西南科技大学网络教育系列课程 数学软件 数学软件 第5讲　MATLAB数值计算二 主讲教师: 鲜大权 副教授 西南科技大学理学院数学系

5.5 傅立叶分析 5.6 数值微积分 5.7 常微分方程的数值求解 5.8 非线性方程的数值求解 5.9 稀疏矩阵

5.1 傅立叶分析 MATLAB中，提供了对向量(或直接对矩阵的行或列)进行离散傅立叶变换的函数，其调用格式是： Y=fft(X,n,dim) (1)当X是一个向量时，返回对X的离散傅立叶变换。 (2)当X是一个矩阵时，返回一个矩阵并送Y，其列(行)是对X的列(行)的离散傅立叶变换。

例5.1 求X=(1，0，-3，5，2)的离散傅立叶逆变换。 在MATLAB命令窗口，输入命令： X=[1,0,-3,5,2]; Y=fft(X) %对X进行变换 3. 离散傅立叶变换的逆变换 MATLAB中，对向量(或直接对矩阵的行或列)进行离散傅立叶逆变换的函数的调用方法是： Y=ifft(X,n,dim) 函数对X进行离散傅立叶逆变换。其中X、n、dim的意义及用法和离散傅立叶变换函数fft完全相同。

例5.2 对矩阵A的列向量、行向量分别进行离散傅立叶变换、并对变换结果进行逆变换。 命令如下： A=[3,2,1,1;-5,1,0,1;3,2,1,5]; fftA=fft(A) %求A的列向量的傅立叶变换 fftA2=fft(A,4,2) %求A的行向量的傅立叶变换 ifft(fftA) %对矩阵fftA的列向量进行傅立叶逆变换，结果应等于A ifft(fftA2,4,2) %对矩阵fftA2的行向量进行傅立叶逆变换，其结果应等于A

5.2 数值微积分 5.2.1 数值微分 MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数。 DX=diff(X) 计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，0<i<n。 DX=diff(X,n) 计算X的n阶向前差分，diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim) 计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分，dim=2，按行计算差分。

例5.3 求向量sin(X)的1~3阶差分。设X由[0，2π]间均匀分布的10个点组成。 命令如下： X=linspace(0,2*pi,10); Y=sin(X); DY=diff(Y); %计算Y的一阶差分 D2Y=diff(Y,2); %计算Y的二阶差分，也可用命令diff(DY)计算 D3Y=diff(Y,3); %计算Y的三阶差分，也可用diff(D2Y)或diff(DY,2)

例5.4 用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f'(x)的图象。 程序如下： f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2'); g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5'); x=-3:0.01:3; p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多项式p拟合f(x) dp=polyder(p); %对拟合多项式p求导数dp dpx=polyval(dp,x); %求dp在假设点的函数值 dx=diff(f([x,3.01]))/0.01; %直接对f(x)求数值导数 gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点的导数 plot(x,dpx,x,dx,'g.',x,gx,'r-'); %作图

5.2.2数值积分 (1)被积函数是一个解析式 函数quad(f,a,b,tol,trace)用于求被积函数f(x)在[a,b]上的定积分，tol是计算精度，缺省值是0.001。trace非0时，画出积分图形。注意，调用quad函数时，先要建立一个描述被积函数f(x)的函数文件或语句函数。当被积函数f含有一个以上的变量时，quad函数的调用格式为： quad(f,a,b,tol,trace,g1,g2) 其中f,a,b,tol,trace等参数的含义同前。 数值积分函数还有一种形式quad8，其用法与quad完全相同。

例5.5 用两种不同的方法求积分。 先建立一个函数文件ex.m： function ex=ex(x) ex=exp(-x.^2); %注意应用点运算 return 然后，在MATLAB命令窗口，输入命令： quad('ex',0,1,1e-6) %注意函数名应加字符引号 quad8('ex',0,1,1e-6) %用另一函数求积分

例5.6用trapz函数计算积分。 在MATLAB命令窗口，输入命令： X=0:0.01:1;Y=exp(-X.^2); trapz(X,Y) (2)被积函数由一个表格定义 MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X、Y定义函数关系Y=f(X)。

(3)二重积分 例5.8计算二重积分。 建立一个函数文件fixy.m： function f=f(x,y) f=exp(-x.^2-y.^2); return 建立一个命令文件ftxy1.m： for i=1:20 int2(i)=quad('fixy',0,1,[],[],x(i)); %在二维函数fixy中以x=x(i)代入并对y积分。 end 在MATLAB命令窗口，输入命令： x=linspace(0,1,20); ftxy1 trapz(x,int2)

实际上，MATLAB提供了计算二重积分的函数： dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。 如果直接使用这里介绍的二重积分函数dblquad来求解本例就非常简单，命令如下： g=inline('exp(-x.^2-y.^2)'); dblquad(g,0,1,0,1) %直接调用二重积分函数求解

