第二十二章 曲面积分 §1 第一型曲面积分 §2 第二型曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式
§1 第一型曲面积分 一、引例 二、第一型曲面积分的概念 三、第一型曲面积分的计算
一、引例 求下列物体的质量 (1) 直线状细棒物体的质量 • b a x o xi－1 xi 线密度(x) dM = (x)dx 定积分
(2) 曲线状细棒物体的质量 • A B L Ai–1 Ai (i ,i) si x y 线密度(x,y) ①平面上L(AB) L(AB)的参数方程为 dM = (x,y)ds 第一类曲线积分
z 线密度(x,y,z) B (i ,i ,i) si • Ai Ai–1 o A y x ②空间上(AB) dM = (x,y,z)ds 第一类曲线积分
(3). 平面内薄片D质量 面密度(x,y) • dM = (x,y)d 二重积分
y x z o (4). 空间内立体的质量 dM = (x,y,z)dv 体密度(x,y,z) 三重积分
(5). 空间内薄片 若曲面∑是光滑的, 它的面密度(x,y,z)为连续函数 求它的质量 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动. •
二、对面积的曲面积分的定义 定义1 若曲面∑是空间可求面积的曲面， 函数f(x,y,z)是定义在∑上的有界函数，对曲面∑作任意分割T, 若极限 存在， 则称此极限为函数f(x,y,z)在∑上的第一类曲面积分。 被积 函数 面积 元素 积分曲面
三、第一型曲面积分的计算 1. 对面积的曲面积分的性质 类似有 线性性质等。
2. 计算法 定理22.1 事实上 面积微元dS
类似有 定理22.2 定理22.3
例1 解 积分曲面 在xoy面上的投影为
z o y x 第一型曲面积分的计算步骤 （1）画域； （2）确定积分曲面，求其投影区域； （3）化为二重积分； （4）进行二重积分计算。 例2 y x z o 解 积分曲面
例2 解 积分曲面