工程流体力学 第八章 粘性流体绕物体的流动

第八章 粘性流体绕物体的流动 实际流动都是有粘流 动，目前对粘性流动 研究方法主要有： 1、基于N-S方程的紊 流模拟 2、流体实验

流动分类 根据工程的实际情况，流动可分为： 内流和外流。 内流 ：如右上图。 外流： 如右下图。

本章的主要内容 本章主要讨论绕流问题，即外流问题。首先将介绍粘性流体的运动微分方程，然后将给出边界层的概念及其控制方程，最后针对绕流流动现象的一些具体问题进行了讨论。 ◆空间流动三维问题，N—S方程及其求解 ◆扰流阻力及其计算 ◆附面层的问题

第一节 不可压缩粘性流体的运动微分方程 以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为如下的矢量形式： 这里 ： 是流体微团的加速度，微分符号： 称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性质 时间的变化率。 (8-1) (8-2) (8-3)

一、微元体的受力分析和运动微分方程的推导 如图所示，控制体的各边长分别 为dx,dy,dz，微元体的体积为： （ 8－4） 作用在微元体上的质量力为 ，其可用 三个分量 表示为： （8－5） 这里： （8－6） 如果的三个分量是 ，则： （8－7）

将微元体六个面上的应力分别投影到三个坐标方向上如图 ★作用在微元体上的表面力 将微元体六个面上的应力分别投影到三个坐标方向上如图

把作用于控制体上x方向的力叠加起来，得到作用在微元体上的表面力在x方向的分量为：

◇作用于微元体个面上的Y、Z轴方向的应力

★作用在微元体上的表面力 如果用 , 和 表示单位体积的表面力，则： （ 8－8）

★作用在微元体上的表面力 将上式和式（8－7）代入式（8－1）则得： （8－9） 这就是微分形式的运动方程。

二、本构方程 本构方程是确立应力和应变率之间关系的方程式。斯托克斯通过将牛顿内摩擦定律推广到了粘性流体的任意流动中，建立了牛顿流体的本构方程： （8－10） 上式也称为广义牛顿定律

三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程） 将式（8－10）代入式（8－9）可得： （ 8－11） 上式称纳维－斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流体运动微分方程的又一种形式。

三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程） 对于不可压流体，其连续方程为： 对于不可压缩粘性流体，粘性体膨胀应力为零，其运动方程为： （8－12）

三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程） ●并考虑到拉普拉斯算子： 不可压缩粘性流体的运动方程还可写为： （8－13）

三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程） 如果质量力只有重力作用，用 代表重力加速度，不可压缩粘性流体的运动方程的矢量形式为： (8-14) 右端第一项表示单位质量的质量力；第二项代表作用于单位质量流体的压强梯度力；第三项代表黏性变形应力。

三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程） 对理想流动，认为流体无粘性， ，这时运动方程简化为欧拉方程： （8－15） 或矢量形式 （8－16）

三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程） ●当流体静止不动时， ，则运动方程简化为： （8－17）

第二节 蠕动流动 蠕动流动：雷诺数很低的流动。 特点：流动的尺度和流动的速度均很小 如：热电厂锅炉炉膛气流中绕煤粉颗粒、 第二节 蠕动流动 蠕动流动：雷诺数很低的流动。 特点：流动的尺度和流动的速度均很小 如：热电厂锅炉炉膛气流中绕煤粉颗粒、 油滴等的流动；滑动轴承间隙中的流 动等等。

一、蠕动流动的微分方程 对于定常流动，忽略惯性力和质量力，在直角坐标系下，可把纳维尔――斯托克斯方程（8－14）组简化成 ： （8－18）

一、蠕动流动的微分方程 （8－19） 将式（8－18）依次求 、 、 ，然后相加，并结合连续性方程，即得： ●如果流动是不可压缩流体，则连续性方程为： （8－19） 将式（8－18）依次求 、 、 ，然后相加，并结合连续性方程，即得： 即蠕动流动的压力场满足拉普拉斯方程。 (8- 20)

