数学分析

第六章 微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 §2 柯西中值定理和不定积分 §3 泰勒公式 §4 函数的极值和最大(小)值 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 §2 柯西中值定理和不定积分 §3 泰勒公式 §4 函数的极值和最大(小)值 §5 函数的凸性和拐点 §6 函数图像的讨论

第六章 微分中值定理及其应用 §5 函数的凸性和拐点

教学要求：掌握函数的凸性与拐点的概念与判定 方法，会用函数的凸性证明不等式 ． §5 函数的凸性与拐点 教学内容：函数的凸性与拐点． 教学重点：函数凸性的讨论 ． 教学难点：詹森不等式 ． 教学要求：掌握函数的凸性与拐点的概念与判定 方法，会用函数的凸性证明不等式 ．

§5 函数的凸性与拐点 从两个熟悉的函数 的图象来看 凸性的不同： 的上方(下方) . 返回

如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？

定义1 设 f 为区间 I上的函数．若对于 I 上的任意 则称 f 为 I上的一个凸函数. 反之如果总有 则称 f 为 I 上的一个凹函数. 如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号,则相应 的函数称为严格凸函数和严格凹函数.

很明显，若 f (x)为(严格)的凸函数, 那么– f (x)就 为(严格) 凹函数，反之亦然. 引理 f (x)为区间 I上的凸函数的充要条件是：

证 （必要性） 于是 因为 f (x)为 I 上的凸函数，所以 从而有

即 整理后即为 (3) 式. （充分性）对于任意 则 由于必要性的证明是可逆的，从而得到

所以 f 为 I 上的凸函数. 同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于 注 (4) 式与 (1) 式是等价的. 所以有些课本将 (4) 式 作为凸函数的定义. ( 参见下图 )

詹森( Jensen,J.L. 1859-1925,丹麦 )

由数学归纳法不难证明：f 为 I 上的凸函数充要 对于凹函数，请读者自行写出相应的定理. 由数学归纳法不难证明：f 为 I 上的凸函数充要 这是著名的詹森不等式 .

(a, b) 中每一点的左、右导数存在. 特别是在 (a,b) 即： (5) 式是凸函数最常用的不等式 . 下面举例说明凸函数的内在性质. 例1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在 (a, b) 中每一点的左、右导数存在. 特别是在 (a,b) 上处处连续. 证

由引理得到

这就证明了F(h)有下界. 所以 注 开区间上的凸函数处处连续,但不一定处处可 导; 闭区间上的凸函数在端点不一定连续.

定理 6.13 设 f 为区间 I 上的可导函数, 则下述 论断互相等价： 注 (iii) 中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方.

证

我们在这里再一次强调， 函数 f 是凸函数的几何意义 是: 曲线 y = f (x) 的弦位 于相应曲线段的上方;而它 的切线位于曲线的下方.

我们在定理中列出了凸函数的三个等价性质. 对 于凹函数也有类似的性质, 请大家写出相应的定 理. 定理6.14 设 f (x) 在区间 I 上二阶可导，则 f (x) 在区间I上是凸(凹)函数的充要条件为： 证 由定理 6.13 立即可得.

例2 解 因为

例3 设函数 f (x)为 (a, b) 上的可导凸(凹)函数. (本例说明：在凸(凹)函数的条件下，可微函数的 极值点与稳定点是等价的.) 证 充分性是显然的(费马定理). 下面证明必要性. 设 f (x)是凸函数, x0 是 f (x) 的稳定点, 由定理 6.13 的 (ii), 是递增的. 所以

(i) (ii) 极小值.

注 我们实际上已经证明，对于可微凸函数，其极 值总是极小值, 可微凹函数的极值总是极大值. 因 此下面这个例题自然就产生了. *例4 极值，并且是极小值. 证 应当注意，这里并没有假设函数 f (x) 的可微 性，所以例 2 的方法就失效了.

对于任意　　　　　因为 f (x0) 是极小值，所以 存在　　　　　　使得 又因为 f(x0) 是严格凸函数，所以 同理可证：对于任意　　　　　仍有 f (x0) > f (x) .

设 f (x) 有另一极小值 　　 . 根据以上讨论，把 　 和 x0 分别看作极值点时, 有 同时成立, 矛盾.所以极值点惟一.

例5 均为正数. 证 詹森不等式

即 又因 故有 再由对数函数是严格增的，就证得

例6 的严格凹函数，所以有

例7 证

定义2 曲线的切线，并且切线的两侧分别 M 是严格凸和严格凹的，这时称 图中所示的M 是一个拐点.

例如， 有拐点 ； 有拐点 ， 为整数．

下面两个定理是显然的. 定理6.15 定理6.16

但根据定义2, 点(0, 0) 却是曲线 -2 -1 O 1 2

必须指出；若( )是曲线 的一个拐点， 在点 的导数不一定存在，如 在 的情形． 必须指出；若( )是曲线 的一个拐点， 在点 的导数不一定存在，如 在 的情形． 定理6.15（拐点必要条件） 若 在 二阶可导，则 ( )为曲线 的拐点的必要条件是 ． 综上知：( )是拐点，则要么 （1） ；要么 （2） 在点 不可导．

拐点求法 方法1: 方法2:

例8 解 拐点 拐点 凸的 凹的 凸的

*例9 解

小 结 本节的主要方法： （1）利用有关定理证明函数的凹凸性，确 定凹凸区间． （2）利用函数的凹凸性证明不等式． （3）拐点的定义与确定．

复习思考题 1. 两个凸函数的乘积是否是凸函数 ? 2. 两个凸函数的复合是否是凸函数 ? 3. 任选一个凸函数, 利用詹森不等式构造出新的 不等式.

作 业 第 153 页 A 类：1（1）（3），2，5（1）； B 类：3，4； 讨论：8