第七章 不可压缩流体动力学基础

本章主要讨论三元流动问题，即讨论有关流动问题的基本概念和基本原理以及描述不可压缩流体运动的基本方程和定解条件。 本章主要内容 本章主要讨论三元流动问题，即讨论有关流动问题的基本概念和基本原理以及描述不可压缩流体运动的基本方程和定解条件。 重点、难点内容 流体微团运动的分析 有旋流动、无旋流动 理想流体运动微分方程 涡线、涡管以及斯托克斯定理

第一节 流体微团运动的分析 分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。 第一节 流体微团运动的分析 分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。 流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式有平移运动，旋转运动和变形运动等，而变形运动又包括线变形和角变形两种。

平面流动 平移 转动 线变形 角变形

平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动 右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后，该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。

流体微团的运动形式与微团内各点速度的变化有关。设方形流体微团中心 M 的流速分量为 ux 和 uy （图 7-1 ) ，则微团各侧边的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速分量分别为：

可见，微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。

平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一距离 uydt 。因而，我们把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流体微团的平移运动速度。

线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速度差为 当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。

线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速度。 以θx表示流体微团沿 x 方向的线变形速度，则：

三元流动线变形速度

微团的旋转和角变形 流体微团的运动过程可以看作下述两种基本运动的组合： 流体微团绕M点作无角变形的旋转运动，ABCD-A’B’C’D’;

旋转角速度 设沿逆时针方向旋转为正，则AMC线的旋转角速度为： BMD线的旋转角速度为：

把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平面上的旋转角速度。 因而，角速度矢量为： 角速度的大小为：

角变形速度 直角边 AMC （或BMD）与对角线 EMF 的夹角的变形速度定义为流体微团的角变形速度。

亥姆霍兹速度分解定理

亥姆霍兹速度分解定理

第二节 有旋流动 流体微团的旋转角速度在流场内不完全为零的流动称为有旋流动。 自然界和工程中出现的流动大多数是有旋流动，例如: 龙卷风 第二节 有旋流动 流体微团的旋转角速度在流场内不完全为零的流动称为有旋流动。 自然界和工程中出现的流动大多数是有旋流动，例如: 龙卷风 管道流体运动 绕流物体表面的边界层及其尾部后面的流动。

有旋流动与无旋流动 无旋流动 有旋流动

有旋流动与无旋流动 无旋流动 有旋流动

涡量

涡量连续性微分方程

涡线 在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体质点的旋转角速度向量方向的曲线，称为涡线。 在给定的瞬时，涡线上各点的角速度向量在该点处与涡线相切。

涡线微分方程 沿涡线取一微小线段ds，由于涡线与角速度向量的方向一致，所以，沿三个坐标轴方向的分量dx， dy， dz必然与角速度向量的三个分量成正比，即：

涡管 在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线上的每一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为涡管。

涡通量

涡管强度守恒定理 可以证明： 对于微元涡管，可以近似认为截面上各点的涡量为常数，则由上式： 涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。

涡量场中的涡线、涡管、涡通量等概念分别与流速场中的流线、流管、流量等概念相对应，而涡线方程与涡管的涡通量方程则分别与流线方程和元流连续性方程相对应。

速度环量 通常，涡通量是利用速度环量这个概念来计算的。 在流场中任取一封闭曲线s，则流速沿曲线s的积分称为曲线s上的速度环量。并规定积分沿s逆时针方向绕行为s的正方向。

斯托克斯定理 沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲线为边界的曲面 A 的涡通量。

第三节 不可压缩流体连续性微分方程 － ＝ 直角坐标系中的连续性方程 质量守恒 输入微元体 的质量流量 输出微元体 的质量流量 微元体内的 第三节 不可压缩流体连续性微分方程 直角坐标系中的连续性方程 质量守恒 y x z dz dx dy 输入微元体 的质量流量 输出微元体 的质量流量 － 微元体内的 质量变化率 ＝ 微元体及其表面的质量通量

连续性方程 1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入与输出的质量差： y方向： z方向：

连续性方程 3、微元体内的质量变化： 从而有： 或： 矢量形式： （适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体） 矢量形式： 连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。

若流体不可压缩： 上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。 恒定流或非恒定流； 理想液体或实际液体。 适用范围： 一维流动的连续方程 连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程之一。任何流体的连续运动均必须满足。

例：已知不可压流体速度, 估算w。 解： 不可压流体

第四节 以应力表示的粘性流体运动微分方程 应力状态及切应力互等定律 应力状态： 切应力互等定律 y x z 应力状态： 粘性流场中任意一点的应力有9个分量，包括3个正应力分量和6个切应力分量： 切应力互等定律 微元体上X和Z方向的表面力 在6个切应力分量中，互换下标的每一对切应力是相等的。