二、绕球的蠕动流动 对如图所示的 无穷远来流以速度 均匀平行流沿 轴 绕半径为 的静止圆 球流动，得速度与压 强分布为： （8－21）

二、绕球的蠕动流动 式中 为无穷远处来流的压力。 圆球以很小的速度在静止流体中作等速运 动时，在流场中通过x轴的平面上的流谱如图所示。

二、绕球的蠕动流动 在圆球的前后两驻点A和B处的压强是压强的最高点和最低点，分别为：在前驻点A（ ＝180° ） （8－22） （8－23） 而切应力的最大值，发生在C（ ＝90°）为： （8－24） 等于A、B点处的压强与无穷远处的压强之差的绝对值。

二、绕球的蠕动流动 球面上的压强和剪切应力也可根据速度分布公式算出，为： （8-25） 对上述两式积分，可分别得到作用在球面上的压强和切应力的合力。将这两个合力在流动方向的分量相加，可得到流体作用在圆球上的阻力为： （8-26） 这就是圆球的斯托克斯阻力公式。式中d=2 为圆球的直径。

第三节 边界层的概念 边界层：物体壁面附近存在大的速度梯度的薄层。 我们可以用如图所示的绕平板的流动情况说明边界层的概念。

粘性流体绕流物体时，由于粘性的作用，在物体的表面附近，存在一速度急剧变化的薄层——边界层。 ★边界层的定义 粘性流体绕流物体时，由于粘性的作用，在物体的表面附近，存在一速度急剧变化的薄层——边界层。 例如：来流 的流体绕流平板时，在平板表面形成边界层。

★边界层的定义 在平板的前部边界层呈层流状态，随着流程的增加，边界层的厚度也在增加，层流变为不稳定状态，流体的质点运动变得不规则，最终发展为紊流，这一变化发生在一段很短的长度范围，称之为转捩区，转类区的开始点称为转捩点。转类区下游边界层内的流动为紊流状态。 在转捩区和紊流区的壁面附近，由于流体的质点的随机脉动受到平板壁面的限制，因此在靠近壁面的更薄的区域内，流动仍保持为层流状态，称为层流底层和粘性底层。

边界层内速度梯度很大，旋涡强度大，有旋流动惯性力和粘性具有相同的数量级，同时考虑。 边界层外部速度梯度很小，可以作为理想流体的势流处理。 ◆边界层的特点 边界层内速度梯度很大，旋涡强度大，有旋流动惯性力和粘性具有相同的数量级，同时考虑。 边界层外部速度梯度很小，可以作为理想流体的势流处理。 边界层厚度随 的增大而增大，随 的增大而减小。 由于边界层很薄，因而可以近似认为，边界层任一截面上各点压强相等。

按流动状态，可分为层流边界层和紊流边界层。 平板上的临界雷诺数 = ~ ◆边界层的分类 按流动状态，可分为层流边界层和紊流边界层。 ●判别准则——雷诺准则： 平板上的临界雷诺数 = ~ ●边界层的构成： 1.层流边界层，当 较小时，边界层内全为层流，称为层流边界层。 2.混合边界层：除前部起始部分有一小片层流区，其余大部分为紊流区，称为混合边界层。

边界层的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法线上速度达到势流区速度的99％处的距离作为边界层的厚度，以δ表示，这一厚度也称边界层的名义厚度。 ◆边界层的厚度 两个流动区域之间并没有明显的分界线。 边界层的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法线上速度达到势流区速度的99％处的距离作为边界层的厚度，以δ表示，这一厚度也称边界层的名义厚度。 边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关系，即取决于雷诺数的大小。雷诺数越大，边界层就越薄；反之，随着粘性作用的增长，边界层就变厚。沿着流动方向由绕流物体的前缘点开始，边界层逐渐变厚。

第四节 平面层流边界层的微分方程 在这一节里，将利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、速度与温度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为一小量等对N-S方程进行简化从而导出层流边界层微分方程。在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量力，则流动的控制方程N-S方程为： （8-27）

第四节 平面层流边界层的微分方程 将上述方程组无量纲化。 为此考虑如图所示的一半 无穷绕流平板，假定无穷 远来流 的速度 ，流动绕 远来流 的速度 ，流动绕 过平板时在平板附近形成 边界层，其厚度为 ，平板 前缘至某点的距离为 。取 和 为特征量，可定义如下 的无量纲量： / / / / /（ ）

