第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 经济数学 第5章　定积分及其应用 第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.4 广义积分 5.5　定积分的应用 基本要求

经济数学 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 5.3.2 定积分的分部积分法 主要内容

设函数 在 上连续，令 ，且满足 经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 定理5·4 (1) 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 定理5·4 　　设函数　　　在　　　上连续，令　　 　 ，且满足　 (1) (2) 当 从 变化到 时， 单调地从 变化到 ； (3) 在 上连续． 则 上式称为定积分的换元公式 ．

经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 计算 例10 解： 令 ,且当 时， ， ,则 , ．所以 当 时， 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 例10 计算 解： 令 ,则 , ,且当 时，　　 ， ．所以 当 时，

经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 *例11 计算 解： 。所以 令 ,则 , 且当 时， 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 *例11 计算 解： 。所以 令 ,则 　, 且当 时， 当 时，

经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 例12 设 在 上连续，试证明： 上为偶函数，则 (1)若 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 例12 设 在 上连续，试证明： 上为偶函数，则 (1)若 在 (2)若 在 上为奇函数，则

经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 证明: 因为 令 ,则 , 在 中 当 。于是 当 时， 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 证明: 因为 令 ,则 , 在 　　　中 当 。于是 当 时， 时，　　；

经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 证明: 为偶函数，则 (1)若 。于是 所以 为奇函数，则 (2)若 。于是 所以 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 证明: (1)若 为偶函数，则 。于是 所以 (2)若 为奇函数，则 。于是 所以

经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 例12的几何解释 ： (1)偶函数的图像关于y轴对称 (2)奇函数的图像关于原点对称 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 例12的几何解释 ： (1)偶函数的图像关于y轴对称 (2)奇函数的图像关于原点对称

利用这个结果，奇、偶函数在对称区间上的积分计算可以得到 经济数学 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 　　利用这个结果，奇、偶函数在对称区间上的积分计算可以得到 简化，甚至不经计算即可得到结果. 例13 计算定积分　　　　　． 解: (1) 因为被积函数 　　 是奇函数, 关于原点对称．所以 且积分区间

经济数学 5.3.1 定积分的换元积分法 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 例14 计算定积分 ． 解: 被积函数 是偶函数， 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 例14 计算定积分　　　　　　　 　　 ． 解: 被积函数 是偶函数， 是奇函数， 且积分区间 关于 是非偶非偶函数， 原点对称．所以

设函数 与 在 上有连续的导数，则 经济数学 5.3.2 定积分的分部积分法 定理5·5 或简写成 上述公式称为定积分的分部积分公式. 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.2 定积分的分部积分法 定理5·5 　　设函数　 与　 　在　　 上有连续的导数，则 或简写成 上述公式称为定积分的分部积分公式.

经济数学 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.2 定积分的分部积分法 例15 计算 解: 例16 计算 解:

经济数学 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.2 定积分的分部积分法 例17 计算 解:

经济数学 课堂练习 ： 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 1．求定积分 ． （答案： ） 2．求定积分 ． （答案： ） 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 课堂练习 ： 1．求定积分 　 　　　　． （答案： ） 2．求定积分　 　　　　　． （答案： ） 3．求定积分　　　　　　 　　　 . （答案： 　　 ） 4．求定积分　　　　　 . （答案： ）

经济数学 小结 1．定积分的换元积分法 ． 2．对称区间上定积分的计算方法． 3．定积分的分部积分法 ． 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 小结 1．定积分的换元积分法 ． 2．对称区间上定积分的计算方法． 3．定积分的分部积分法 ．

经济数学 5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 作业 习题5 8 9 10