第五章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本定理 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 5.4 广义积分 5.5 定积分的若干应用

5.1 定积分的概念与性质 5.1.1 定积分问题实例分析 5.1.2 定积分的概念与几何意义 4.1.3 定积分的性质

第五章 定积分及其应用 定积分是一元函数积分学的另一个重要概念，在积分学中，真正能在实践中解决具体问题的是定积分，所以它在几何、物理、经济学等各学科中都有广泛的应用 定积分和不定积分的概念从表面上看似乎并不相同，但它们之间却有着密切的内在联系，并且定积分的计算主要是通过不定积分来完成的，这也正是牛顿和莱布尼茨的功劳。  本章先通过两个典型实例引入定积分的概念，然后讨论定积分的性质与计算方法，举例说明定积分在实际问题中的若干应用，最后简要介绍广义积分的概念和计算。

5.1 定积分的概念与性质 5.1.1 定积分问题实例分析 1.曲边梯形的面积问题 怎样的图形是曲边梯形？ 5.1 定积分的概念与性质 5.1.1 定积分问题实例分析 这图形面积怎样求？ 1.曲边梯形的面积问题 在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形（如三角形、四边形、圆等）的面积的计算，但实际问题中所出现的平面图形常具有不规则的曲边，那么我们如何来计算它们的面积呢？ 下面以曲边梯形为例来讨论这个问题： 设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)≥0,那么由曲线y=f(x)及直线x=a,x=b和x轴所围成的平面图形就称为曲边梯形，如图5-1所示； 图5-1

下面我们就来讨论曲边梯形的面积： 我们都知道，矩形的高是不变的，它的面积很容易计算，那就是： 矩形面积=底×高 而曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上是变动的，故它的面积就不能直接用矩形的面积公式来计算； 然而，由于曲边梯形的高f(x)在区间[a,b]内是连续变化的，即在自变量x变化不大时，相应的高f(x)的变化也不大； 因此，如果能把区间[a,b]分割成许多小区间的话，那么在每个小区间内就可用其中某一点处的高来近似替代同一个小区间上的窄曲边梯形的变动的高，这样每个窄曲边梯形的面积就可以近似地看成一个窄矩形的面积； 最后把它们都加起来就得到了曲边梯形面积的一个近似值，然后再通过极限的思想，让每一个小区间的长度趋近于无穷小，用求极限的方式最终得到曲边梯形的面积

（1）分割：在区间[a,b]内任意插入n-1个分点（如图5-1） 为此，我们有如下步骤： （1）分割：在区间[a,b]内任意插入n-1个分点（如图5-1） 把区间[a,b]分割成n个小区间[ ]，并分别记小区间的长度为: (i=1,2,…,n) 图5-1 过各个分点作垂直于x轴的直线，这样就把曲边梯形分割成n个窄曲边梯形，并记第i个窄曲边梯形的面积为： (i=1,2,…,n)，则有:

（2）近似替代：在每个小区间[ ]上任取一点 ，以 为高作一平顶矩形来替代曲顶的窄曲边梯形，即“以直代曲”， 从而得到 (i=1,2,…,n) （3）求和： ∈[xi-1,xi] (4)取极限：在连续概念的基础上我们可以看到，如果分割的越细，则所做的近似替代就越精确。 因此，我们要让分割做到无限细，这样上面的和式就会无限逼近曲边梯形面积的精确值 为此，令 ，并且让λ→0,对上述和式求极限，这样就得到了曲边梯形的面积即 上式表明，曲边梯形的面积就是一个和式的极限

设某一质点m在一个与Ox轴平行，大小为F的力的作用下，沿Ox轴从点x=a移动到点x=b，求该力所作的功。 怎样考虑解决方法？ 2.变力沿直线作功问题 设某一质点m在一个与Ox轴平行，大小为F的力的作用下，沿Ox轴从点x=a移动到点x=b，求该力所作的功。 恒力做功是什么情况？ 如图5-2所示，如果F是恒力，则由物理学可知，力F所作的功为: w=力×距离=F(b-a) 图5-2 如果F不是恒力，而是与质点所处的位置有关的函数F=F(x)，则是变力作功问题，因此上述公式就不能直接使用； 问题的难点在于质点在不同位置上，所受到的力大小不同。