第四节 平面层流边界层的微分方程 代入方程组（8－27），整理后得： （8-28） 式中雷诺数

第四节 平面层流边界层的微分方程 与 相比较是很小的 ，即 << 或 / 与 相比较是很小的 ，即 << 或 / << 1，同时注意到， 与 、 与 、 与 具有同一数量级，于是 、 、 和 的量级均为1，并可以得到： ～1 ～1 ～ 1 ～ 为了估计其他各量的数量级，由连续性方程可得： ＝ ～1

第四节 平面层流边界层的微分方程 因此 ~ ，于是又得到： ~ ~ ~ 1 ~ 因此 ~ ，于是又得到： ~ ~ ~ 1 ~ 通过分析方程组（8－28）各项的数量级，方程组（8－28）中第二式中各惯性项可以忽略掉 ，同时可以略 去 、 、 。于是在方程组（8－28）的粘性 项中只剩第一式中的一项 。

第四节 平面层流边界层的微分方程 如果仅保留数量级为1的项，而将数量级比1小的各项全部略去，再恢复到有量纲的形式，便可以得到层流边界层的微分方程组为： （8-29） 沿边界层上缘由伯努利可知： 常数 上式对 求导，得：

第四节 平面层流边界层的微分方程 这样，层流边界层的微分方程又可写为： （8-30） 方程组（8－30） 即为在物体壁面为平面的假设下得到的边界层微分方程 。

第五节 边界层的动量积分关系式 边界层的动量积分方程是对边界层内流动的再简化。 下面的推导采用第二种方法。 其推导过程有两种方法：一种是沿边界层厚度方向积分边界层的方程组，一种是在边界层内直 接应用动量守恒原理。 下面的推导采用第二种方法。

如图所示为不可压缩流体的定常二维边界层流动 ，设物体表面型线的曲率很小。 ◆边界层动量积分方程的推导 如图所示为不可压缩流体的定常二维边界层流动 ，设物体表面型线的曲率很小。 取一个单位厚度的微小控制体，它的投影面ABDC 。 用动量定理来建立该控制体内的流体在单位时间内沿x方向的动量变化和外力之间的关系。

根据边界层的控制方程组，边界层内的压强仅近似地依赖于 而与 无关，设AB面上的压强为 ，DC上的压强为 ◆边界层动量积分方程的推导 设壁面上的摩擦应力为 根据边界层的控制方程组，边界层内的压强仅近似地依赖于 而与 无关，设AB面上的压强为 ，DC上的压强为 控制面AC为边界层的外边界 其外部为理想流体的势流 ，只有与之垂直的压力 ，设AC上的压强为A，C两点压强的平均值 。作用在控制体上的表面力沿方向的合力为：

式中为边界层外边界AC与方向的夹角，由几何关系可知： ，上式经整理并略去高阶小量，得： ◆边界层动量积分方程的推导 式中为边界层外边界AC与方向的夹角，由几何关系可知： ，上式经整理并略去高阶小量，得： 单位时间内沿方向经过AB流入控制体的质量和动量分别为： 经过CD面流出的质量和动量分别为： 定常流动条件下，可知从控制面AC流入控制体中的流量为： 由此引起流入的动量为：

式中V为边界层外边界上的速度。这样，可得单位时间内该控制体内沿x方向的动量 变化为 ◆边界层动量积分方程的推导 式中V为边界层外边界上的速度。这样，可得单位时间内该控制体内沿x方向的动量 变化为 根据动量定理， ，则可得边界层的动量积分方程为： （8-51） 上式也称为卡门动量积分关系式。该式是针对边界层流动在二维定常流动条件下导出的，并没有涉及边界层的流态，所以其对层流和紊流边界层都能适用。

实际上可以把 、 和 看作已知数，而未知数只有 、 和 三个。 再补充两个关系式： 一、沿边界层厚度的速度分布 = (y) ◆积分方程的求解 实际上可以把 、 和 看作已知数，而未知数只有 、 和 三个。 再补充两个关系式： 一、沿边界层厚度的速度分布 = (y) 二、切向应力与边界层厚度的关系式 一般在应用边界层的动量积分关系式（8－51）来求解边界层问题时，边界层内的速度分布是按照已有的经验来假定的。假定的 愈接近实际，则所得到的结果愈正确。所以选择边界层内的速度分布函数 是求解边界层问题的重要关键。

