第一章 控制系统的状态空间表达式 1.1 状态空间描述的概念 1.2 状态空间表达式的建立 1.3 状态向量的线性变换 1.4 从状态空间表达式求传递函数阵 本章小结 2019/1/13

1.1 状态空间描述的概念 一、基本定义 先看一个RLC电力的例子 图中， u-输入变量 列写微分方程： 消去中间变量： 传函表示形式： C 图1-1 2019/1/13

一阶微分方程表示形式： 向量矩阵表示形式： 在向量矩阵表示形式中，如果令 ， 则其变为 2019/1/13

2、状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态向量。如x1(t)、x2(t)……xn(t)是系统一组状态变量。则状态向量为： 再令 则可写为： 1、状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t>=to时输入的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间的行为就完全确定了。 2、状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态向量。如x1(t)、x2(t)……xn(t)是系统一组状态变量。则状态向量为： 2019/1/13

4、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。状态方程反映了输入与状态变量间的关系。 3、状态空间：以状态变量x1,x2,…xn为坐标轴,组成的n维空间称为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变量的唯一的，特定的一组值。状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹。 4、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。状态方程反映了输入与状态变量间的关系。 5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系。例如，前例中，若取 为输出，则有 写出矩阵形式： 2019/1/13

二、状态空间表达式： 若指定i为输出，则 若指定 均为输出，则 系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式，或称状态空间描述。 若指定 均为输出，则 二、状态空间表达式： 系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式，或称状态空间描述。 对于前例，其状态空间描述为： 2019/1/13

一般，多输入多输出系统的状态空间表达式为： 其中： N维向量 系统矩阵 n×n方阵 输入矩阵 控制矩阵 n×r维 r维输入向量 2019/1/13

m维输出向量 输出矩阵 m×r维 直接传递矩阵 m×r维 2019/1/13

三、状态空间描述的方框图 四、状态空间表达式的模拟结构图 单线表示一维信号，双线表示多维信号。既反映了输入对系统内部状态的因果关系，由反映了内部状态对外部输出的影响。 四、状态空间表达式的模拟结构图 模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。 U A D C x Y + B 2019/1/13

原则：系统的阶数等于积分器的个数，取每个积分器的输出为状态变量。 a，由微分方程绘模拟结构图 例： 移项： b u － 2019/1/13

b，由方框图绘模拟结构图 例： － 2019/1/13

c，由状态空间表达式绘模拟结构图 例： d、多输入多输出系统的模拟结构图 － －2 －3 －6 u 2019/1/13

五、状态空间表达式的说明 1、状态变量组的最小性体现在：状态变量x1(t), x2(t), … , xn(t)是为完全表征系统行为所必需的系统变量的最小个数，减少变量数将破坏表征的完全性，而增加变量数将是完全表征系统行为不需要的。 2、状态变量组在数学上的特性体现在： x1(t), x2(t), … , xn(t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变量组。 3、状态空间描述考虑了“输入－状态－输出”这一过程，揭示了问题的本质 4、输入引起状态变化是一个运动过程，表现为向量微分方程；状态决定输出是一个变换过程，表现为代数方程。 2019/1/13

5、系统状态变量的个数等于系统中独立贮能元件的个数。 6、对于给点系统，状态变量的选择不是唯一的。 7、系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，适合于计算机计算。 8、对结构和参数已知的系统，可依据物理机理列写状态方程。 9、一般来说,状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量.单从便于控制系统的结构来说,把状态变量选为可测量或可观察更为合适。 2019/1/13

1.2 状态空间表达式的建立 一、根据模拟结构图列写状态空间表达式 （一）一阶系统的状态空间描述 【例1】 一阶系统的运动方程不含输入函数的导数项. 一阶系统方块图： 系统模拟结构图： U(s) Y(s) S-1 + u y + _ 2019/1/13

方法：将每个积分器的输出取为状态变量，然后按 图中信号流程列写状态方程和输出方程 由模拟结构图写出状态方程: 输出方程: 【例2】设一阶系统的运动方程包含输入函数的导数项. 一阶系统运动方程方块图: 2019/1/13

模拟结构图: 根据模拟结构图,写出状态方程,输出方程 2019/1/13

【例4】方程中含有输入函数的一阶导数. 模拟变量图： + 状态方程与输出方程： 2019/1/13

（三） n阶线性系统的状态空间描述. n阶线性系统传递函数为: 2019/1/13

输出函数的拉氏变换为： 令: 或 可得: 2019/1/13

模拟结构图 2019/1/13

由模拟结构图写出n阶线性系统状态方程与输出方程： 2019/1/13

试绘制系统的模拟结构图.并根据模拟结构图写出系统的状态空间描述. 输出方程： 即： 【例5】设线性系统的传递函数为: 试绘制系统的模拟结构图.并根据模拟结构图写出系统的状态空间描述. 解: 2019/1/13