微元体表面力的总力分量 x方向的表面力： y方向的表面力： z方向的表面力：

x ＝ 动量流量及动量变化率 动量流量 动量通量 流通面积 动量流量 dy z dx dz y x 动量在微元体表面的输入与输出 图中标注的是动量的输入或输出方向，而动量或其通量本身的方向均指向x方向，即分速度vx的方向。 动量在微元体表面的输入与输出

输入输出微元体的动量流量 微元体内的动量变化率 x方向： y方向： z方向： x方向： y方向： z方向： 流体的瞬时质量为

以应力表示的运动方程 x方向的运动方程： y方向的运动方程： z方向的运动方程： 注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程， 　　适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。

方程的物理意义： 方程可简略表示成： 这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律 方程左边是：任意时刻t通过考察点A的流体质点加速度的三个分量； 方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体积力在各坐标上的分量。 方程可简略表示成： 这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律

第五节 应力和变形速度的关系

粘性流体运动微分方程 Navier－Stokes方程 对一维流动问题： 对粘性流体流动问题： 关键：寻求流体应力与变形速率之间的关系 以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。 对一维流动问题： 补充方程：牛顿剪切定律 对粘性流体流动问题： 补充方程：广义的牛顿剪切定律 即：牛顿流体本构方程 目的 关键：寻求流体应力与变形速率之间的关系 将应力从运动方程中消去，得到由速度分量和压力表示的粘性流体运动微分方程，即N-S方程。

N-S方程 牛顿流体的本构方程 引入的基本假设： 应力与变形速率成线性关系; 应力与变形速率之间的关系各向同性； 为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，Stokes提出三个基本假设： 应力与变形速率成线性关系; 应力与变形速率之间的关系各向同性； 静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力

牛顿流体的本构方程：

本构方程的讨论： 正应力与线变形速率： 线变形率与流体流动： 正应力中的粘性应力： 流体正应力与三个速度偏导数有关 (即:线变形率)，同固体力学中的虎克定律。 线变形率与流体流动： 从流体流动角度看，线变形率的正负反映了流体的流动是加速还是减速；体变形率的正负反映了流动过程中流体体积是增加还是减少。 正应力中的粘性应力： 附加粘性正应力 附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。

牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系，是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。 正应力与压力： 由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等于正应力值。但有： 这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平均值却总是与压力大小相等。 切应力与角边形率： 流体切应力与角变形率相关。 牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系，是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。

适用于牛顿流体 第六节 N-S方程 流体运动微分方程——Navier－Stokes方程

适用于牛顿流体 常见条件下N－S方程的表达形式： 常粘度条件下N－S方程： 矢量形式：

适用于牛顿流体 不可压缩流体的N－S方程： 矢量形式：

适用于牛顿流体 常粘度条件下不可压缩流体的N－S方程： 矢量形式： 扩散项（粘性力项） 对静止或理想流体为0 高速非边界层问题≈0 非定常项 定常流动为0 静止流场为0 对流项 静止流场为0 蠕变流时≈ 0 单位质量流体 的体积力 单位质量流体 的压力差

第八节 流体流动的初始条件和边界条件 N-S方程应用概述 连续方程和N－S方程是粘性流体流动应遵循的质量守恒和 动量守恒的数学表达式。 封闭条件：理论上方程是封闭的，但若要考虑到物性参数的变化，应将物性变化的关系作为补充方程。 应用条件：只适用于牛顿流体 方程求解：N－S方程无普遍解；特殊条件下，有可能获得准确或近似的分析解；通常通过数值计算获得离散解。

流动微分方程的应用求解步骤 根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化，获得针对具体问题的微分方程或方程组。 提出相关的初始条件和边界条件。 　　初始条件：非稳态问题 流体具有粘性，在与壁面接触处流体速度为零。 固壁－流体边界： 边界条件 对非高速流，气液界面上，液相速度梯度为零。 液体－气体边界： 液体－液体边界： 液液界面两侧的速度或切应力相等。

N-S方程应用举例： 例: 圆管内的一维稳态流动分析。 例: 圆管内的一维稳态流动分析。 不可压缩流体在水平 圆管内作一维稳态层流流动。试写出该条件下的连续性方程和运动微分方程。并证明管道截面上任一点的总势能和轴向压力梯度为常数。

例题

表明vz只是r的函数； 只是z的函数

作业 7-2、7-3、7-4、7-5