第六节边界层的位移厚度和动量损失厚度 边界层的厚度 ，表示粘性影响的范围。 位移厚度 动量损失厚度 根据伯努力方程可知： 又由于： 边界层的厚度 ，表示粘性影响的范围。 位移厚度 动量损失厚度 根据伯努力方程可知： 又由于： 带入（8-51）得 或 （8-52）

因此在边界层内由于粘性影响使体积流量的减小量 ，即上式中第一项积分。 位移厚度或排挤厚度 可表示成： ◆边界层厚度计算式的推导 因此在边界层内由于粘性影响使体积流量的减小量 ，即上式中第一项积分。 位移厚度或排挤厚度 可表示成： （8-53） 同理动量损失厚度 可表示为： （8-54） 将 和 代入式（8－51）, 得 （8-55）

式（8-55）是另一种形式的平面不可压缩粘性流体边界层动量积分关系式 。 、 和 都是未知数，它们决定于边界层内速度的分布规律。 ◆边界层厚度计算式的推导 式（8-55）是另一种形式的平面不可压缩粘性流体边界层动量积分关系式 。 、 和 都是未知数，它们决定于边界层内速度的分布规律。 将式（8－55）化为无因次形式，统除以 ，得 （8－56） 或 式中H＝ 。计算曲面边界层时，用上式较为方便。

第七节 平板边界层流动的近似计算 平板层流边界层的近似计算 平板紊流边界层的近似计算 则上式可变为： 对于式（8－51），如果边界层外部的压强梯度为零，方程变为： (8-57） 假定平板非常薄，对流动没有影响。边界层外层流动： 则上式可变为： (8-58） 两个补充关系式:一、冯卡门假定，二、牛顿内摩擦定律。 平板紊流边界层的近似计算 采用将边界层内的速度分布与圆管内充分发展紊流的速度分布规 律进行类比的方法。

(2)在边界层外边界上的速度等于来流速度 ,即在 处 ， ◆平板层流边界层的近似计算 选择一三次项式速度分布： (8-59) 根据下列边界条件来确定待定系数 和 . (1)在平板壁面上的速度为零，即在 处 (2)在边界层外边界上的速度等于来流速度 ,即在 处 ， (3)在边界层外边界上，摩擦切应力 为零，即在 处 ， (4)由于在平板壁面上的速度为零，即 ，由方程组（8－50）的第一式得

第二个补充关系式：利用牛顿内摩擦定律和式（8－60）得出 (8-61) 式中为动力粘性系数。将速度分布方程（8－60）带入方程 ◆平板层流边界层的近似计算 速度分布的四个系数可确定为： 于是，层流边界层中速度的分布规律为 (8-60) 第二个补充关系式：利用牛顿内摩擦定律和式（8－60）得出 (8-61) 式中为动力粘性系数。将速度分布方程（8－60）带入方程 （8－61）并积分得： 分离变量，并积分得： (8-62)

式中为 运动粘性系数，为基于长度的雷诺数 。合并方程（8－ 62）和(8－61)得到： (8-63) 如果表面摩擦系数 为： (8-64) ◆平板层流边界层的近似计算 式中为 运动粘性系数，为基于长度的雷诺数 。合并方程（8－ 62）和(8－61)得到： (8-63) 如果表面摩擦系数 为： (8-64) 那么 ，为： (8-65) 根据动量损失厚度的定义式（8－54），并考虑式（8－62），可得 动量损失厚度为： (8-66) 同理，位移厚度为: (8-67) 上述计算结果是依赖于所假设的速度分布规律的，不同阶次的速度 分布，可以得出不同的结果。表8.1 给出几种不同的情况。

表8.1不同阶次的速度分布所得结果比较 0．730 5．48 1．826 0．365 4．64 1．740 0．646 0．323 5．84 1．751 0．685 0．343 3 2 1 ÷ ø ö ç è æ - d y

二、平板紊流边界层的近似计算 如前所述由于流动的混参以及速度和压力的波动，紊流边界层的速度分布都采用一些模型假定。普朗特建议，当边界层雷诺数 时，边界层内的速度分布可采用 次方规律，即： （8-68） 该式不能直接应用于边界层的内边界。通常认为粘性底层内的速度分布为线形分布。 雷诺数取 时的摩擦阻力系数为： 当时 普朗特和施利希廷 （ H. Schlichting）采用对数速度分布，得到如下的半经验公式：

