超静定结构
超静定结构与静定结构 在计算方面的主要区别 静定结构的支座反力和内力只要根据静力平衡条件即可求出，而不必考虑其它条件，即：内力是静定的。 超静定结构的支座反力和内力则不能单由静力平衡条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即：内力是超静定的。
求解超静定结构的计算方法 从方法上讲基本有两种：力法和位移法。 从历史上讲分传统方法和现代方法。 1、传统方法： 精确法： (1)力法(Force method)：取某些力作基本未知量。 (2)位移法(Displacement method)：取某些位移作 基本未知量。 (3)混合法(Mixture method): 既有力的未知量,也有位移未知量。
渐近法 : （1）建立力学方程组，数学上渐近； （2）从结构的力学模型入手逐步逼近。 2、现代方法： 矩阵法 ： （1）矩阵力法； （2）矩阵位移法; （3）矩阵混合法 。
第 十 章 力 法 Force method
§10-1 超静定结构的组成和超静定次数 一、超静定结构 1、几何组成 具有多余约束的几何不变体系。 静定结构是没有多余约束的几何不变体系。 FP1 FP2 一、超静定结构 1、几何组成 具有多余约束的几何不变体系。 静定结构是没有多余约束的几何不变体系。 FP2 FP1 FRB FRC FRD
超静定结构的反力和内力不能完全地由静力平衡条件唯一地加以确定。 2、静力特性 超静定结构的反力和内力不能完全地由静力平衡条件唯一地加以确定。 未知力的数目>平衡方程的数目。 FP MA FxA A B FyA FyB FP FxA FyA FyB
3、超静定结构的类型 （1） 超静定梁
（3）超静定拱
二、超静定次数 1、超静定次数的确定及确定方法 超静定次数 n —— 多余约束的个数。 几何： n= - W （W为体系的计算自由度数） 静力：超静定次数=多余未未知力个数=未知力个数 - 平衡方程个数 n = 把超静定结构变成静定结构，所需撤除约束的个数。
撤除多余约束的方式与相应多余约束力之间的关系 撤除多余约束的个数 多余力 的性质 1 反力Fy X1 X1 X1 轴力FN 1 X1 反力Fx Fy 2 X2 X1 X1 轴力FN 2 剪力 FQ X2 X2
3 3 1 1 撤除多余约束的方式 反力Fx,Fy,M 轴力FN 剪力FQ 弯矩M 反力偶 M 弯矩 M 撤除多余约束的个数 多余力 的性质
在超静定结构上去掉多余约束的基本方式，通常有如下几种： （1）断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联接、将一固定端改为固定铰支座，相当于去掉一个约束。 （2）断一根弯杆、去掉一个固定端，相当于去掉三个约束。 （3）开一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座，相当于去掉两个约束
2、基本体系（结构）与基本未知量 力法的基本结构：在超静定结构中，去掉多余约束所得的静定结构。 力法的基本体系：基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系。 原结构与基本体系的区别：在原结构中多余的约束反力是以被动力形式出现的，而在基本体系中，多余未知力是以主动力形式出现的。 几何可变或瞬变体系不能作基本体系。为计算简便，同一结构可选不同的基本体系。 力法基本未知量：与去掉的多余约束相应的多余未知力。
例： X1 n = 1 瞬变 X1 X1 X1
X1 n = 1 X1 X1 瞬变 X1
X1 X2 X3 X5 X4 n = 5 问：还可以选什么样的基本体系？ X3 X1 X2 X4 X5
X1 n = 1 X1 问：还可以选什么样的基本体系？
n =3× 5=15 提问: 还可以选什么样的基本体系?