令: 模拟结构图： 1 2 3 -7 -12 2019/1/13

状态空间描述： 2019/1/13

二、据系统方框图导出系统状态空间描述 【例6】已知系统方块图, 试导出系统状态空间描述. 解: 1)把各环节传递函数化为最简形式 组合. 解: 1)把各环节传递函数化为最简形式 组合. 原方块图化为: 2019/1/13

2)把具有简单函数相乘的环节化为单元方块的串联 3）把具有最简单传递函数（ ）的环节输出选取为状态变量。 化简为： 2019/1/13

拉氏反变换： 状态方程： 输出方程: 2019/1/13

三、系统的一般时域描述化为状态空间描述 在经典控制理论中,控制系统的时域模型为 线性定常系统的状态空间表达式为 要解决的问题:选取适当的状态变量,并由 定出相应的系数矩阵A、B、C、D. 2019/1/13

（2）将高阶微分方程化为状态变量 的一阶微分方程组 1、方程中不包含输入函数的导数项 微分方程： （1）选择状态变量 选择 为系统的一组状态变量. 令: （2）将高阶微分方程化为状态变量 的一阶微分方程组 2019/1/13

（3）化为向量形式 状态方程为: 输出方程为: 2019/1/13

【例7】 设系统输入-输出微分方程为: 若 可导出状态方程和输出方程 2019/1/13

算法一、状态变量选择原则：使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。 （1）选择状态变量 令: 2、方程中包含输入函数的导数项 微分方程： 算法一、状态变量选择原则：使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。 （1）选择状态变量 令: 2019/1/13

（2）导出状态变量的一阶微分方程组和输出关系式. 式中系数 待定. 经过推导得： （2）导出状态变量的一阶微分方程组和输出关系式. 对(1)式求导: 2019/1/13

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（3）化为向量形式 状态方程: 输出方程: 2019/1/13

【例8】系统输出-输入微分方程为: 系数: 按(2)式求得 状态变量为 2019/1/13

状态空间描述: 输出方程: 2019/1/13

算法二、引入微分算p=d/dt，（1）式的输入—输出描述又可表示为如下形式： 当m=n时，上式有理分式是真的，而当m<n时这个有理分式是严格真的。下面加以分别讨论。 （a）当m<n时：将（4）式进一步改写为： 或将其表示为如下形式 2019/1/13

选取状态变量组： 由此就可得到： 2019/1/13

由 表示状态向量，即可导出对应于输入—输 出描述（1）的状态空间描述为： 2019/1/13

利用（9）即可定出相应的一个状态空间描述为： 【例9】给定系统的输入—输出描述为： 利用（9）即可定出相应的一个状态空间描述为： 2019/1/13

（2）当m=n时，先将（4）中的有理分式进行严格真化，可导出： 由此可进而表为： 选取状态变量组： 2019/1/13

对应于输入—输出描述（1）的状态空间描述为： 此为能控标准型！ 2019/1/13

利用（12）即可定出相应的一个状态空间描述为： 【例10】给定系统的输入—输出描述为： 利用（12）即可定出相应的一个状态空间描述为： 2019/1/13

四、系统的频域描述化为状态空间描述 控制系统的频域描述（传递函数） 化为状态空间描述.方法采用部分分式法（并联分解）. 1、控制系统传递函数的极点为两两相异. 若传函极点为两两相异。则部分分式的形式为: 式中 为系统中两两相异极点. 2019/1/13

为待定系数. 可按下式计算 （1）选择状态变量 令 为状态变量的拉氏变换式, 则： 2019/1/13

（2）化为状态变量的一阶方程组 2019/1/13

及 对上式进行拉氏反变换, 得： 2019/1/13

3.向量形式 即状态方程 称其为对角线规范形！ 2019/1/13

【例11】 设 ,试求其状态空间描述. 解: 其极点为 ,而待定常数为 2019/1/13

相应的状态空间描述为 2019/1/13

2、控制系统传递函数的极点为重根 （a）传递函数的极点为一个重根 形式: s1为n重极点， 为待定常数。按下式计算： 1）选择状态变量 2019/1/13

2）化为状态变量的一阶方程组： 及： 对上式进行拉氏反变换： 2019/1/13

3）向量形式： 约当规范形! 2019/1/13

【例12】 设 ,三重极点为s=2,待定常数 状态空间描述为 2019/1/13

(b)传递函数的极点为k个重根 设 为 重根, 为 重根, , 为 重根,且 状态空间描述为： 2019/1/13

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及： 令： 2019/1/13

则： 称为Jordan(约当)规范形 2019/1/13

3、控制系统传递函数同时具有单极点和重极点, 令 为单极点, 为 重极点, , 为 重极点, 且 令 为单极点, 为 重极点, , 为 重极点, 且 状态方程： 2019/1/13

