第一章 矢 量 分 析 §1.1 矢量表示法和代数运算 §1.2 通量与散度,散度定理 §1.3 环量与旋度,斯托克斯定理 第一章 矢 量 分 析 §1.1  矢量表示法和代数运算 §1.2  通量与散度,散度定理 §1.3  环量与旋度,斯托克斯定理 §1.4  方向导数与梯度,格林定理 §1.5  曲面坐标系 §1.6  亥姆霍兹定理

§1 .1 矢量表示法和代数运算 一、矢量表示法及其和差 矢量A的表示： A矢量的模： A矢量的单位矢量： 两个矢量的对应分量相加或相减：

二、标量积和矢量积 1、标量积(点乘) 2、矢量积(叉乘) 意义：一个矢量的模与另一个矢量在该矢量上的投影的乘积。 注意： 直角坐标系中的计算公式： 2、矢量积(叉乘) 其中： 方向与A , B成右手螺旋关系

意义：A和B矢量所围成的平行四边形面积。 注意： 直角坐标系中的计算公式： 记为：

三、三重积 1、标量三重积 意义：平行六面体的体积。 2、矢量三重积为

§1 .2 通量与散度, 散度定理 一、通量 面元: 其中： 是面元的法线方向单位矢量 的取向问题: §1 .2 通量与散度, 散度定理 一、通量 面元: 其中： 是面元的法线方向单位矢量 的取向问题: 对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 的方向 对封闭曲面上的面元, 取为封闭面的外法线方向。

通量定义：矢量 A 沿有向曲面S 的面积分，称为矢量 A 沿有向曲面S 的通量 通过封闭面的电通量Ψe等于该封闭面所包围的自由电荷Q。 若Q为正电荷, Ψe为正, 有电通量流出; 反之, 若Q为负电荷, 则Ψe为负, 有电通量流入。

二、散度 1、散度(divergence)定义：如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时, 通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场A在P点的散度。 矢量的散度是一个标量 2、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性 矢量的散度代表的是其通量的体密度

哈密顿(W .R .Hamilton)引入倒三角算符表示下述矢量形式的微分算子 散度计算公式：

三、散度定理 n1=-n2 n1 n2 散度定理：矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量，也称为高斯定理

例1 .1 点电荷q在离其r处产生的电通量密度为 求任意点处电通量密度的散度▽·D，并求穿出r为半径的球面的电通量 [解]

结论：除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散度均为零 证明在此球面上所穿过的电通量 的源正是点电荷q。

§1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理 一、环量 二、旋度 矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量), 记为 §1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理 一、环量 矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量), 记为 二、旋度 1. 环量密度 把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS趋近于零, 取极限 意义：环量的面密度 注意：该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有关

2. 旋度 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时, 该面元矢量的方向

三、斯托克斯定理 矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和 此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式

例1 .3 自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为 求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。 [解]

因 可见, 向分量为零;同样, 向和 向分量也都为零。 结论：点电荷产生的电场是无旋场

§1 .4 方向导数与梯度, 格林定理 一、方向导数与梯度 1、方向导数 §1 .4 方向导数与梯度, 格林定理 一、方向导数与梯度 1、方向导数 标量场φ(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为φ沿该方向的方向导数 注意：方向导数大小与方向 有关 2、梯度 标量场 φ(x, y, z) 在P点的梯度是一个矢量 大小：最大方向性导数 方向：最大方向性导数所在的方向

由方向性导数的定义可知：沿等值面法线 的方向性导数最大。 定义标量场▽φ(x, y, z)在点P(x, y, z)处的梯度(gradient)为 在直角坐标系中梯度的计算公式

例1 .6 在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为 解： 已知：

§1 .5 曲 面 坐 标 系 一、圆柱坐标系 三者总保持正交关系, 并遵循右手螺旋法则: 矢量A在柱坐标系中可用三个分量表示为 §1 .5 曲 面 坐 标 系 一、圆柱坐标系 三者总保持正交关系, 并遵循右手螺旋法则: 矢量A在柱坐标系中可用三个分量表示为 对任意的增量dρ , dφ , dz, P点位置沿 , , 方向的长度增量(长度元)分别为

与三个单位矢量相垂直的三个面积元和体积元分别是

二、球面坐标系 矢量A在球坐标系中可表示为 对任意的增量dr , dθ , dψ, P点位置沿 , , 方向的长度增量(长度元)分别为

球坐标中三个面积元和体积元分别为 三、三种坐标的变换及场论表示式

例 1 .7 在一对相距为l的点电荷+q和-q(电偶极子)的静电场中, 距离r>>l处的电位为 求其电场强度E(r, θ, φ)。 解

§1 .6 亥姆霍兹定理 一 、散度和旋度的比较 (1)矢量场的散度是一个标量函数, 而矢量场的旋度是一个矢量函数。 §1 .6 亥姆霍兹定理 一 、散度和旋度的比较 (1)矢量场的散度是一个标量函数, 而矢量场的旋度是一个矢量函数。 (2)散度表示场中某点的通量密度, 它是场中任一点通量源强度的量度; 旋度表示场中某点的最大环量强度, 它是场中任一点处旋涡源强度的量度。 (3)散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定；旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定

二、亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理的简化表述如下: 若矢量场F在无限空间中处处单值, 且其导数连续有界, 而源分布在有限区域中, 则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。 并且, 它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, 即 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。 矢量A的通量源密度 矢量A的旋度源密度 场域边界条件 电荷密度 电流密度J 场域边界条件 已知 （矢量A唯一地确定） 在电磁场中 亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。