n = 2 X2 X1
请考虑以上两个基本体系，哪一个计算起来更方便？ X1 X1 X2 X2 请考虑以上两个基本体系，哪一个计算起来更方便？
X4 X1 X2 X3 n = 4 X1 X2 X3 X4 请考虑以上两个基本体系， 哪一个计算起来更方便？
§10-2 力法基本概念 一、基本思路： 力法的三个基本概念（三要素） 1、力法的基本未知量(fundamental unknown)——（与多余约束相应的）多余力。 若与静定结构相比较，有一个多余力，只要能计算出X1(X1=YB)，其余的问题为静定结构问题。
2、力法基本体系（结构）——（去掉多余约束的）静定结构 基本体系(fundamental system)的受力状态和变形状态与原结构完全相同。 基本体系所受荷载：原荷载+多余力X1。（本身是静定结构，又可代表原超静定结构，因此是过渡桥梁）。 3、基本方程(equation of force method) —— 变形条件 与X1相应的位移条件，基本体系沿多余未知力X1方向的位移⊿1应与原结构沿X1方向的位移相等，即： ⊿1 =0。
基本思路 q MA q EI FxA l ⊿1P FyA FyB 原结构 ⊿11 q X1 X1 基本体系
⊿1P——基本体系在荷载单独作用下沿X1方向 变形条件： ⊿1 = 0 基本体系 原结构 由叠加原理： ⊿1 = ⊿11 + ⊿1P= 0 式中： ⊿11——基本体系在未知力X1单独作用下，沿 X1方向的位移⊿11 =δ11 X1 。 ⊿1P——基本体系在荷载单独作用下沿X1方向 的位移。 ⊿1 、 ⊿11 、 ⊿1P 、 δ11的方向与X1方向一致，规定为正，反之为负。
其中系数δ11和自由项⊿1P都是基本体系即静定结构的位移，可用单位荷载法计算。 X1=1 由 ⊿1 = ⊿11 + ⊿1P= 0 可知 δ11 X1 + ⊿1P= 0 上式为线性变形条件下一次超静定结构的力法基本方程。 至此力法的基本概念已建立。 其中系数δ11和自由项⊿1P都是基本体系即静定结构的位移，可用单位荷载法计算。
l X1=1 M1 图 ql2/2 MP 图
系数和自由项计算 X1= - ⊿1P/δ11= 3ql/8 (↑) (图形自乘) 代入变形条件， 得： X1= - ⊿1P/δ11= 3ql/8 (↑) 最后弯矩图可用叠加原理（也可将X1作用在基本体系上，用平衡条件求其余的反力内力） M= X1M1+MP
M= X1M1+MP ql2/8 ql2/8 M1——单位力X1=1在基本结构中任一截面上所产生的弯矩；
力法的基本特点： （1）以多余未知力作为基本未知量。 （2）以去掉多余约束的静定结构（也可以是超静定结构）作为基本体系。 （3）基本体系在解除多余约束处的位移 = 原结构在该处的位移，由此建立力法方程。 （注：请同学们自行与材料力学中用能量法求解超静定结构的方法作比较。）
二、多次超静定结构的计算 力法方程即位移条件方程： 基本体系在多余力和荷载（或其他因素）共同作用下，各多余未知力作用点的相应位移应与原结构相应点的位移相同。
1、以一个三次超静定结构为例 FP2 FP2 FP1 FP1 X1 X3 X2 位移条件： ⊿1 = 0 ⊿2 = 0 ⊿3 = 0
位移条件： ⊿1 = 0 ⊿2 = 0 ⊿3 = 0 ⊿1 = 0 基本体系沿X1方向的位移=原结构B点的水平位移。 ⊿2 = 0 基本体系沿X2方向的位移=原结构B点的竖向位移。 ⊿3 = 0 基本体系沿X3方向的位移=原结构B点的转角位移。
应用叠加原理把位移条件分解为： FP2 FP1
