第八模块 复变函数 第二节 复变函数的极限与连续性 一、复变函数的概念 二、复变函数的极限 二、复变函数的连续性
一、复变函数的概念 1.复变函数的定义 设D为给定的平面点集，若对于D中每一个复数z=x+yi ，按照某一确定的法则 f ，总有确定的一个或几个复数w=u+vi与之对应，则称f 是定义在D上的复变函数（复变数w是复变数 z的函数），简称复变函数，记作 w=f(z) 。 其中 z 称为自变量， w 称为因变量，点集D 称为函数的定义域。
一、复变函数的概念 2. 复变函数与实值函数的关系 设z=x+iy , w=u+vi与之，则 w=f(z)可写作 w=u+vi=f(x+yi)=u(x , y)+i v(x , y) 其中 u(x , y)与 v(x , y)为实值函数。比较上式的实部和虚部可得到： u=u(x , y) , v= v(x , y)。 这样，一个复变函数 w=f(z)就相当于一对二元实值函数u=u(x , y) , v= v(x , y) 。 从而 w=f(z)的性质就取决于u=u(x , y) , v= v(x , y)的性质 。
一、复变函数的概念 2.复变函数的几何意义 如果复数 z和 w分别用Z 平面和 W 平面上的点表示，则函数 w=f(z) 的几何意义是： 将Z平面上的定义域 D 变到 W 平面上的函数值域G 的一个变换或映射，它将D 内的一点z 变为 G内的一点。
一、复变函数的概念 例1 将定义在全平面上的复变函数 w=z2+1化为一对二元实变函数。 例2 将定义在全平面除去原点的一对二元实变函数。 例2 将定义在全平面除去原点的一对二元实变函数。 化为一个复变函数。
二、复变函数的极限 1. 复变函数的极限的定义 设 在点 意给定的正数ε（无论它多么小）总存在正数δ， 当复数 满足 时，对应的函数值 都有 的某去心邻域内有定义，若对任 设 在点 意给定的正数ε（无论它多么小）总存在正数δ， 当复数 满足 时，对应的函数值 都有 则称复常数 A 为函数 在当 时的极限。 或 记作
二、复变函数的极限 2. 复变函数的极限与实值函数的极限的关系 设 ， 则 且
三、复变函数的连续性 1. 复变函数连续的定义 设 在点 ，若 则称 处连续。 在 若 在区域D 内每一个点都连续，则称函数 的某邻域内有定义 设 在点 ，若 则称 处连续。 在 若 在区域D 内每一个点都连续，则称函数 在区域D内连续。
三、复变函数的连续性 2. 连续的复变函数的性质 在z0处连续的两个函数的和、差、积、 商（分母不为0）仍在处z0连续。 性质1 性质2 处连续。 当函数 在有界闭区域 上连续时， 性质3 也在 上连续，且 可以取得最大值和最小值。
三、复变函数的连续性 例3 求 例4 讨论 在闭圆域 在 内的最大值和最小值。 上的连续性，并求