定积分的概念与性质 变上限积分的概念与定理 牛顿-莱布尼茨公式 讨论或证明变上限积分的特性 第八讲 定积分的概念与微积分基本定理 定积分的概念与性质 变上限积分的概念与定理 牛顿-莱布尼茨公式 讨论或证明变上限积分的特性
1.1 问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积） a b x y o
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 a b x y o a b x y o （四个小矩形） （九个小矩形） 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
曲边梯形如图所示，
曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为
1.2 定积分的定义 定义
记为 积分和 积分上限 被积表达式 积分变量 被积函数 积分下限
注意：
1.3存在定理 定理1 定理2
1.4 定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值
几何意义：
思考题 将和式极限： 表示成定积分.
思考题解答 原式
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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1.5 基本性质 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2 证
性质3 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 则 （定积分对于积分区间具有可加性）
性质4 性质5
解 令 于是
性质5的推论： （1） 证
性质5的推论： （2） 证 说明： 可积性是显然的.
性质6 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围）
解
1.6 定积分中值定理 积分中值公式 证 由闭区间上连续函数的介值定理知
使 即 积分中值公式的几何解释：
解 由积分中值定理知有 使
二、小结 １．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） ２．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．
2 积分上限函数及其导数 考察定积分 记 积分上限函数
积分上限函数的性质 证
由积分中值定理得
补充 证
例1 求 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 解
证
证 令
3、牛顿—莱布尼茨公式 定理 3（微积分基本公式） 证
令 令 牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本公式表明： 求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意
例4 求 解 原式 例5 设 , 求 . 解
例6 求 解 由图形可知
例7 求 解 解 面积
四、小结 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．
思考题
思考题解答