类似于求曲边梯形面积的分析，可采取以下步骤： （1）分割：在区间[a,b]内插入n-1个分点（如图5-2） 把[a,b]区间分割成n个小区间[ ]，并分别记小区间的长度为: (i=1,2,…,n) （2）近似替代：在每个小区间[ ]上任取一点 ，以该点处的力F（ )代替小区间[ ]上的变力，即以“不变替代变”; 图5-2  从而得到在小区间[ ]上变力所作的功 的近似值 (i=1,2,…,n)

(4)取极限：同样是在连续概念的基础上，让分割做到无限细，这样上面的和式就会无限逼近变力F=F（x)所作的功的精确值 (3)求和： ∈[ ] (4)取极限：同样是在连续概念的基础上，让分割做到无限细，这样上面的和式就会无限逼近变力F=F（x)所作的功的精确值 为此，令最大小区间的长度: 对上述和式求极限，这样就得到变力F=F（x)使质点m从点x=a移动到点x=b所作的功 即 上式表明，变力沿直线所作的功也是一个和式的极限 返回

5.1.2 定积分的概念与几何意义 上面的两个问题，一个是面积问题，一个是作功问题，所计算的量虽然具有不同的实际意义，但是描述这两个量的数学模型以及解决问题的思想方法与步骤却是相同的，并且最终都归结为求同一结构的和式的极限。 可以用这种和式极限去描述的量在各个科学技术领域中广泛存在，如旋转体的体积，曲线弧的长度，变速直线运动的路程等等。 如果我们抛开这些问题的具体意义，而抓住它们在数量关系上所具有的共同特性与本质加以概括，便可以抽象出如下定积分的定义：

定义5.1 设f(x)是定义在区间[a,b]上的有界函数，且用分点: 将区间[a,b]分为n个小区间[ ](i=1,2,…,n)，并记每个小区间的长度分别为: (i=1,2,…,n)， 在小区间[ ]上任取一点 作和式: 若当 时，上述和式的极限存在， 则称此和式的极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分， 即 记为 其中，记号“∫”称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，区间[a,b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限.

从以上定义可以看出，定积分仍然是一个极限问题，因此，我们说极限问题贯穿了整个微积分，它是微积分的灵魂 对于定积分，需作如下几点说明： （1）定积分是一种特定和式的极限，其值是一个实数，它只与被积函数f(x)和积分区间[a,b]有关，而与积分变量x的记号无关，即： 其中f(x),f(u),f(t)为同一结构形式的函数  （2）在定积分的定义中规定a<b,这一限制给定积分的应用带来许多的不便，为便于定积分的应用，我们作出如下两点补充规定： ①当a>b时， ②当a=b时，

（3）对于定积分有这样一个问题：函数f(x)在区间[a,b]上满足怎样的条件才可积呢？ 对此，我们不作深入的讨论，而只给出以下两个充分条件： ①若f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积； ②若f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 在这里要注意的是，函数f(x)在区间[a,b]上有界只是f(x)在[a,b]上可积的必要条件，也就是说：如果函数f(x)在[a,b]上无界，则f(x)在[a,b]上一定不可积 返回

若在[a,b]上f(x)≥0,则 的值表示由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及y=0(x轴）所围曲边梯形的面积（如图5-3(a)) 下面我们来讨论定积分的几何意义： 若在[a,b]上f(x)≥0,则 的值表示由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及y=0(x轴）所围曲边梯形的面积（如图5-3(a)) 图5-3(a)  若在[a,b]上f(x)≤0,则 为负值，这时其绝对值才是由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及y=0所围曲边梯形的面积;（如图5-3(b)） 图5-3(b) 若在[a,b]上f(x)有正有负，则 的值表示由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及y=0所围曲边图形面积的代数和，即: 图5-4 (如图5-4） 返回

