第十八章 含参变量的反常积分 教学目标： 1°使学生掌握含参变量反常积分概念； 2°使学生学会用定义证明含参变量反常积分收敛性。 第十八章 含参变量的反常积分 教学目标： 1°使学生掌握含参变量反常积分概念； 2°使学生学会用定义证明含参变量反常积分收敛性。 3°通过学习使学生掌握判别含参变量反常积分的收敛性的基本方法。

一致收敛的定义 形如 的积分，称为含参变量 的反常积分 定义1、若对任意给定的 存在 （此 仅与 有关），当 时，对一切 ，成立 形如 的积分，称为含参变量 的反常积分 定义1、若对任意给定的 存在 （此 仅与 有关），当 时，对一切 ，成立 就称 关于 为一致收敛 定义2、设 对于 上的每一 值，有一个奇点 ，又设对每一个 ，这个有奇点的反常积分存在，如果对于任意 ，存在与 上的 无关的 ，使当 时 成立，就称 关于 在 上一致收敛

二、一致收敛积分的判别法 魏尔斯特拉斯判别法 设有函数 ，使 如果积分 收敛，那么 关于 在 上一致收敛 例1、证明 在 内是一致收敛的。

三、一致收敛积分的性质 1、连续性定理 设 在 上连续， 关于 在 上一致收敛 ，那么 是 在 上的连续函数 1、连续性定理 设 在 上连续， 关于 在 上一致收敛 ，那么 是 在 上的连续函数 2、积分顺序交换定理 设函数 在 上连续， 关于 一致收敛，那么 在 上的积分可以在积分号下进行 或者说，积分顺序可交换。

定理3、积分号下求导的定理 设函数 在 上连续， 存在， 关于 在上一致收敛，那么 的导数存在，且 或者说，求导和积分可交换。 例2、计算 之值

阿贝尔判别法、狄立克雷判别法 1、阿贝尔判别法 设 关于 为一致收敛， 对 单调（即对每一个固定的 ， 作为 的函数是单调的），并且关于 为一致有界，即存在数 ，对所讨论范围内的一切 ， 成立 那么积分 关于在上一致收敛。

2、狄立克雷判别法 设积分 对于 和 一致有界，即存在正数 ，使对上述 ， 成立 又 关于 为单调，并且当 时， 关于 上的 一致趋于零，即对任意给定的正数 ，有 ，当 时，对一切 成立 那么积分 关于在上一致收敛。

例3 例4、求狄立克雷积分

五、欧拉积分， 函数和 函数 它们依次称为第一类和第二类欧拉积分 1、 函数和 函数的连续性 五、欧拉积分， 函数和 函数 它们依次称为第一类和第二类欧拉积分 1、 函数和 函数的连续性 （1） 函数的连续性 对任何 ，常有 使 ；因为 而 收敛，所以 在 上一致收敛，从而 在 时连续

对 ,而 收敛,所以 关于 在 上一致收敛 . 对 ,而 收敛 ,所以 关于 在 上一致收敛.因此 在 的范围内连续 (2)函数的连续性 在任 何 上一致收敛.事实上, 对 ,而 收敛,所以 关于 在 上一致收敛 . 对 ,而 收敛 ,所以 关于 在 上一致收敛.因此 在 的范围内连续 2、 函数的递推公式

3、 函数的另一表达式 （换元，令 即得。） 4、 函数与 函数的关系 例5、求二项式积分之值 例6、求积分 的值

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