复变函数与积分变换 绪论

一、引言 复数的产生和复变 函数理论的建立 先从二次方程谈起 解方程 此公式早于公元前400年，已被巴比伦人发现和使用。 一、引言 复数的产生和复变 函数理论的建立 先从二次方程谈起 解方程 此公式早于公元前400年，已被巴比伦人发现和使用。 在中国的古籍《九章算术》中，亦有提及与二次方 程有关的问题。

很可惜，经过了差不多二千年的时间，依然沒有很大 的进展！ 由二次方程到三次方程 由于实际应用上的需要，亦由于人类求知欲的驱使，很自 然地，人类就开始寻找三次方程的解法。 即寻找方程 一般根式解。 很可惜，经过了差不多二千年的时间，依然沒有很大 的进展！

怪杰 卡丹诺 (Girolamo Cardano; 1501  1576) 一个多才多艺的学者, • 一个放荡不羁的无赖 他精通数学、医学、 语言学、天文学、占星学 一生充满传奇，人们称 他为「怪杰」。

（Ars Magna）中，介绍了解三次方程的方法。 1545 年，卡丹诺在他的著作《大术》 （Ars Magna）中，介绍了解三次方程的方法。 从此，解三次方程的方法，就被称为 「卡丹诺公式」。 解方程 公式： 例　解 x3 + 6x = 20 注意：m = 6、n = 20  x = = 2

1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想。后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转。

2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的。

3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知识直到今天都是比较完善的。 4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支， 如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、 复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等， 并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体 力学、电学等领域。

变成另一个函数，同时，将函数的微积分 运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算 简单、快速完成。 但变换不同于化简，它必须是可逆的， 积分变换就是通过积分运算把一个函数 变成另一个函数，同时，将函数的微积分 运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算 简单、快速完成。 但变换不同于化简，它必须是可逆的， 即必须有与之匹配的逆变换。

复变函数与积分变换在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 再比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 从柯西算起，复变函数已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并使它的应用更加广泛。

对 象 主要任务 主要内容 复变函数（自变量为复数的函数） 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 对 象 复变函数（自变量为复数的函数） 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 主要任务 主要内容 复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数、留数、 共形映射、傅里叶变换和拉普 拉斯变换等。

学习方法 复变函数中许多概念、理论、和方法是实变量函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，复变函数有本质上的深化，尤其是在方法和技巧上，更有着显著的不同。在学习中要善于比较、区别、特别要注意它们之间的联系、发展和变化，理解概念、掌握方法、熟悉技巧。对复数域上特有性质与结果要有足够理解。

第一章 复数与复变函数 （Complex number and function of the complex variable） §1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 §1.3 平面点集的一般概念 §1.4 无穷大与复球面 §1. 5 复变函数

§1.1 复数 (Complex number) 一、复数的概念 二、复数的四则运算 三、复平面

一、 复数的概念 复数z 的实部（real part） Re(z) = x ; 虚部（imaginary part ）Im(z) = y . （1）对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 复数z 的实部（real part） Re(z) = x ; 虚部（imaginary part ）Im(z) = y . （实数）； 当 时， （2） 当 时， （纯虚数）； 当 时， （实数）；

（3）设复数 注意：任意两个虚数不能比较大小！！ 例如，设 ,则 ,即 ,矛盾。 (4) 设 , 称 为 z 的共轭复数.

二、复数的四则运算 设 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2，则 （1）z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) （2）z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)

例2 解 20

复数的运算满足如下交换律、结合律、分配律。 全体复数并引进上述运算后称为复数域， 用C表示。 在复数域中，我们熟知一切代数恒等式，如 仍成立

共轭复数的运算性质

例1.1 证 23

三、复平面 Z平面 则在复数集与平面之间建立了一个1-1对应。x轴上的点表示实数，x轴称为实轴，y轴上的点表示纯虚数，y轴称为虚轴；整个坐标平面称为复平面或z平面。

§1.2 复数的三角表示 (The representation of complex number) 一、复数的模和辐角 二、复数的三角不等式 三、复数的表示方法 四、用复数的三角表示作乘除法 五、复数的乘方与开方

一、复数的模和辐角 向量的长度称为复数的模， 记作： o x y z平面 P(x,y) 

向量与正实轴之间的夹角称为复数 的辐角(Argument)，记作： 由于任意非零复数有无限多个辐角，用 表示符合 条 件的一个角，称为复数主辐角。于是 注意： 时，辐角不确定。