例1 利用定积分的定义计算定积分 解 因为函数f(x)= 在区间[0,1]上连续， 所以f(x)在[0,1]上一定可积， 由于定积分的值与区间[0,1]的分法及点ξi的取法无关， 为了便于计算，我们不妨把区间[0,1]n等份，且分点为： (i=1,2,…,n-1) 这样，每个小区间的长度： 并取ξi= ,由此得到积分和式

因为 所以当λ→0时，n→∞， 于是 从本例中大家可以感受到，利用定义来计算定积分是十分繁琐的，也是相当复杂的因此，我们必须寻求其他有效的方法来计算定积分

解 由于在区间[1,2]上，f(x)=x-3<0（如图5-5) 例2 利用定积分的几何意义求 解 由于在区间[1,2]上，f(x)=x-3<0（如图5-5) 所以按照定积分的几何意义可知 由于该图形是底为1和2，高为1的梯形，其面积 故 返回

5.1.3 定积分的性质 定积分有些什么性质？ 为了寻求定积分的有效计算方法，下面我们来研究定积分的性质: 5.1.3 定积分的性质 定积分有些什么性质？ 为了寻求定积分的有效计算方法，下面我们来研究定积分的性质: 这些基本性质不仅有助于定积分的计算，也有助于对定积分的理解，并且有些性质还可以当作运算法则来运用

在下面的性质中，假定函数f(x),g(x)在区间[a,b]上都是可积的； 性质5.1 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即： 性质5.2 两个函数和、差的定积分等于各个函数定积分的和、差，即： 性质5.2 可以推广到有限个函数的代数和的情形； 以上两个性质，由定积分的定义不难证明；并且这两个性质也是定积分的运算法则。

性质5.3（积分区间的可加性）对于任意实数c有： 下面根据定积分的几何意义对这一条性质加以说明 在图5-6中，有 在图5-7中，有 所以 在定积分的计算中，每当被积函数不确定时，常常需要利用性质5.3来确定被积函数 例如:

性质5.4（保号性）如果在区间[a,b]上f(x)≥0，则有: 性质5.5 如果在区间[a,b]上，f(x)≥g(x)，则有: 性质5.6（估值性质）若M与m分别是f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值，则有: 性质5.7（积分中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点ξ，使得 (a≤ξ≤b) 以上各性质的证明从略

其实，定积分的这些性质，由定积分的几何意义去理解，都是比较直观的。 如积分中值定理在几何上表示这样图5-8一个简单的事实： 由连续曲线y=f(x),直线x=a，x=b以及y=0所围成的曲边梯形的面积，等于以区间[a,b]为底，以该区间内某一点ξ处的函数值f(ξ)为高的矩形的面积（如图5-8） 图5-8 通常我们也称 为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值。 返回

例3 试求函数 在区间[0,1]上满足积分中值定理的ξ值。 例3 试求函数 在区间[0,1]上满足积分中值定理的ξ值。 是考对积分中值定理的理解？ 解：由例1可知， 因此根据积分中值定理有： 所以： 返回

5.2.2 牛顿—莱布尼茨（Newton—Leibniz)公式 5.2 微积分基本定理 5.2.1 积分上限的函数及其导数 5.2.2 牛顿—莱布尼茨（Newton—Leibniz)公式

5.2 微积分基本定理 定积分与不定积分是两个完全不同的概念，本节将在揭示定积分与原函数的关系的基础上，来讨论两者之间的内在联系，即微积分基本定理，从而得到定积分的有效计算方法——牛顿—莱布尼茨公式

积分上限的函数又称为变上限积分的函数，它的一般表达式为 5.2.1 积分上限的函数及其导数 积分上限的函数又称为变上限积分的函数，它的一般表达式为 （a为常数） 从表达式中大家可以看到：该函数的变量出现在积分上限中，为避免混淆，把积分变量改用其他字母，如t表示，故定积分 的值随上限x的变化而变化，因而称为积分上限的函数，如图5-9所示 图5-9 返回

