第9章 能量法 Energy method

9-1 概述（General introduction） 能量法: 固体力学中，把与功和能的概念有关的理论和方法 统称为能量法 是同静力学方法平行的一种方法

9-2 应变能、余能 功: 力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该 力对物体做了功 恒力功: 变力功:

在线弹性范围内 轴向拉伸时外力做功 扭转时外力做功 弯曲时外力做功 统一表示为 广义位移 广义力

应变能或变形能 能是一种可对物体做功的本领。 应变能密度：单位体积内积蓄的应变能 根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能 等于外力在物体变形过程中所做的功W。 应变能密度：单位体积内积蓄的应变能 若微元各边分别为 若整个体积内 相同

9-3 卡氏定理 卡氏第一定理： 为最后位移 的函数 卡氏第一定理： 应变能对于构件上某一位移之变化率，就等于与该位移相应的荷载。 9-3 卡氏定理 卡氏第一定理： 为最后位移 的函数 由于 改变了 ，外力功相应改变量为 卡氏第一定理： 应变能对于构件上某一位移之变化率，就等于与该位移相应的荷载。

卡氏第二定理： 与余功相应的能称为余能 与外力功 之和等于矩形面积 线弹性范围内外力功等于余功，能等于余能。

卡氏第二定理 表明余能为一系列荷载 的函数 由于 改变了 ，外力余功相应改变量为

在线弹性范围内 余能定理： 杆件的余能对于杆件上某一荷载的变化率就等于与该荷载相应的位移。 卡氏第二定理： 线弹性范围内，杆件的应变能对于杆件上某一荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。

 例题 本题也可用功能原理（实功原理）求解，但这种方法有它的局限性，即只能求解单个力作用时沿其方向的位移。 试求简支梁Fp处的挠度，已知梁的抗弯刚度为EI。 本题也可用功能原理（实功原理）求解，但这种方法有它的局限性，即只能求解单个力作用时沿其方向的位移。

例题  外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP，求 （1）C端挠度 （2） C端转角 解： （1）C端挠度 支座反力分别为

内力为 AB段 BC段 总应变能为 由功能原理或卡氏第二定理可得

P a 例: 图示等截面刚架,其EI,GIP均为已知.试求C点的铅垂位移及水平位移。 CB杆的内力及其相应的导数 AB杆的内力及其相应的导数 L AB杆的内力及其相应的导数

A B C P a L 略去轴力及剪力的影响 CB杆水平方向的内力 及其相应的导数: P/ AB杆水平方向的内力及其相应的导数

能量法解超静定 1.简单超静定问题及其解法 所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束. 求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理三个方面.

例题  一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横梁AB的自重不计,求两杆中的内力. L1 1 2 变形协调方程

? 9-4 单位载荷法 Ⅱ Ш Ⅰ =1 若先作用单位力P0=1,然后再作用P1,P2…,挠曲线从Ⅱ P n P2 P1 =1 P n P2 P1 Ⅱ Ш Ⅰ ? 若先作用单位力P0=1,然后再作用P1,P2…,挠曲线从Ⅱ 变到Ш，梁的变形能除Vp和 外,还因为作用P1,P2…时,使 已作用于C点的单位力P0又位移了,又完成了1· 的功. 故梁内总的变形能V：

——计算变形的莫尔积分公式 展开得： 为实际荷载、所求位移处所施加的单位荷载分别单独作用在梁上时的弯矩方程。 :可以是挠度或转角 若计算结果是正的,表示的方向或转向与单 位力或单位力偶方向一致。

莫 尔 积 分 公 式 ※ 适 用 于 线 弹 性 结 构 弯曲: 组合变形的圆截面杆 ※式中： 拉、压: 扭转： 组合变形的圆截面杆 ※式中： _____构件在求位移点处沿所求位移方向只有单位荷载作用时，构件中产生的内力. 莫尔积分适用于桁架、刚架、曲杆等结构。

例:图示简支梁受均布载荷作用.已知:EI.试用莫尔 积分求:跨中C截面的挠度yC及B截面转角B. A B C 1 1

梁的抗弯刚度EI为常量 试求C点的挠度。 F B A C 1 B A C （3）积分运算 解:（1）在C点施加单位力 （2）分别写出实际载荷和单位力单独作用在梁上时的弯矩方程 1 C B A （3）积分运算

图示刚架的自由端A作用集中载荷F。刚架各段的抗弯刚度为EI。若不计轴力和剪力对位移的影响，试计算A点的垂直位移yA及截面B的转角θB。 Ｃ x1 x2 解：写出AB及BC段的弯矩方程 1 B A Ｃ AB段 x1 x2 BC段 为求A点的垂直位移，在A点加一垂直向下的单位力并写出弯矩方程。 AB段 BC段 利用莫尔积分，A点垂直向下的位移为: A点位移方向与单位力相同即垂直向下.

C 例:桁架各杆材料相同，横截面面积相等，受力如图 用卡氏定理求:B、D两点间相对位移. P A B D P/ 2、求出在P、 P/共同作用下桁架的支座反力及各杆内力

杆长 1 2 5 4 3 各杆轴力 Fi 杆号 P/ A B C D P 1 2 3 4 5

例:图示一U形刚架,三段长均为L,且EI相同.试求:跨中Q与 P应具备什么关系才能保证A和D之间无相对位移 P Q x1 x2 A D

本章作业 9－9(a)， 9－13， 9－18，

例题  图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。试计算轴在加载过程中所积蓄的应变能 。 利用外力功 三种方法 利用内力功 利用应变能密度

解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为 例题：试计算图示结构在荷载 作用下的余能，结构中两杆的长度均为 ，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力—应变曲线如图所示。 解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为 于是两杆横截面上的应力为

由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得： 余能密度为 由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为

 例题 解：由结点C的平衡方程，得两斜杆轴力为 于是两杆横截面上的应力为 试计算图示结构在荷载 作用下的余能，结构中两斜杆的长度均为 ，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力—应变曲线如图所示。求各杆内力。 解：由结点C的平衡方程，得两斜杆轴力为 于是两杆横截面上的应力为

由非线性弹性材料的应力应变 关系曲线可得 余能密度为 由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为