全国高校数学微课程教学设计竞赛 知识点名称：110702 第二型曲面积分的概念与性质
1 回顾 第一型曲面积分
2 定向曲面的侧 双侧曲面
2 定向曲面的侧 单侧曲面 莫比乌斯带 北京凤凰国际传媒中心 湖南长沙龙王港中国结大桥
2 定向曲面的侧 指定了侧的双侧曲面叫定向曲面， 用法向量指向来确定定向曲面的侧： 上侧 z z=z(x,y) y x 方向余弦 侧的规定 > 0 为上侧 < 0 为下侧 上侧 x y z z=z(x,y)
2 定向曲面的侧 指定了侧的双侧曲面叫定向曲面， 用法向量指向来确定定向曲面的侧： z 右侧 y=y(x,z) y x 方向余弦 侧的规定 > 0 为上侧 < 0 为下侧 x y z > 0 为右侧 < 0 为左侧 右侧 y=y(x,z)
2 定向曲面的侧 指定了侧的双侧曲面叫定向曲面， 用法向量指向来确定定向曲面的侧： z 前侧 x=x(y,z) y x 方向余弦 侧的规定 > 0 为上侧 < 0 为下侧 x y z > 0 为右侧 < 0 为左侧 > 0 为前侧 < 0 为后侧 前侧 x=x(y,z) 外侧 封闭曲面 内侧
3 分析引例 引例：求某拦水坝单位时间内通过一横截断面指定一侧的河水的流量。(假定水的密度为1) 求拦水坝（发电）单位时间的流量 引例：求某拦水坝单位时间内通过一横截断面指定一侧的河水的流量。(假定水的密度为1) 流量：即稳定不可压缩流体单位时间内通过定向曲面流向指定一侧的流体的质量。(假定密度为1)
3 分析引例 求拦水坝（发电）单位时间的流量 问题 1
3 分析引例 设水流速度是变量 ,拦水坝的横截断面Σ是一定向曲面,函数 定义在Σ上且都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ 问题 2 设水流速度是变量 ,拦水坝的横截断面Σ是一定向曲面,函数 定义在Σ上且都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ 指定侧的河水的流量 。 问题2底纹换
元素法： 流量元素为 于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为
其中 流量元素为 于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为
4 第二型曲面积分的定义 设 是一片光滑的定向曲面，向量值函数 在 上有界， 是定向曲面 上点 处的单位法向量， 若积分， 同时存在，则称
4 第二型曲面积分的定义 为向量值函数 在定向曲面 上的积分或 第二型曲面积分，记为： （定向曲面元素） 的坐标
4 第二型曲面积分的定义 向量表达式 第一型曲面积分的表达式 字体统一 坐标表达式
4 第二型曲面积分的定义 设水流速度是变量 ,拦水坝的横截断面Σ是一定向曲面,函数 定义在Σ上且都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ 问题 2 ,拦水坝的横截断面Σ是一定向曲面,函数 定义在Σ上且都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ 指定侧的河水的流量 。 问题2底纹换
4 第二型曲面积分的定义 物理意义: 流速为 的流体，在单位时间内流向Σ指定侧的流量： 注：若是封闭曲面，则在上的第二型曲面积分可记为
5 第二型曲面积分的性质 1 线性性质 2 （对曲面的分片可加性） 3 设 的反侧曲面记为 ，则有： （方向性） 即第二型曲面积分与积分曲面的侧有关。
6 小结 1 第二型曲面积分的定义 2 物理意义 3 性质
7 思考 两类型曲面积分有什么区别和联系，该如何进行转化呢？ 1
谢谢大家！
第二型曲面积分的概念比较抽象，首先要讲清楚定向曲面的侧，结合图形讲解可以化抽象为具体。其次，从实际例子求拦水坝的河水流量出发，分别设计两个问题，结合“元素法”，可以由浅入深诱导出第二型曲面积分的概念，并将它与第一型曲面积分进行比较区别，这样可以使得学生能较好地理解第二型曲面积分的概念。