关于积分上限的函数有如下定理： 定理5.1（变上限积分函数对上限的求导定理）设f(x)在区间[a,b]上连续，则函数 在区间[a,b]上可导，其导数就是f(x)，即 定理表明了什么？ 证明从略！ 本定理把导数和定积分这两个表面上看似不相关的概念联系在一起，它表明：在某区间上连续的函数f(x)，其变上限积分 是f(x)的一个原函数。

定理5.2（原函数存在定理）若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在该区间上,f(x)的原函数一定存在，且 于是我们有如下定理： 定理5.2（原函数存在定理）若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在该区间上,f(x)的原函数一定存在，且 定理揭示了什么？ 就是f(x)的一个原函数。 这个定理初步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系，它为我们寻求定积分的有效计算方法指明了方向。 返回

例4 求极限 含有积分上限函数时，怎么样求极限？ 解 因为 要把积分号去掉，怎样去掉？ 所以 下一例

关于积分上限的函数的导数，可作如下推广： 设u=u(x),v=v(x)均是x的可微函数， 通过前面的例题，能归纳什么？ （1）若 ,则 (2)若 ,则 (3)若 ，则 下一例

（1）题中的积分上限不符合定理5.1要求，怎么办？ 例5 求下列积分上限的函数的导数 （1）题中的积分上限不符合定理5.1要求，怎么办？ 解 根据题意，并由复合函数求导法则得： （2）题中的情况该如何处理？ 回上页

例6 证明：当x>0时，函数 单调增加 证 因为 当x>0时， 故，当x>0时 是单调增加的。 函数单调性怎样判定？ 由单调性判定法则，这里只需证明 即可。 当x>0时， 故，当x>0时 是单调增加的。 返回

5.2.2 牛顿—莱布尼茨（Newton—Leibniz)公式 定理5.3（微积分基本定理）设f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是它在该区间上的一个原函数，则有： 由定理5.2可知 是f(x)的一个原函数， 证 根据本定理的条件知F(x)也是f(x)的一个原函数， 即： 于是这两个原函数之间相差一个常数 在上式中令x=a可得 所以 在上式中再令x=b,便可得到： 由于定积分的值与积分变量的记号无关，因此，我们仍用x表示积分变量，即可得到

上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式，而定理5.3也叫微积分基本定理， 公式中的F(b)-F（a)通常记为 或 因此上述公式也可以写成: 或

牛顿—莱布尼茨公式，是一个非常重要的公式，它揭示了定积分与不定积分之间的内在联系； 公式表明：定积分的计算不必用和式的极限去计算，而可以利用不定积分来计算  正如前面我们所说的，不定积分是计算定积分的主要技能，不会不定积分的计算，就很难去计算定积分，这一点大家一定要意识到。 本章开头的例1，现在可以用牛顿—莱布尼茨公式轻而易举地得到： 比较例1的解法，大家可以感受到牛顿—莱布尼茨公式计算的简便性 返回

当我们对不定积分的计算和牛顿—莱布尼茨公式都非常熟悉后，定积分的计算过程可如下表述： 例7 求 解 因为 现在求定积分可以怎样求了？ 所以arctanx是 的一个原函数， 牛顿—莱布尼茨公式？ 于是 当我们对不定积分的计算和牛顿—莱布尼茨公式都非常熟悉后，定积分的计算过程可如下表述：

例8 求 这就是： 当我们对不定积分的计算和牛顿—莱布尼茨公式都非常熟悉后，定积分的计算过程可以把求不定积分的过程和使用牛顿—莱布尼兹公式这两个过程“合二为一” 解： 例9 求 解

例10 求 计算这样形式的积分，应该怎样考虑？ 解 由积分性质5.3可知 例11 设 ,求 解 由积分性质5.3可知

由于定积分的计算受到积分区间的限制，因此，在被积函数的变换中常常要考虑到积分区间的要求； 例12 求 解 注意到 所以 于是利用性质5.3，得 返回

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 5.3.2 定积分的分部积分法 5.3.3 定积分的几个常用公式

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 在不定积分中，换元积分法和分部积分法是两种主要的计算方法，而牛顿-莱布尼茨公式则是利用不定积分（求原函数）来计算定积分，因此求不定积分的各种方法与手段都可以用于求定积分 本节将讨论这两种方法在定积分中的使用，并给出定积分中的几个常用公式 .