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输出方程： 2019/1/13

五、根据物理机理建立状态空间表达式 方法：根据系统含有储能元件的个数确定最小变量组，根据系统物理机理列写微分方程，最后写出矩阵形式。 【例13】R-C-L 网络如图所示。e(t)-输入变量， -输出变量。试求其状态空间描述。 解：1)确定状态变量 选 和 构成最小变量组,组成状态向量 x=[ ] R1 L uR2 R2 c ic il 2019/1/13

2)列写网络方程: 消去不是所确定的状态变量,即将 代入 由（3）式得 2019/1/13

由（4）式得 （5）式代入（6）式 ： 3)状态空间描述 状态方程： 2019/1/13

令： 令状态向量： 输出方程: 输入向量: 输出向量: 2019/1/13

因此状态空间描述的数学模型可表示为状态方程和输出方程. 即为 2019/1/13

1.3 状态向量的线性变换 一、系统状态空间表达式底非唯一性 设给定系统为： 我们总可以找到任意一个非奇异矩阵T，将原状态向量X作线性变换，得到另一状态向量z，设变换关系为： 代入状态方程和输出方程，得到新的状态空间表达式： 由于T为任意非奇异矩阵，所以系统的状态空间表达式是不唯一的。 2019/1/13

【例14】某系统状态空间表达式为 1）若取变换矩阵 则变换后的状态向量为： 新的状态向量 是 原状态向量 的线性组合 2019/1/13

变换后 即变换后的状态空间表达式为 2019/1/13

2）若取变换矩阵 则变换后的状态向量为： 变换后的状态空间表达式为： 2019/1/13

二、系统特征值的不变性及系统的不变量 1、特征值定义: 设线性定常系统状态方程为: 式中.A为 常阵 , B为 常阵。 的根。 2、特征值性质： 1）一个n维系统的 方阵A，有且仅有 n 个特征值。 2）物理上存在的系统，方阵A为实常阵，其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。 2019/1/13

3)对系统作线性变换，其特征值不变。 证明：作 线性非奇异变换，则有 若要证其特征值不变，则必证 又 2019/1/13

4）设 为A的一个特征值，若存在某个n维非零向量，使 5）设 为系数矩阵A的特征值, 是A的分别属于特征值的特征向量。当 两两相异时， 线性无关，因此由这些特征向量组成的矩阵P必是非奇异的。 ，则称 为A的属于 的特征向量. 2019/1/13

6)若系统矩阵A具有如下形式： 则其特征多项式为 特征方程 的根就是系统的极点，即系统的特征值。 2019/1/13

【例15】求 的特征向量。 解：先求特征值，由 1）对应于 的特征向量 设 2019/1/13

按照特征向量的定义，有 则 乘开后得到： 解之得： 令 2019/1/13

三、将状态方程化为对角线规范型 用同样得方法可以分别算出对应于 的特征向量 对应于 的特征向量 1、系数矩阵A具有任意形式 用同样得方法可以分别算出对应于 的特征向量 对应于 的特征向量 三、将状态方程化为对角线规范型 1、系数矩阵A具有任意形式 定理：对于线性定常系统，如果其特征值 是两两相异的，则必存在非奇异矩阵P，通过变换 ，状态方程被化为对角线规范形式，即: 式中： 而变换阵P为 为A的n个特征向量 2019/1/13

证明：由特征值性质 5）知： 又由性质4）知： 上式两端左乘 得： 2019/1/13

由性质3）知，线性定常系统 经 变换后为 其中： 证毕！ 【例16】线性定常系统 ,其中 将状态方程化为规范形式. 解:1)求其特征值: 由性质3）知，线性定常系统 经 变换后为 其中： 证毕！ 【例16】线性定常系统 ,其中 将状态方程化为规范形式. 解:1)求其特征值: 2019/1/13

2)确定非奇异矩阵P 对 取: 对 同理得: 取: 2019/1/13

3）求 对角线规范形式为： 2019/1/13

定理：对线性定常系统，如果其特征值 是两两相异的，且系数矩阵A具有如上形式，则将系统状态方程化为对角线规范型的非奇异矩阵P，为以下形式： 范德蒙德（Vandermonde）矩阵 2019/1/13

即： 式中： 【例17】线性定常系统 ，其中 将状态方程化为规范形式. 解：1）确定系统特征值. 2019/1/13

2）组成变换阵 3）求 2019/1/13

四、将状态方程化为Jordan规范型： 系统状态方程对角线规范形式为： 1、A阵具有任意形式 设A的特种根有q个 的重根，其余（n－q）个为互异根，则通过变换，可以将A阵化为Jordan标准型： 系统状态方程对角线规范形式为： 2019/1/13

