人教A版(理)选修2-2 --------教材解读 杭州市西湖高级中学 严兴光 Email:yxg1818@163.com

第一章 导数

（一）内容结构 在本章中，学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过本章的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。

（二）文理科教学内容与要求比较 1、课时分配 理科(24课时)： 1.1 变化率与导数 约4课时 1.2 导数的计算 约4课时 1.1 变化率与导数 约4课时 1.2 导数的计算 约4课时 1.3 导数在研究函数中的应用 约3课时 1.4 生活中的优化问题举例 约4课时 1.5 定积分的概念 约4课时 1.6 微积分基本定理 约2课时 1.7 定积分的简单应用 约2课时 小结 约1课时

文科（16课时）： 3.1 变化率与导数 约4课时 3.2 导数的计算 约3课时 3.3 导数在研究函数中的应用 约3课时 3.4 生活中的优化问题举例 约4课时 实习作业 约1课时 小结 约1课时

2、文科理科内容相同要求不同的地方有：1.3导数在研究函数中的应用一节中，理科还要求体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 3、理科比文科增加的地方主要有：在导数的运算中，能根据导数定义求函数y= 的导数；能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的导数；定积分的概念、微积分基本定理及定积分的简单应用。 2、文科理科内容相同要求不同的地方有：1.3导数在研究函数中的应用一节中，理科还要求体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 3、理科比文科增加的地方主要有：在导数的运算中，能根据导数定义求函数y= 的导数；能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的导数；定积分的概念、微积分基本定理及定积分的简单应用。

（三）与大纲相比，(理科)教学内容与要求上的新变化 1、内容编排上的变化 ⑴内容 　　删去极限；增加生活中的优化问题举例；定积分的概念；微积分基本定理；定积分的简单应用;实习作业. ⑵编排 　　大纲教材从切线斜率和瞬时速度引入导数的概念. 　　课标教材按照平均变化率、瞬时变化率、导数的概念、导数的几何意义这样的顺序，用形象直观的“逼近”方法定义导数概念.

2、教学理念上的变化 ⑴更加突出概念的本质 例如 “导数概念”的处理： 通过研究“气球膨胀率”和“高台跳水运动员从腾空到进入水面的过程中不同时刻的速度”等实例，让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，引出瞬时速度的概念，从而抽象出导数概念。

⑵更加重视导数的几何意义，以及用导数的几何意义解决相关问题； ⑶更加强化通过函数图象认识概念、理解导数的应用和研究问题的价值； ⑷更加注重导数和定积分的实际应用； 用导数处理切线问题；用导数研究函数；用导数处理生活中的优化问题.并通过与初等方法比较，让学生感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性；定积分在几何中和物理中的应用。

⑸更加关注导数和积分概念产生的实际背景、算法思想的渗透，以及与信息技术的整合； ⑹更加淡化计算，把导数和积分不仅作为一种规则学习，更作为一种重要的思想、方法来学习；

3、教学要求上的变化 内容 知识点 指导意见(2-2) 教学大纲 变化分析 导数的 概念及 其几何 意义 概念 经历过程，了解 实际背景，理解 瞬时变化率，理 解导函数的概念. 了解实际背景， 掌握定义，理解 导函数的概念。 注重过程； 弱化导数形 式化定义. 几何 直观理解 几何意义 掌握几何意义 注重直 观理解。 计算 导数公 式运算 法则 能利用公式及法 则求简单函数的 导数。 熟记公式，掌握 法则，会求函数 的导数 要求有 所降低。 复合函 数的导 数 仅限于求形如 f(ax+b)的导数 理解复合函数求 导法则，会求某 些简单函数导数. 要求明 显降低。

内容 知识点 指导意见(2-2) 教学大纲 变化分析 导数的 应用 与函数 单调性 的关系 借助几何直观了解 关系；会求不超过 三次的多项式函数 的单调区间。 会从几何直观 了解关系。 对导数在研 究函数中的 应用，以及 在解决实际 问题中的应 用要求具体 且较高。 函数的 极值与 最值 了解取得极值的条 件；会求不超过三 次的多项式函数的 极值与最值。 了解取得极值 的条件 实际 运用 会求生活中利润、 用料、效率最高等 优化问题。 会求实际问题 的最大值、最 小值。

内容 知识点 指导意见(2-2) 教学大纲 变化分析 定积 分与 微积 分基 本定 理 定积分 的概念 了解实际背景；体 会基本思想；初步 了解概念，掌握几 何意义。 新增 的应用 会求曲边梯形等简 单平面图形的面积. 变速直线运动的路 程和变力做功等简 单的物理问题。 微积分 基本定 直观了解其含义。

⑴要求降低的有:弱化导数的形式化定义；削弱求导数的计算难度，仅限于求简单函数以及形如f(ax+b)复合函数的导数； ⑵要求提高的有：对导数在研究函数中的应用，以及在解决实际问题中的应用要求具体且较高。 ⑶要求增加的有：定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用和实习作业。

（四）教学建议 1、注重导数和定积分概念的形成过程 导数概念的形成过程教学设计案例： ⑴问题情境(高台跳水问题)运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 　　①用运动员在某些时间段内的平均速度描述运动状态，那么，

② ⑵如何求运动员的瞬时速度？

⑶如何计算2秒附近某段时间间隔内的平均速度？

⑷当Δt趋近于0时，平均速度有怎样的变化趋势？ ⑸t=2s时的瞬时速度是多少？ ⑹运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？