定理5.4 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若作变换x=φ(t)，且此变换满足： 5.3.1 定积分的换元积分法 定理5.4 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若作变换x=φ(t)，且此变换满足： （1）φ(α)=a,φ(β)=b; (2)在区间[α,β]（或[β,α]）上，φ(t)单调且有连续的导数； 则有 上式称为定积分的换元公式； 证明从略！ 返回

例13 求 由例13可见，定积分的换元积分法如果能做到换元又换限，就不必像不定积分的换元法那样回代原积分变量x，而是在新的积分变量t的相应积分限t=α和t=β下直接计算定积分的值，这样就省略了不定积分第二类换元法中的回代原积分变量x的过程，使得第二类换元积分法在定积分的换元中更加简便。 解 令 ，则 dx=2tdt， 且当x=0时，t=1；当x=3时，t=2， 于是

解 令x=sint,则有dx=costdt，且 在定积分的换元积分法中，何时在换元时应该换限？ 例14 求 解 令x=sint,则有dx=costdt，且 当 时 ;当 时， 于是 一般掌握的原则是： 如果在换元的过程中会让原积分变量x的符号消失，则应立即换上新的积分变量t的积分限α与β，这样在后期的计算中可省略回代x的过程，否则的话可不必换限

例15 求 解 法一： 解法二 令 ,则 dx= dt,且 当x=0时,t=0;当 时, , 于是 可否用换元法求此积分？ 例15 求 解 法一： 两种方法对比，可说明什么？ 解法二 令 ,则 dx= dt,且 当x=0时,t=0;当 时, , 于是

例16 设f(x)= ,求 解法一:令x=t+2,则 dx=dt，且 当x=1时，t= -1；当x=3时，t=1， 于是 这样形式的积分计算，应该怎样考虑？ 例16 设f(x)= ,求 解法一:令x=t+2,则 dx=dt，且 当x=1时，t= -1；当x=3时，t=1， 于是 解法二 因为f(x-2)= 所以 返回

定理5.5 设函数u=u(x)与v=v(x)在区间[a,b]上连续且可导，则有: 5.3.2 定积分的分部积分法 定理5.5 设函数u=u(x)与v=v(x)在区间[a,b]上连续且可导，则有: 上式称为定积分的分部积分公式。 (证明从略) 返回

由例17可见，定积分的分部积分法，在定积分经分部积分后，积出的部分原函数即可代入上、下限进行计算； 例17 求 解 通过此例，能说明什么？ 由例17可见，定积分的分部积分法，在定积分经分部积分后，积出的部分原函数即可代入上、下限进行计算； 也就是积出一步代一步，不必等到最后一起代，这样可使计算步骤更简洁

例18 求 此积分用哪种方法求？ 解 是不同类型的函数相乘？

被积函具有什么特征？采用哪种方法求积分？ 例19 求 被积函具有什么特征？采用哪种方法求积分？ 解 因为 所以 返回

设函数f(x)在区间[-l,l]上连续且可导，则有 5.3.3 定积分的几个常用公式 1.关于原点对称的区间[-l,l]上的定积分 设函数f(x)在区间[-l,l]上连续且可导，则有 （1）当f(x)为奇函数时， ; (2) 当f(x)为偶函数时， 上述结论在几何上看是明显的，这是因为奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，故而由定积分的几何意义便能得出上述结果利用这个结果，奇、偶函数在关于原点对称的区间上的积分计算可以得到简化，甚至不经计算即可得到结果。 公式二

