Mechanics of Plate and Shell 板壳力学 Mechanics of Plate and Shell

第十九章 壳体的一般理论

第16次课内容 §19-3 关于壳体的一些概念 §19-1 曲线坐标与正交曲线坐标

§19-3 关于壳体的一些概念 定义 特征 假设 分类

一 定义 板 壳 上板面 上壳面 中面 中曲面 下板面 下壳面

二 特征 分项 板 壳 荷载 横向 三向以法向为主 几何 薄 薄 变形 小变形 小变形 内力 弯曲内力 弯曲内力 + 膜力

三 假设 板 壳 1. 2. 3. 忽略 的影响 忽略 的影响 4. z=0 u=v=0 面力体力归于横 载

四 分类 依厚度 薄壳 中厚壳 厚壳 依材料 钢筋混凝土壳 钢壳 复合材料壳 依几何 柱壳 回转壳 锥壳 扁壳 依厚度 薄壳 中厚壳 厚壳 依材料 钢筋混凝土壳 钢壳 复合材料壳 依几何 柱壳 回转壳 锥壳 扁壳 依用途 航空航天 海洋 交通运输 化工 机械 依结构 闭合 开敞 组合

§19-1 曲线坐标与正交曲线坐标

一 曲面 曲线坐标 空间曲面表示方式 1.隐式或显式 f(x,y,z)=0 或 z=z(x,y) 2.参数式 3.矢量式

取 ，连续变 ，得到红色线族即 线族 取 ，连续变 ，得到黄色线族即 线族

构成曲面上曲线网 — 曲线坐标 曲面上任意点 非正交曲线坐标 正交曲线坐标 主曲线坐标（主曲率线坐标）

例 1.隐式 2.参数式 坐标线（圆周线） 坐标线（母线） 3.基于参数式取

令 连续变 ，得一族黄色曲线，即圆周线 连续变 ，得一族红色曲线，即母线 圆周线和母线是圆柱壳的主曲率线，因此圆 周线和母线是圆柱壳的主曲线坐标

二 直坐标中任意点在曲线坐标中位置 x,y,z 与 单值对应 P点

若令 得 即是关于 的一条曲线，继而可得 曲线族 同理可得 曲线族，总计可得三族曲线 每族曲线有且仅有一条通过空间任意点P

若令 得到一张曲面 若令 得到一族曲面，称为 曲面族 同理可得 曲面族，总计可得三族曲面 每族曲面有且仅有一张通过空间任意点P

三 坐标线弧长增量 与坐标增量之关系—拉梅系数 三 坐标线弧长增量 与坐标增量之关系—拉梅系数

拉梅系数几何意义：曲线坐标单独改变时 坐标线弧长增量与坐标增量之比值 向拉梅系数 向拉梅系数 (19-1)

四 拉梅系数微分关系 三个拉梅系数六个微分关系 (19-3) 三个微分关系 (19-4) 三个微分关系 符拉索夫 诺沃日洛夫 科尔库诺夫提供证 明

第17次课内容 §19-2 正交曲线坐标中弹力几何方 程 §19-4 壳体的正交曲线坐标

§19-2 正交曲线坐标中弹力几何方程 一 弹性体内任意点P的三棱边的曲率 二 正交曲线坐标中弹力几何方程

一 弹性体内任意点P的三棱边的曲率 六个曲率半径（六个曲率）

(19-5)

二 正交曲线坐标中弹力几何方程 弹性体任意点P的位移分量和应变分量 位移 应变

点 向位移—P点 向位移

P点 对 所有贡献 (19-6-1)

§19-4 壳体的正交曲线坐标 一 壳体正交曲线坐标 二 壳体中面的拉梅系数 三 中曲面上的高斯和柯达齐条件

一 壳体正交曲线坐标 壳体任一点 壳体中曲面任一点 过 M 点通过法线 可做无数 法截面、法截线 中曲面主曲率对应 主曲率半径

二 壳体中面的拉梅系数 点 向 L系数 向弧长 L系数关系

三 壳体中曲面上的高斯和柯达齐条件 将(19-9),(19-10)代入(19-3),(19-4) 高斯条件 (19-11) 三 壳体中曲面上的高斯和柯达齐条件 将(19-9),(19-10)代入(19-3),(19-4) 高斯条件 (19-11) 柯达齐条件 (19-12) 1. 描述中面上拉梅系数A,B与主曲率 之关系 2. 可用于简化方程简化计算