5.3 常微分方程的数值求解 基于龙格－库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为： [X,Y]=ode23(f,[x0,xn],y0) [X,Y]=ode45(f,[x0,xn],y0) 其中X、Y是两个向量，X对应自变量x在求解区间[x1，xn]的一组采样点，其采样密度是自适应的，无需指定；Y是与X对应的一组解，f是一个函数，[x0，xn]代表自变量的求解区间，y0=y(x0)，由方程的初值给定。函数在求解区间[x0，xn]内，自动设立采样点向量X，并求出解函数y在采样点X处的样本值。

例5.7 求微分方程初值问题在[1，3]区间内的数值解，并将结果与解析解进行比较。 先建立一个该函数的m文件fxy1.m： function f=f(x,y) f=-2.*y./x+4*x %注意使用点运算符 return 再输入命令： [X,Y]=ode45('fxy1',[1,3],2); X' %显示自变量的一组采样点 Y' %显示求解函数与采样点对应的一组数值解 (X.^2+1./X.^2)' %显示求解函数与采样点对应的一组解析解

例5.8 求解初值问题在区间[0，2]中的解。 建立一个函数文件 fxy2.m： function f=f(x,y) f(2)=-x.*y(2)+x.^2-5; f(1)=y(2); f=f'; return 在MATLAB命令窗口，输入命令： [X,Y]=ode45('fxy2',[0,2],[5,6]); [X,Y]

5.4 非线性方程的数值求解 1．单变量非线性方程求解 MATLAB中，提供了求解单变量方程的函数fzero(f,x0,tol)，该函数采用迭代法计算函数f(x)的一个零点，迭代初值为x0，当两次迭代结果小于tol时停止迭代过程。tol的缺省值是eps。 注意，在调用函数fzero 之前，要使用m文件建立自己要计算的函数f(x)，只有定义了函数f(x)的m文件后，才能在fzero函数的参数中使用自定义函数名。

例5.9 求f(x)=x-+5 在x0=-5和x0=1作为迭代初值时的零点。 先编制一个函数文件fz.m： function f=f(x) f=x-1/x+5; 然后，在MATLAB命令窗口，输入命令： fzero('fz',-5) %以-5作为迭代初值 Zero found in the interval: [-4.8, -5.2]. fzero('fz',1)

2．非线性方程组求解 函数fsolve调用格式为： X=fsolve(F,X0) 例5.10 求方程组在(1，1，1)附近的解并对结果进行验证。 首先建立方程的函数文件fxyz1.m： function F=F(X) x=X(1);y=X(2);z=X(3); F(1)=sin(x)+y+z^2*exp(x); F(2)=x+y*z; F(3)=x*y*z; 在MATLAB命令窗口，输入命令： X=fsolve('fxyz1',[1,1,1]) %求解X的三个分量x、y、z Y=fxyz1(X) %检验所求结果X是否满足原方程组 norm(Y) %求Y向量的模

例5.11 求圆和直线的两个交点。 建立方程组函数文件fxyz2.m： function F=F(X) x=X(1);y=X(2);z=X(3); F(1)=x^2+y^2+z^2-9; F(2)=3*x+5*y+6*z; F(3)=x-3*y-6*z-1; 在MATLAB命令窗口，输入命令： X1=fsolve('fxyz2',[-1,1,-1]) %求直线与球面的第一个交点 X2=fsolve('fxyz2',[1,-1,1]) %求直线与球面的第二个交点

5.5 稀疏矩阵 5.5.1 矩阵存储方式 1. 矩阵的完全存储模式 2. 稀疏矩阵的存储方式 5.5.2 稀疏存储方式的产生与转化 1. 将一个完全存储方式的转化为稀疏存储方式 函数B=sparse(A)将矩阵A转化为稀疏存储方式的矩阵B。 sparse函数还有其他一些格式： sparse(m,n) 生成一个m×n的所有元素都是0的稀疏矩阵。 sparse(u,v,S) u、v、S是三个等长的向量。 此外，还有一些和稀疏矩阵操作有关的函数。例如 [U,V,S]=find(A) 返回矩阵A中非0元素的下标和元素。这里产生的U、V、S可作为sparse(u,v,s)的参数。 full(A) 返回和稀疏存储矩阵A对应的完全存储方式矩阵。

2. 产生一个稀疏矩阵 把要建立的稀疏矩阵的非0元素及其所在行和列的位置表示出来后由MATLAB自己产生其稀疏存储方式，这需要使用spconvert函数。调用格式为： B=spconvert(A) 其中A为一个m×3或m×4的矩阵，其每行表示一个非0元素，m是非0元素的个数。 3. 单位稀疏矩阵的产生 单位矩阵只有对角线元素为1，其他元素都为0，是一种具有稀疏特征的矩阵。我们知道，函数eye产生一个完全存储方式的单位矩阵。MATLAB还有一个产生稀疏存储方式的单位矩阵的函数，这就是speye。函数speye(m,n)返回一个m×n的稀疏存储单位矩阵。