及 例3 求 解

二、复数模的三角不等式 关于两个复数 的和与差的模，有下列不等式：

例3 证明

三、复数的表示方法 1. 点的表示法 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法

1. 点的表示法

2. 向量表示法 o x y z平面 P(x,y) 

3. 三角表示法 设复数 的模为 ， 是复数 的 任意一个辐角,则 此式称为复数 的三角表示式。 注：一个复数 的三角表示不是唯一的。 y o x y z平面 P(x,y)  此式称为复数 的三角表示式。 注：一个复数 的三角表示不是唯一的。

也可以表示为 解：因为

4. 指数表示法 由欧拉公式 可得: 复数 的指数表示

例6 将复数 化为指数形式 解

四、用复数的三角表示作乘除法 设 是两个非零复数， 后一个式子应理解为集合相等。

几何意义 ：将复数 按逆时针方向旋转一个 角度 ，再将其伸缩 倍。 o x y (z) z1z2 z2 注意：可推广到n 个复数的乘积。

同理，对除法有 于是得 后一个式子也应理解为集合相等。

五、复数的乘方与开方 1.复数的乘方 个相同的复数 的乘积，称为 的 次幂， 记作 ，即 设 则 特别：当 时，则有 个相同的复数 的乘积，称为 的 次幂， 记作 ，即 设 则 特别：当 时，则有 此式称为棣莫佛(De Moivre)公式。

2.复数的开方 则称复数 为复数 容易得

例7 求 的所有值 解：由于

几何上， 的 个值是以原点为中心， 为半径的圆周上 个等分点，即它们是内接于该圆周的正 边形的 个顶点。

x y o

例8 求解方程 解： 故得 所以方程 有3个解，它们是

内容小结 1、复数的概念z=x+iy 2、复数的四则运算 3、复平面 4、复数的模和辐角 5、复数的三角不等式 6、复数的表示 7、复数的乘方与开方 三角表示法 指数表示

课后作业 一、 思考题：1、2、3. 二、 习题一 1-10

第二讲 §1.3 平面上点集的一般概念 §1.4 复球面与无穷大 §1.5 复变函数

§1.3 平面点集的一般概念 (The general conception of point set on the plane) 一、开集与闭集 二、区域 三、平面曲线

一、开集与闭集 邻域 平面上以 为心， 为半径的圆的内 部所有点的集合称为点 的 -邻域。即 称为 的 去心邻域,

设 是一个平面点集 内点 为 中任意一点，如果存在 的一个 邻域，该邻域内的所有点都属于 ，那么 称 为 的内点。 开集 如果点集 的每一个点都是 的内点 则称 为开集. 闭集　如果点集 的余集 为开集， 则称 为闭集 连通集 设 是开集，如果对于 内任意 两点，都可用 内折线连接起来， 则称开集 是连通集

边界点 边界 若在点 的任意邻域内既有 的点又有 的点, 则称 是 的一个边界点。 的边界 点全体称为 的边界。 孤立点 ，若在 的某一邻域内除 外不含 的点，则称 是 的的一个孤立点， 的孤立点一 定是 的边界点。 有界集 无界集 如果存在一个以点 为中 心的圆盘包含 ，称 为有 界集，否则称 为无界集。

有界集和无界集: y z 例如圆盘 N(z0) 是有界开集 o x 复平面、实轴、虚轴是无界集， 复平面是无界开集。 有界！

二、区域 区域 连通的开集称为区域. 闭区域 区域 连同它的边界一起， 称为闭区域，记为 注意： (1) 区域是开集，闭区域是闭集. 区域 连通的开集称为区域. 闭区域 区域 连同它的边界一起， 称为闭区域，记为 注意： (1) 区域是开集，闭区域是闭集. (2) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立 的点所组成的.

