第3章 静电场及其边值问题解法 The Electrostatic Field and Solution Techniques for Boundary –Value Problems 主要内容 静电场基本方程与电位方程 静电场中的介质、导体与电容 静电场边值问题、惟一性定理 镜像法 分离变量法

§3.1 静电场基本方程与电位方程 Fundamental Equations of Electrostatic-Field and electric potential equations 3.1.1 静电场的基本方程 静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为： （1） （3） （2） （4） （2.a） （4.a）

3.1.2 电位定义 §3.1 静电场基本方程与电位方程 1) 电位的引出 根据矢量恒等式 3.1.2 电位定义 1) 电位的引出 根据矢量恒等式 在静电场中可通过求解电位函数(Potential)， 再利用上式可方便地求得电场强度E 。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。 ２) 　与 　的微分关系 在静电场中，任意一点的电场强度　　的方向总是沿着电位减少的最快 方向，其大小等于电位的最大变化率。

§3.1 静电场基本方程与电位方程 ３) 　与 　的积分关系 设P0为参考点

 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。 §3.1 静电场基本方程与电位方程 ４) 电位参考点的选择原则  场中任意两点的电位差与参考点无关。  同一个物理问题，只能选取一个参考点。  选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。 例如：点电荷产生的电场： 表达式无意义  电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；  电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。

§3.1 静电场基本方程与电位方程 3.1.2 电位方程 1) 泊松方程 解为: 2) 拉普拉斯方程

3.2.1 介质的极化 §3.2 静电场中的介质 有极性分子 无极性分子 电介质的极化过程 3.2.1 介质的极化 有极性分子 无极性分子 电介质的极化过程  电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩；  电介质内部和表面产生极化电荷；  极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。

式中 为体积元 内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向 正极化电荷。 §3.2 静电场中的介质 用极化强度P表示电介质的极化程度，即 C/m2 电偶极矩体密度 式中 为体积元 内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向 正极化电荷。 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中 ——电介质的极化率,无量纲量。 各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；  线性：媒质的参数不随电场的值而变化；  均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。 

3.2.2 介质中的高斯定理,相对介电常数 §3.2 静电场中的介质 a）高斯定律的微分形式 （真空中） （电介质中） 代入 ,得 3.2.2 介质中的高斯定理,相对介电常数 a）高斯定律的微分形式 （真空中） （电介质中） 代入 ,得 定义电位移矢量（ Displacement） 则有 电介质中高斯定律的微分形式  D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。  在各向同性介质中 其中 ——相对介电常数； ——介电常数，单位（F/m）

图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。 §3.2 静电场中的介质 图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。 D线 E线 P线 D、E与 P 三者之间的关系 • D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷； • E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上； • P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。

导体内部不存在任何净电荷,电荷都一面电荷的形式分布于导体表面; §3.3 静电场中的导体 3.3.1 静电场中的导体 静电场中的导体具有以下特征： 导体内部各处电场强度为零 导体内部不存在任何净电荷,电荷都一面电荷的形式分布于导体表面; 导体为一等位体,其表面为等位面; 导体表面切向电场为零,而只有法向电场分量,简单媒质中导体表面处的电场强度为:

例: 用孤立导体球要得到1F 的电容，球半径为大？ §3.3 静电场中的导体 3.3.2 电容 一、孤立导体的电容 孤立导体球的电势: R Q 当R确定时, 定义电容: 单位: 1F（法拉）=1C/V= 例: 用孤立导体球要得到1F 的电容，球半径为大？

电容与电场强度的大小无关,但与电场强度的分布有关.电容值取决与导体的形状,尺寸以及介电常数 §3.3 静电场中的导体 二、两个导体的电容 电容与电场强度的大小无关,但与电场强度的分布有关.电容值取决与导体的形状,尺寸以及介电常数 求电容的两条途径 1)先假定两导体带等量异号的电量Q,通过计算电场得出两导体 间的电压U,然后计算出电容 2)先假定两导体间的电压U,通过计算电场得出电量Q,然后计算出电容

§3.3 静电场中的导体 三、几种典型的电容器及电容 1) 平行板电容器 d S 板间场强： 电势差： 电容： 2) 圆柱形电容器

§3.3 静电场中的导体 3) 球形电容器

在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。 §3.4 静电场中的边界条件 3.4.1 和 的边界条件 1、两种介质之间的边界条件 在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。 折射定律

2、介质与导体之间的边界条件 §3.4 静电场中的边界条件 当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为： 表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的 D 就等于该点的自由电荷密度 。

3.4.2 电位的边界条件 1、两种介质之间的电位边界条件 §3.4 静电场中的边界条件 设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d， ,则 因此 表明: 在介质分界面上，电位是连续的。 在介质分界面上， 所以

§3.4 静电场中的边界条件 3.4.2 电位的边界条件 2、介质与导体之间的电位边界条件 两种介质之间 介质与导体之间

§3.4 静电场中的边界条件 例题:3.4-1 例题:3.4-2

Electrostatic-Field Boundary-Value Problems, Uniqueness Theorem §3.5 静电场边值问题，唯一性定理 Electrostatic-Field Boundary-Value Problems, Uniqueness Theorem 一、静电场边值问题 直接求解 分布型问题 给定场源分布，求任意点场强或位函数 高斯方法求解 静态场问题 间接求解 已知场域边界上各点电位值 第一类 边界条件 已知场域边界上各点电位的法向导数 边值型问题 给定边界条件，求任意点位函数或场强 第二类 边界条件 一、二类边界条件的线性组合，即 第三类 边界条件