例20 求 被积函数和积分区间具有什么样的特征？ 解 怎样来求解此积分？ 下一例

2.瓦里士（Wallis）公式 设 (注： （证明略）) 则有： (n≥2，证明略） 上式称为积分 关于下标的递推公式， 其中： 返回

例21 求下列定积分： 被积函数与积分区间是怎样的？ 解 根据题意： 怎样求这样的积分？ 返回

5.4 广义积分 5.4.1 无限区间上的广义积分 *5.4.2 无界函数的广义积分

5.4 广义积分 我们在定义定积分∫baf(x)dx时有下面两个条件： （1）积分区间为有限区间； （2）被积函数在积分区间上有界 满足上述两个条件的定积分也称为常义积分。然而，在实际问题中，往往会遇到不满足上述条件的情形，例如，将火箭发射到远离地球的太空中去，要求克服地心引力所作的功，这就需要考虑积分区间为无限的积分。因此，有必要推广定积分的概念，即讨论积分区间为无限或者被积函数在积分区间上无界的情形，这两类被推广的定积分统称为广义积分

5.4.1 无限区间上的广义积分 定义5.2 如果函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，对于任意给定的t>a，积分 都存在，则称 为函数f(x)在[a,+∞)上的广义积分，记为 即有： 如果上述极限存在，则称广义积分 收敛， 若上述极限不存在，则称广义积分 发散

注意： 类似地可以定义广义积分 如果广义积分 及 有一个发散，则广义积分 也发散 如果广义积分 及 有一个发散，则广义积分 也发散  按照上述广义积分的定义可知，它是一类常义积分的极限； 因此，广义积分的计算就是先计算常义积分，再取极限。

例22 求 这样的积分应该怎样求解？ 解 例23求 解 是广义积分，因此，用广义积分定义来求解。 注：

例24 求 这个积分应该怎样求解？ 解 因为 是广义积分，因此，用广义积分定义来求解。 所以 发散， 因此 发散。

 在计算广义积分时，有时也可运用定积分的换元积分法，把广义积分转变成常义积分。 例25 求 由此例我们能得到什么？ 解 令x=tant,则有 当x=1时， ,当x→+∞时， , 于是  在计算广义积分时，有时也可运用定积分的换元积分法，把广义积分转变成常义积分。 这里，经换元后，广义积分变成了定积分，自然是收敛的。

*5.4.2 无界函数的广义积分 定义5.3如果函数f(x)在区间(a,b]上连续， ，任取ε>0,则称 为f(x)在(a,b]上的广义积分， 记为： 则有： 若上述极限存在，则称广义积分 收敛； 若上述极限不存在，则称广义积分 发散。 其中x=a是f(x)的无穷间断点 这里的点x=a也称为函数f(x)的瑕点，故这类广义积分又称为瑕积分

类似可定义 如果函数f(x)在[a,b)上连续，且 ，任取ε>0，则称 为f(x)在[a,b)上的广义积分， 记为 则有： 同样： 当极限 存在时，称广义积分 收敛； 当极限 不存在时，称广义积分 发散。 其中x=b也是f(x)的无穷间断点

无界函数的广义积分，其实就是在无穷间断点处的广义积分； 例26 求 是求定积分吗？ 解 由于 说明x=0是函数 的无穷间断点 所以 无界函数的广义积分，其实就是在无穷间断点处的广义积分； 如果函数f(x)在[a,b]上除去点c(a<c<b)以外均连续，且 ，即x=c是f(x)的无穷间断点， 则当 和 都收敛时， 称广义积分 收敛， 且 否则称广义积分 发散。

例27 讨论如下计算是否正确？为什么？并写出正确的计算 解 不正确因为 这样的问题应该怎样来分析？ 在区间[-1,1]上不连续，有无穷间断点x=0； 正确的计算方法如下： 由于 是发散的 所以 也发散

5.5 定积分的若干应用举例 5.5.1 定积分在几何上的应用 *5.5.2 定积分在物理上的若干应用

5.5 定积分的若干应用举例 在前面的5.1节，我们从实际问题中引进了定积分的概念在几何、物理等各个领域，有许多的问题都可以用定积分予以解决本节将直接给出定积分在应用中的若干计算模型，并举例说明。

5.5.1 定积分在几何上的应用 1.平面图形的面积 由定积分的几何意义可知，由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积A可以用定积分 来表示，即 A= 由此可见，曲边梯形面积的计算就是定积分的计算问题；然而由平面曲线所围成的平面图形的面积往往可以归结为曲边梯形的面积因此，我们可以利用定积分来计算平面图形的面积。