作业 19-1 19-2

§19-5 正交曲线坐标中壳体几何方程

弹性体P点 壳体P点 壳体中面M点 位移分量 应变分量 注释 应变 位移 直法线假设 中面应变 中面位移 几何方程 (19-6) 六个 (19-15) 六个

一.壳体位移状态方程 应用法线假设 分别代入(19-6) 的第3、4、5个方程，再应用(19-9)和(19-10) 应用法线假设 分别代入(19-6) 的第3、4、5个方程，再应用(19-9)和(19-10) 得到(19-13)，描述中面位移与任一点位移之 间的关系

二.壳体几何方程 薄壳几何方程 应用(19-6)中1、2、6式，再应用(19-9),(19-10) 二.壳体几何方程 薄壳几何方程 应用(19-6)中1、2、6式，再应用(19-9),(19-10) (19-13)，得到(d),(e),(f)三个方程，即壳体几何方程。 观察(d),(e),(f)三式每项均与 或 相关连， 对于薄壳：

则(d),(e),(f)可简化 (19-14) 其中 (19-15) 几何方程

关于薄壳几何方程(19-15)的说明 1.若略去壳的空间曲面之影响，则应变等同于板的应变 2.板的中面上无应变，但壳是存在的，见(19-14)式 3.弯扭应变 —— 向曲率的改变(与板不同) —— 向曲率的改变 ——扭率(初始扭率为0)

4.多种类型薄壳几何方程 (19-15)诺沃日洛夫型 (19-16)复拉表夫型 (19-17)科尔库诺夫型

§19-6 正交曲线壳体的物理方程 中面内力 中面应变

一.壳体中面内力 四个膜力 六个弯曲内力

二.壳体的物理方程、薄壳的物理方程 (19-15) (19-16) (19-17)

壳体物理方程(19-18) (19-19)薄壳

§19-7 正交曲线坐标中壳体的平衡方程

中面内力 中面载荷 三个力的平衡 三个力矩的平衡 小结：方程个数为十七个；未知数为十七个； 位移法方程八阶，每边定解条件的个数是四个

§19-8 壳体的边界条件

边条个数？ 与方程的阶数有关 能提出且只能提出 各边界条件

位移法方程： 中面位移 中面载荷 故能提出四个边界条件 几何方程：中面位移 中面应变(6个) 弹性方程 几何方程：中面位移 中面应变(6个) 弹性方程 物理方程：中面应变 中面内力(6个) （8阶） 平衡方程：中面内力 中面载荷(5个) 位移法方程： 中面位移 中面载荷 故能提出四个边界条件

类型 夹支边 自由边 切向可动 简支边 法向可动 固定 边界图示 边条提出

§19-9 薄壳的无矩理论

一.由来和存在条件 无矩假定：在整个壳体的所有横截面上 存在条件：1.对边界条件的限制 只能提膜力的条件，不能提M,Q的条件 只能提U,V的条件，不能提w及转角 2.对载荷的限制（不能有较大突变） 3.对中曲面设计的限制（限制曲率的突变）

二.无矩理论 未知数 位移 应变 内力 方程 几何 物理 平衡 有矩理论 无矩理论 (19-15) (19-19) (19-22) 位移 应变 内力 方程 几何 物理 平衡 有矩理论 (19-15) (19-19) (19-22) (19-16) 6个 5个 (19-17) 6个 方程8阶 无矩理论 P245(b) P245(a) (19-30) (19-31) 3个 方程4阶

边界条件 有矩理论 夹支 自由边 切向可动简支 法向可动简支 固定简支 无矩理论

§20-1 柱壳概述 无矩理论

一.坐标 长度 若 圆柱壳 非柱壳

二.无矩方程 一般壳体无矩方程 编号 媒介 柱壳无矩方程 平衡 (19-30) 3个，2阶 (20-1) 3个 弹性 (19-31) 3个，3阶 (20-2)

三.求解方程 1.先易后难 2.先内力后位移 静定问题 3.(20-1),(20-2) 必须联立求解 超静定

§20-2 柱壳无矩算例

例1 解： 1.载荷条件 2.边界条件 上—自由 下—固支 3.问题类型——静定 4.求内力、位移 5.分析结论

分析与讨论 1.内力图 如左图

2.位移图 w图

若按有矩理论求解 w图 图

3.“边缘效应”是存在的（边缘效应的讨论） 在约束点，载荷突变位置等处存在，边缘 效应解在20章后续课程讨论，工程上采用 迭加法=无矩解+边缘效应解 代替有矩理论， 该法即经济有效又实用。

4.考虑算例1 几何、载荷、约束均保持不变，但要考虑自重 已知壳体密度为 ，求无矩内力 载荷条件：

算例3 （注意与算例1、算例2的区别） 差异点1.载荷条件不同 2.约束条件不同 对称轴

有对称性，补充对称性条件 在对称轴上 上， 反对称的内力为0 对称的位置为0

3.截面非圆截面 内力和位移与 有关 4.结果与分析 边缘效应，有待订正