分布型问题解法 §3.5 静电场边值问题，唯一性定理 直接求解(2.1-8) 高斯方法求解 (2.1-16) 间接求解 §3.5 静电场边值问题，唯一性定理 直接求解(2.1-8) 分布型问题解法 高斯方法求解 (2.1-16) 间接求解 (3.1-9)-(3.1-12)

镜像法 分离变量法 解析法 复变函数法 格林函数法 计算法 边值型问题解法 有限差分法 有限元法 数值法 边界元法 矩量法 实验法 图解法 §3.5 静电场边值问题，唯一性定理 镜像法 分离变量法 解析法 数值法 复变函数法 格林函数法 计算法 … 边值型问题解法 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 实验法 … 图解法

二、惟一性定理Uniqueness Theorem §3.5 静电场边值问题，唯一性定理 二、惟一性定理Uniqueness Theorem 对于任一静电场，若整个边界上的边界条件给定(可能给出一部分边界上的位函数，另一部分边界上位函数的法向导数)，则空间中的场就惟一地确定了。 也就是说，满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，这就是静电场惟一性定理。 证明见P.86～ P.87(反证法) 惟一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、解析解、数值解等）提供了思路及理论根据。

§ 3.6 镜像法Image Method 镜像法: 用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边界的空间变成同一媒质空间，使计算简化。 要点： 确定镜像电荷的个数、位置与大小，使镜像电荷和原电荷共同产生的场保持原有边界条件不变，根据唯一性定理，所得的解是唯一的。

图3.6-1 导体平面附近的点电荷与其镜象法等效处理 § 3.6 镜像法 一、导体平面附近的点电荷 设一无限大接地导体平面附近有一点电荷q，它与导体板的垂直距离是h，如图3.6-1(a)所示。 现求（1）导体上方（即z>0的空间）的电位分布； （2）导体表面的感应电荷。 图3.6-1 导体平面附近的点电荷与其镜象法等效处理

(1)设想将导体板抽去，使整个空间充满同一种媒质，在与原来点电荷对称的位置上放置一 的镜像点电荷来代替原导体平板上的感应电荷. § 3.6 镜像法 (1)设想将导体板抽去，使整个空间充满同一种媒质，在与原来点电荷对称的位置上放置一 的镜像点电荷来代替原导体平板上的感应电荷. * 这时，在z>0的空间里任一点p(x,y,z)的电位就等于原点电荷q和镜像 所产生电位的总和。

* 选无穷远处为参考点，则在z>0的空间任一点p的总电位是： § 3.6 镜像法 * 选无穷远处为参考点，则在z>0的空间任一点p的总电位是： * 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。

§ 3.6 镜像法 故对z=0平面上任意点有 得 可见，引入镜像电荷 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，未改变所求空间的电荷分布，因而在z>0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。 注意：仅对上半空间等效。

（2）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度： § 3.6 镜像法 （2）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度： 导体表面的总感应电荷 可见，镜像电荷 代替了导体表面所有感应电荷对上半空间的作用。

§ 3.6 镜像法 二、导体劈间的点电荷 设有两块接地半无限大导体平板相交成角 ，且 n为正整数，交角内置一点电荷（或一线电荷）。现采用镜像法求角内的电场分布。为了不改变原有边界条件（即导体板处电位为零）和交角 内的源分布，试求镜像的位置，以及镜像的个数。 轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。

注意：只有n为整数时，最后镜像才能和原电荷重合； § 3.6 镜像法 可见， 注意：只有n为整数时，最后镜像才能和原电荷重合； 导体交角内任一点的电场就等于N个镜像电荷与原电荷在 该点产生场的总和。

* 镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代边界上感应电荷的分布,使计算场域为无限大均匀介质； § 3.6 镜像法 镜像法小结 * 镜像法的理论基础是静电场惟一性定理； * 镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代边界上感应电荷的分布,使计算场域为无限大均匀介质； * 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数、位置及大小； * 应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求 场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域，它只对该区域等效。

§3.7 分离变量法The Method of Separation of Variables * 分离变量法是一种最经典的微分方程解法。 * 采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解; * 只有当场域边界与正交坐标面重合(或平行)时，才可确定积分常数，从而得到边值问题的特解。 一、解题的一般步骤： (a)根据边界形状选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）； (b)分离变量，将一个偏微分方程分离成几个常微分方程,并 得出通解表达式； (c)利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的特解。

§3.7 分离变量法 二、直角坐标中的分离变量法 拉普拉斯方程 二维问题 设 因此 即

§3.7 分离变量法 可得 于是有 式中 写为如下形式 以方程 为例 通解的形式是

§3.7 分离变量法 表3.7-1 直角坐标系中解的形式的选择 （方程： ）

图示一无限长金属管，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为 (V)，金属管截面为矩形，边长为a、b，试求金属管内电位的分布。 例1 §3.7 分离变量法 图示一无限长金属管，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为 (V)，金属管截面为矩形，边长为a、b，试求金属管内电位的分布。 例1 [解] Step1. B.C. ( ) a x b y p j f sin 100 , = < £ （b） （a） （c） (d） 图 金属管的截面 Step2. Eq. （D域内）（1）

§3.7 分离变量法 Step3. 通解 Step4. 根据(a)得 Step5. 根据(b)得

§3.7 分离变量法 Step6.根据(c)得 Step7. 根据(d)得