其中， 是对应于（n－q）个单根的特征向量； 是对应于q个 重根的特征向量，由下式计算： 变换阵组成如下： 其中， 是对应于（n－q）个单根的特征向量； 是对应于q个 重根的特征向量，由下式计算： q 维 n－q 维 2019/1/13

这里 是 对应的特征向量，其余 称为广义特征向量。 一般地，设A的特种根为： ，则变换后系统矩阵为： 这里 是 对应的特征向量，其余 称为广义特征向量。 一般地，设A的特种根为： ，则变换后系统矩阵为： 其中 2019/1/13

即： 2019/1/13

若A的特征根既有重根又有单根，那么重根对应约旦块 ，单根对应对角块 【例18】 2）对应于单根 的特征向量： 2019/1/13

3）对应于重根 的特征向量 4）组成变换阵 2019/1/13

且其特征值 是m重根， 是两两相异的，则将系统状态方程化为Jordan规范形的非奇异矩阵T的形式为 5）求出变换后的矩阵 2、A阵为标准形式时 且其特征值 是m重根， 是两两相异的，则将系统状态方程化为Jordan规范形的非奇异矩阵T的形式为 2019/1/13

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【例19】线性定常系统 ,其中 将状态方程化为约当规范形. 解:1)确定系统特征值. 2019/1/13

2)确定T阵 3）求系数矩阵 与 2019/1/13

约当规范形为： 2019/1/13

五、A阵有共轭复根的情况 1、有一堆共轭复根时，如 则 变换后 2019/1/13

2、若有2对共轭复根， 为互异根。 则 其中： 2019/1/13

1.4 从状态空间表达式求传递函数阵 一、传递函数（阵） 从传递函数求状态空间表达式，称为系统的实现问题。本节介绍从状态空间表达式求传递函数（阵）的问题。 一、传递函数（阵） 1、SISO系统 对上式进行零初始条件下的拉氏变换： 由（1）式得： 把（3）式代入（2）式得： 2019/1/13

矩阵的元素 表示第j个输入对第i个输出的传递关系。 当 时，不同标号的输入与输出有相互关联，称为耦合，这正是MIMO系统的特点。 则 矩阵的元素 表示第j个输入对第i个输出的传递关系。 当 时，不同标号的输入与输出有相互关联，称为耦合，这正是MIMO系统的特点。 2019/1/13

2019/1/13

【例20】已知系统如下，求传递函数阵。 解： 2019/1/13

同一系统，尽管系统的状态空间表达式是非唯一的，但是它的传递函数是唯一的。 对系统： 作变换： 3、系统传递函数的不变性 同一系统，尽管系统的状态空间表达式是非唯一的，但是它的传递函数是唯一的。 对系统： 作变换： 变换后传递函数： 利用公式： 2019/1/13

二、子系统在各种联结时的传递函数阵 1、并联联结 两个子系统： 并联联结指：两系统输入相同，输出为各子系统之和。其结构图如下： 2019/1/13

组合系统的状态空间表达式： 而系统的传递函数为： 或由结构图： 2019/1/13

前一子系统的输出作为后一子系统的输入。其结构图如下： 2、串联联结 前一子系统的输出作为后一子系统的输入。其结构图如下： 串联后传递函数： 2019/1/13

串联组合后系统的状态空间表达式： 2019/1/13

3、反馈联结 反馈联结结构图如下图所示： 组合系统状态空间表达式： 2019/1/13

写成矩阵形式： 组合系统传递函数： （1） 2019/1/13

（2） 2019/1/13

本章小结 1.动力学系统数学描述的基本形式 外部描述 内部描述 2. 状态变量、状态向量、状态空间的含义。 3.状态空间描述的一般形式 线性定常系统： 4.系统状态空间描述的特点。 2019/1/13

c 控制系统传递函数同时具有单极点和重极点 5. 状态空间描述建立的方法 1）根据模拟结构图列写状态空间表达式 2）根据方框图列写状态空间表达式 3）系统的一般时域描述化为状态空间描述 a 方程中不包含输入函数的导数项 b 方程中包含输入函数的导数项 4）系统的频域描述化为状态空间描述 a 控制系统传递函数的极点为两两相异 b 控制系统传递函数的极点为重根 c 控制系统传递函数同时具有单极点和重极点 5) 据物理机理列写系统的状态空间描述 2019/1/13

将状态方程化为规范形式 1) 系统的特征值及其不变性 2) 变换方法 将状态方程化为对角线规范型 a 系数矩阵A具有任意形式 1) 系统的特征值及其不变性 2) 变换方法 将状态方程化为对角线规范型 a 系数矩阵A具有任意形式 b 系数矩阵A具有特定形式 将状态方程化为Jordan规范型 a 系数矩阵A具有任意形式 b 系数矩阵A具有特定形式 7. 根据状态空间描述求传递函数阵 本章作业：9-1, 9-5, 9-8, 9-11, 9-24, 9-25, 9-27 2019/1/13