解： 例：试说出下列各式所表示点集是怎样图形， 并指出哪些是区域？ 表以 为心，1为半径圆外部 包括圆周，不是区域。 （3）介于两射线 之间的一个角形区域。 例：

三、平面曲线 曲线实参数方程 平面曲线的参数方程 用复值函数表示为 曲线复参数方程

1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 且 的 ,使 ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或若尔当（Jordan）曲线；除 外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线 非简单闭曲线 简单闭曲线 非简单曲线 简单曲线

若 ， 在 上可导,且 , 连续不全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线. 2. 光滑曲线、分段光滑曲线 设曲线 的方程为 若 ， 在 上可导,且 , 连续不全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线. 显然圆是一条简单连续闭曲线，它把平面分成两个没有公共点的区域，其中一个有界，一个无界，都已给定圆的圆周为边界。一般闭曲线由此性质吗？

简单闭曲线的性质若尔当曲线定理 定理 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成C,I(C),E(C) 三个互不相交的点集.满足： 边界 I(C) E(C) （1）I(C) 是一个有界区域（称为C的内部）. （2）E(C) 是一个无界区域（称为C的外部）. （3）若简单折线P的一个端点属于I(C)，另一个端点属于E(C) ，则P必与C相交. （4）C是I(C)，E(C) 的公共边界.

3. 单连通域、多连通域 设 是复平面上一区域，如果在 内任 作一条简单闭曲线 ，其内部的所有点都 在 中，则称区域 为单连通区域；否则 称 为多连通区域或复连通区域. 一条简单闭曲线的内部是单连通区域。

单连通区域的性质：属于D的任一简单 闭曲线，在D内可以通过连续变形而缩成 一点。 多连通区域就不具有此特征。 在几何直观上，单连通区域是一个没有“洞和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，如下图，区域D是一个多 连通区域。

§1.4 复球面与无穷大 (Infinity and Complex Sphere ) 一、复球面 二、扩充复平面的定义

一、复球面 1.南极、北极的定义 1.南极、北极的定义 如右图取一张复平面，做一个与 复平面相切在原点 的球面， N z O y S x .

球面上的点, 除去北极 N 外,与复平面内 的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数. 2.复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外,与复平面内 的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数. N 用来表示复数的这个球面称为复球面. P(z) 全体复数与复球面-{N}之间一一对应关系. z O S z x .

二、扩充复平面的定义 N 我们规定: 北极N与一个模为无穷大的假想的点对应, P(z) z 这个假想的点称为“复数无穷远点” 记作. O S Y z 因而球面上的北极 N 就是复数的几何表示. 复平面加上无穷远点后称为扩充复平面，记作C .

不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. .

关于扩充复平面上的几个概念 包括无穷远点自身在内 包括无穷远点自身在内 包括无穷远点自身在内 包括无穷远点自身在内 包括无穷远点自身在内 且满足|z|>M的所有点的 且满足|z|>M的所有点的 且满足|z|>M的所有点的 且满足|z|>M的所有点的 且满足|z|>M的所有点的 且满足|z|>M的所有点的 且满足|z|>M的所有点的 (其中M>0)称为无穷远点的邻域. 集合{z||z|>M} (其中M>0)称为无穷远点的邻域. 集合{z||z|>M} (其中M>0)称为无穷远点的邻域. 集合{z||z|>M} (其中M>0)称为无穷远点的邻域. 集合{z||z|>M} (其中M>0)称为无穷远点的邻域. 集合{z||z|>M} (其中M>0)称为无穷远点的邻域. 集合{z||z|>M} (其中M>0)称为无穷远点的邻域. 集合{z||z|>M} (其中M>0)称为无穷远点的邻域. 集合{z||z|>M}

§1.5 复变函数 (Function of the complex variable) 一、复变函数 二、复变函数的极限与连续性

一、复变函数的概念

例9 例10

取两张复平面，分别称为z平面和w平面. 76

77

o x y (z) o u v (w) w G D z

二、复变函数的极限与连续性 1.复变函数的极限 2.复变函数极限的四则运算法则 3.复变函数的连续性

1.复变函数的极限 定义1.1 注：定义中 的方式是任意的.

2. 复变函数极限的四则运算法则

定理1.1

例 试求极限 解: .

例 证明： .

3.复变函数的连续性 定义1.2 定理1.2

连续函数的性质 (1)连续函数的四则运算仍然连续； (2)连续函数的复合函数仍然连续； (3)连续函数的模也连续.

有界闭区域上的复变连续函数性质： （1）有界闭区域上的连续函数是有界的; （2）有界闭区域上的连续函数其模至少取 得最大值与最小值各一次; （3）有界闭区域上的连续函数必是一致 连续的;

内容小结 1、开集与闭集、区域、平面曲线 2、复球面 3、复变函数的概念 4、复变函数的极限与连续、一致连续性 5、有界闭区域上连续函数的性质 有界性、最大值与最小值、一致连续性

课后作业 习题一 10-16

谢谢！