在建立平面图形的定积分计算模型时，面对围成平面图形的曲线方程F（x,y)=0，存在一个积分变量的选择问题，为此，讨论如下： （1）若选择x为积分变量，则首先必须把围成平面图形的曲线方程F(x,y)=0化成函数y=f(x)的形式，然后再利用上线函数减去下线函数的模式来构造被积函数，从而建立求面积的定积分计算模型： 如图5-10(a)、（b）、（c）所示，设上线函数为y=f1(x),下线函数为y=f2(x),则图中阴影部分的面积A为： （其中 ）

(2)若选择y为积分变量，则必须先把围成平面图形的曲线方程F（x,y)=0化成函数x=φ(y)的形式，然后再用右线函数减去左线函数的模式来构造被积函数，从而建立求面积的定积分计算模型。 如图5-11(a）、（b）、（c）所示，设右线函数为x=φ1(y),左线函数为x=φ2(y)(即φ1(y)≥φ2(y))，则图中阴影部分的面积B为： 返回

例28 求由抛物线y= 与直线y=2x围成的图形的面积 按什么步骤来求出面积？ 解 画出图形如图5-12所示， 联立两曲线方程： 可解出它们的交点分别为: 哪个量？是x还是y ? 选择 为积分变量，则积分区间为[0,2]，且上线函数为y= ;下线函数为：y= , 于是所求面积为： (面积单位）

此图结构的特征？ 怎样选择积分变量 与积分区间？ 例29 求由对数曲线y=lnx与直线y=1以及x=0,y=0所围成的平面图形的面积 o 解 画出图形如图5-13所示, 由图可看出，本题选择y为积分变量较为方便， 此图结构的特征？ 怎样选择积分变量 与积分区间？ 其中积分区间为[0,1]， 右线函数为: ； 左线函数为x=0（即y轴）， 于是所求面积为： (面积单位）

例30 求由抛物线 =2x及直线x-y=4所围成的平面图形的面积 解 画出图形如图5-14所示, 联立两曲线方程 o 可解出它们的交点分别为: P1(8,4),P2(2,-2) 方法一 选择y为积分变量， 则积分区间为[-2,4]， 右线函数为：x=y+4; 左线函数为： 于是所求面积为: (面积单位）

例30 求由抛物线 =2x及直线x-y=4所围成的平面图形的面积 方法二 选择x为积分变量， 则积分区间为[0,8]， 上线函数为： ; o 下线函数分别为： 与y=x-4 由于下线有两条，所以应从它们的交点处把所求面积分成两部分计算，即 (面积单位） 比较两种算法可见，选择y作为积分变量要比选择x简便得多; 可见，在用定积分计算平面图形的面积时，选择一个适当的积分变量会使计算更加简便. 返回

2. 旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕着平面内的一条直线旋转一周所形成的几何体如圆柱、圆锥、球等都是旋转体。 我们只讨论在直角坐标系下绕坐标轴旋转的旋转体。 在建立旋转体体积的定积分计算模型时，也存在一个确定积分变量的问题现分别讨论如下： （1）设一旋转体是由曲线y=f(x)(y≥0)与直线x=a,x=b(a≤b)及x轴所围成的曲边梯形（图5-15中的阴影部分）绕x轴旋转一周而得，则应确定x为积分变量，如图5-15所示； 此时，体积的定积分计算模型为：

(2)设一旋转体是由曲线x=φ(y)(x≥0)与直线y=c,y=d(c≤d)及y轴所围成的曲边梯形（图5-16中的阴影部分）绕y轴旋转一周而得，则应确定y为积分变量，如图5-16所示。 此时，体积的定积分计算模型为：

例31 证明：底面半径为r,高为h的圆锥体的体积为 如图5-17所示，以圆锥的顶点为坐标原点，以圆锥的高为x轴，建立直角坐标系， 证 则圆锥可以看成是由直角三角形OAB绕x轴旋转一周而得到的旋转体且斜边OA的方程为: 于是，所求圆锥的体积为

