道 F(x) 也是 f (x) 在 [a, b] 上一个原函数， f (x) 在 [a, b] 上的一个原函数， 由原函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只相差一个常数， 即 ≤ ① 把 x = a 代入①式中， 则，常数 C = F(a)， 于是得
移项，得 令 x = b 代入上式中， 再把积分变量 t 换成 x， 得 ② 为了今后使用该公式方便起见，把 ② 式右端的 这样 ② 式就写成如下形式：
例 5 计算下列定积分. 解
例 6 计算下列定积分. 解
例 8 计算 解 把被积函数化简.
例 9 ≤ 解