层流与紊流边界层的近似计算公式汇总 平板的层流边界层和紊流边界层的重大差别有： 紊流边界层内沿平板壁面发向截面上的速度比层流边界层的速度增加得快 沿平板壁面紊流边界层的厚度比层流边界层的厚度增加得快 在其它条件相同的情况下，平板壁面上的切向应力 沿着壁面的减小在紊流边界层中要比层流边界层减小得慢。 在同一 下，紊流边界层得摩擦阻力系数比层流边界层的大得多 实际情况下，边界层是层流和紊流同时存在的混合边界层

层流与紊流边界层的近似计算公式汇总 ` 边界 层 内 的 流 态 层 流 紊 流 边界层的基本特性 速度分布规律 边界层厚度 位移厚度 动量损失厚度 切向应力 总摩擦力 摩擦阻力系数 边界 层 内 的 流 态 层 流 紊 流 f C

第八节 边界层的分离与卡门涡街

一、边界层的分离 以如图所示的圆柱绕流为例 在势流流动中流体质点从D到E是加速的，为 顺压强梯度;从E到F则是减速的, 为逆压强 梯度 动能的转变，不发生边界层分离 E到F 段动能只存在损耗，速度减小很快， 在S点处出现粘滞 ，由于压力的升高产生 回流导致边界层分离，并形成尾涡。 如图为边界层分离示意图。

一、边界层的分离 图8－14 边界层分离示意图 从以上的分析中可得如下结论：粘性流体在压力降低区内流动（加速流动），决不会出现边界层的分离，只有在压力升高区内流动（减速流动），才有可能出现分离，形成漩涡。尤其是在主流减速足够大的情况下，边界层的分离就一定会发生。

二、卡 门 涡 街 卡门对涡街进行运动分析得出了阻力、涡释放频率以及斯特罗哈 数的经验公式。 上图表示 不同雷诺数条件下绕圆柱的流动图谱 讨论圆柱绕流问题：随着雷诺数的增大边界层首先出现分离，分离 点并不断的前移，当雷诺数大到一定程度时，会形成两列几乎稳定的、 非对称性的、交替脱落的、旋转方向相反的旋涡，并随主流向下游运 动，这就是卡门涡街 ，如右图。 卡门对涡街进行运动分析得出了阻力、涡释放频率以及斯特罗哈 数的经验公式。 卡门涡街会产生共振，危害很大；也可应用于流量测量。

第九节 物体的阻力与减阻 激波阻力 物体绕流时会受到升力和阻力的作用。 物体阻力包括摩擦阻力和压差阻力。 摩擦阻力与物体表面积大小有关，压差阻力与物体的形状有关系。 物体的阻力目前都是用实验测得。 激波阻力

◆物体阻力的减小办法 减小摩擦阻力：可以使层流边界层尽可能的长，即层紊流转变点尽可能向后推移，计算合理的最小压力点的位置。在航空工业上采用一种“层流型”的翼型 ，便是将最小压力点向后移动来减阻，并要求翼型表面的光滑程度。 减小压差阻力：使用翼型使得后面的“尾涡区”尽可能小。也就是使边界层的分离点尽可能向后推移 。例如采用流线性物体就可以达到这样的目的。 工程上习惯用无因次的阻力系数 来代替阻力 (8-85）

按相似定律可知，对于不同的不可压缩流体中的几何相似的物体，如果雷诺数相同，则它们的阻力系数也相同 ◆物体阻力的大小与雷诺数的关系 按相似定律可知，对于不同的不可压缩流体中的几何相似的物体，如果雷诺数相同，则它们的阻力系数也相同 在不可压缩粘性流体中，对于与来流方向具有相同方位角的几何相似体，其阻力系数： 绕圆柱流动的阻力系数与雷诺数的关系

典型物体的阻力系数 二元物型 三元物型 半 管 半 管 方 柱 平 板 椭 柱 椭 柱 球 半 球 半 球 方 块 方 块 宽   104 ～ 105 1.2 4 ×104 2.3 3.5×104 2.0 104×106 1.98 1×105 0.46 2 ×105 0.20 三元物型 104 ～105 0.47 0.42 1.17 1.05 0.80 103 ～105 1.20 圆 柱 半 管 半 管 方 柱 平 板 椭 柱 2:1 椭 柱 8:1 球 半 球 半 球 方 块 方 块 矩 形 板(长/宽=5) 宽