例32 求由椭圆 绕x轴旋转一周而成的旋转体（叫作旋转椭球体）的体积。 由图形的对称性，可得旋转椭球体的体积为 特别地，当a=b时，旋转椭球体就变成了半径为a的球体，其体积为 这正是我们大家在中学熟知的球的体积公式

例33 设平面图形由曲线y=2x与直线x=1及y=0围成，试求：（1）平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积； 解（1）绕x轴转，则取x为积分变量，积分区间为[0,1]，如图5-19(a)所示， 于是旋转体体积为 V==2π（体积单位） (2)绕y轴转，则取y为积分变量，积分区间为[0,2]，如图5-19(b)所示，此时所得到的旋转体可以看成是两个旋转体的差 即V=∫20π·12dy-∫20π14y22dy =π∫201-116y4dy =πy-180y520=85π(体积单位）

*5.5.2 定积分在物理上的若干应用 1.变力沿直线所作的功 由物理学知道，物体在常力F的作用下沿力的方向作直线运动，当物体移动一段距离s时，力F所作的功为： W=F·s 但在实际问题中，我们常常会遇到变力作功问题； 根据5.1.1的讨论可知，当物体在变力y=F(x)的作用下，由点a移动到点b时，变力F(x)所作的功的定积分计算模型为： W=∫baF(x)dx

例34 已知某弹簧每拉长0.01 m要用2 N的力，求使弹簧拉长0.05 m的拉力所作的功 解 取弹簧的平衡点作为原点建立坐标系，如图5-20所示 由胡克定律知，在弹性限度内拉长弹簧所需的力F与拉长的长度x成正比，即 F=kx 其中k叫弹性系数 依题意，当x=0.01 m时，F=2 N， 所以k=200 N/m， 于是 F=200x 故，所求的使弹簧拉长0.05 m的拉力所作的功为 W=∫0.050200xdx =[100x2]0.050 =0.25 J

2.液体的压力 由物理学可知，水平放置在液体中的薄片，若其面积为A，距离液体表面的深度为h，则该薄片一侧所受的压力P等于以A为底，以h为高的液体柱的重量，即 P=γAh 其中的γ为液体的密度（单位：kg/m3) 但在许多实际问题中，常常需要计算液体中与液面垂直放置的薄片的一侧所受到的压力; 由于薄片上每个位置距液体表面的深度不一样，因此不能简单地利用上述公式进行计算。

下面我们就给出这种形式下压力的计算模型： 如图5-21所示，有一块形状似曲边梯形（曲线方程为y=f(x)）的平面薄片，铅直地放置在液体中（液体密度为γ)，最上端的一边平行于液面并与液面的距离为a,最下端的一边平行于液面并与液面的距离为b 则有，该薄片的一侧所受的压力为： P=∫baγgxf(x)dx 其中g为重力加速度，γ为液体的密度

例35 设一水平放置的水管，其断面是直径为6 m的圆，求当水半满时，水管一端的竖立闸门上所受到的水压力。 解 如图5-22所示，建立直角坐标系， 则圆的方程为： x2+y2=9 取x为积分变量，则积分区间为[0,3] 由图形的对称性可知 竖立闸门上所受到的水压力为 P=2∫309.8×103×x9-x2dx =-9.8×103∫309-x2d(9-x2) =-9.8×10323(9-x2)3230 ≈1.76×105 N

这里是什么形式的极限？ 若仍是未定式，可否再使用洛必达法则？

本例不能运用洛必达法则求该极限, 怎么办？ 下一例

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使用洛必达法则，要对分子分母分别求导数，这里分母求导数后是个较复杂的式子，显然是烦琐的。有办法简化吗？ 返回

以上形式的极限用什么办法来求解？ 返回

这里是什么形式的极限？ 怎么样来求这样形式的极限？

这里是什么形式的极限？ 怎么样来求这样形式的极限？

这是什么形式的极限？ 函数形式上有什么特征？ 怎么样求这样的极限？ 返回

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此函数图形怎样作出？

可否用上例一样方法考虑？

这样的问题怎么解决？