⑺函数 在 处的瞬时变化率怎样表示？ (类比上面问题得出结论，并抽象出导数的概念。)

2、认真引导学生用定义推导5个初等函数的导数公式，并重视其推导过程； 3、以问题为载体，按照“问题情境—抽象概括—建立模型—求解模型—解释问题—应用拓展”的程序，让学生经历建模的过程； 4、注重揭示数学思想和方法 曲边梯形的面积 ⑴问题情境 如何求由抛物线y=x2与直线 x=1,y=0,所围成的平面图形部分的 面积S？

⑵确立解决问题的思想方法 四步曲：分割—近似代替—求和—取极限 ⑶问题解决，求出曲边梯形的面积

⑷得出面积的一般表达式

第二章 推理与证明

（一）内容结构 “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本章中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。

1、本章知识结构： 数学归纳法 理科：

文科：

了解 2、教学目标 1.了解合情推理和演绎推理的含义。 2.能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理。 3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别 4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的思考过程、特点。 5.了解间接证明的一种基本方法──反证法的思考过程、特点。 6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

目标：明确化、显性化，主动地、自觉地使用。 3、编写特点 （1） 以已学知识为载体，讲推理和证明方法。 （2） 证明方法（除数学归纳法外）是学生在以前的学习中遇到过的，但对它们的特点和内涵不很明确，被动地、不自觉地使用。 目标：明确化、显性化，主动地、自觉地使用。 先“猜”后证

（二）文理科教学内容与要求比较 1、教学内容比较 文科（10课时） 2.1合情推理与演绎推理 约5课时 2.2直接证明与间接证明 约4课时 2.1合情推理与演绎推理 约5课时 2.2直接证明与间接证明 约4课时 小结 约1课时 理科（8课时） 2.1合情推理与演绎推理 约3课时 2.2直接证明与间接证明 约3课时 2.3数学归纳法 约2课时

2、文科、理科的教学要求比较 理科比文科增加了数学归纳法，其余内容基本相同。《标准》建议文科约10课时，理科约8课时。文科教材中的例题相对比较多，但起点要低。在合情推理与演绎推理，直接证明与间接证明这两节中，文科有15道例题，理科有11道例题。

（三）与大纲相比 对于数学归纳法，旧教材安排在第三册(选修Ⅱ)第二章《极限》的第一节，新教材则是把数学归纳法作为直接证明的一种特殊方法，安排在选修2-2《推理与证明》的第三节；对数学归纳法的原理的要求由 “理解”降低为“了解”；对于数学归纳法的应用，新教材只有等式的证明，删减了“整除问题”，“几何问题”的证明。

（三）教学建议 (1)推理与证明属于数学思维方法的范畴，它论述的是思想方法，知识只是素材，所以在选用例子佐证时，既注意已学知识的囊括，更应根据学生的实际情况或删或改或增。若补充实例应以“已经学过的数学实例和生活中的实例”为准，不宜再拓宽，加深，拔高要求。

(2)教学时要注意通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系与差别。 归纳推理: 类比推理： 由部分到整体,个别到一般 由特殊到特殊 不一定正确,有待证明 作用：猜测和发现结论 作用：证明数学结论,建立数学体系的重要思维过程 由一般到特殊 在前提和推理形式都正确的前提下,结论一定正确作用 演绎推理: 不一定正确,有待证明

(3)学习证明部分时，分析法要强调书写格式，否则学生容易犯逻辑关系错误。另外，应考虑简易逻辑内容的渗透与支持。 这些文字不能缺

(4)理科的“数学归纳法”教学，理解思想实质最重要。建议以新课标要求为准，适当补充“不等式问题”的证明，另两个“整除问题”，“几何问题”应用证明可让有能力的学生作课外研究。

第三章 数系的扩充和复数的概念

（一）《课程标准》要求 （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。 （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 （3）了解复数的代数表示法及其几何意义。 （4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

本章教学时间约4课时,具体分配如下： 3.1 数系的扩充和复数的概念 约2课时 3.2 复数代数形式的四则运算 约2课时

（二）《标准》与《大纲》的比较 （三）文科、理科的教学要求比较 （1）删去了复数的三角形式，以及三角形式的运算等内容。 （2）突出了数系的扩充过程，复数的代数表示法及代数形式的加减运算的几何意义。 （3）教材弱化了： ① i的正整数次幂的周期性 ② 共轭复数的概念 ③ 关于复数的模的几何意义 ④ 实系数一元二次方程求解 （三）文科、理科的教学要求比较 《标准》要求是一样的。教材内容也基本一致，理科的习题难度比文科略有提高。

（四）教学建议 （1）数的概念的发展与数系的扩充是数学发展的一条重要线索。数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求。建议教学时详细介绍从自然数系逐步扩充到实数系的过程，使数系的扩充与复数的引入更为自然，让学生充分领略数系扩充过程中所蕴涵的数学思想和科学发展思想。 （2）在讲解复数相关概念时，可以在“复数相等”学习时，增加“相反数”的概念，也建议在此同时提出“共轭复数”的概念，这样感觉比较系统些。 （3）学习复数代数形式时的加、减、乘等运算时，可设置研究题：用第二章“类比推理”思想，将多项式的运算法则与之进行类比。 （4）删减的内容不必再补。那些弱化的部分，建议也只是在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解。

谢谢! 2008.2.25