应用叠加原理把位移条件写成展开式： （1）X1 =1单独作用于基本体系，分别沿X1、 X2、 X3方向的相应位移 δ11 δ21 δ31 δ11 δ21 δ31 未知力X1单独作用于基本体系，相应位移 δ11 X1 δ21 X1 δ31 X1 （2）X2 =1单独作用于基本体系，相应位移 δ12 δ22 δ32 未知力X2单独作用于基本体系，相应位移 δ12X2 δ22 X2 δ32X2
（3）X3=1单独作用于基本体系，相应位移 δ13 δ23 δ33 未知力X3单独作用于基本体系，相应位移 δ13 X3 δ23 X3 δ33 X3 （4）荷载单独作用于基本体系，相应位移 ⊿1P ⊿2P ⊿3P
X1方向的位移⊿1 ⊿1=δ11X1+δ12X2+δ13X3+ ⊿1P X2方向的位移⊿2 ⊿2=δ21X1+δ22X2+δ23X3+ ⊿2P X3方向的位移⊿3 ⊿3=δ31X1+δ32X2+δ33X3+ ⊿3P
三次超静定结构的力法方程： δ21 X1+δ22 X2+δ23 X3+ ⊿2P = 0 注: 方程左边是基本体系的位移 。 方程右边是原结构的相应位移 。
讨论： （1）力法方程（典型方程）的物理意义：基本体系中，由全部未知力和已知荷载共同作用，在去掉多余约束处的位移应等于原结构相应位移。
（3）方程中δij和⊿iP是静定结构的位移，这样超静定结构的反力、内力计算就转化为静定结构的位移计算问题。 （2）同一结构可取不同的力法基本体系和基本未知量，但力法基本方程的形式一样，由于基本未知量的实际含义不同，则位移（变形）条件的实际含义不同。 （3）方程中δij和⊿iP是静定结构的位移，这样超静定结构的反力、内力计算就转化为静定结构的位移计算问题。
A B FP2 FP1 A B FP2 FP1 A B FP2 FP1 X1 X1 X3 X3 X2 X2 原结构 基本体系Ⅰ X1 X3 力法方程在形式上相同。
2、n次超静定结构的力法典型方程 δ11X1+δ12X2+ ……+δ1nXn+ ⊿1P = 0 … … … … … … δn1X1+δn2X2+……+ δnnXn+ ⊿nP = 0 (n次超静定结构在荷载作用下的力法典型方程） 基本未知量：n个多余未知力X1 、X2、… Xn； 基本体系：从原结构中去掉相应的n个多余约束后所得的静定结构； 基本方程：n个多余约束处的n个变形条件。
力法典型方程的讨论： （1）上式可写成矩阵形式: [δ]{X} + {⊿P } = {0} [δ]——系数矩阵、柔度矩阵 （2）力法方程主系数： δii≠0,恒为正 . 因为δii是Xi=1作用在自身方向上，所产生的位移，所以不为零，恒为正。
(3) 副系数δij (i≠j) 可正、可负、可为零。 由位移互等定理可知： δij =δji δij—由单位力Xj=1作用产生的沿Xi方向的位移。 （4）自由项⊿iP 可正、可负、可为零。 ⊿iP—由荷载单独作用产生的沿Xi方向的位移。 （5）计算出X1 、X2、… Xn后，由静力平衡条件或叠加原理计算各截面内力的公式为：
§10-3 超静定梁、刚架和排架 一、超静定梁和刚架 类型：单跨超静定梁、多跨超静定梁、单层单跨超静定刚架、多层多跨超静定刚架。 §10-3 超静定梁、刚架和排架 一、超静定梁和刚架 类型：单跨超静定梁、多跨超静定梁、单层单跨超静定刚架、多层多跨超静定刚架。 计算特点：通常忽略剪力和轴力对位移的影响，一般只考虑弯曲变形。
力法方程中的系数和自由项的表达式为： 例如P171例10.1
例：用力法计算图示刚架。各杆EI=常数 原结构 A B C D q l A B C D 基本体系 q X1 X2 n=2 q A B C D
解： (1)、 判定超静定次数： n=2 ； 选定基本体系和基本未知量 ； 可选不同的基本体系，挑选计算比较简便的，进行分析计算。 选定基本体系和基本未知量 ； 可选不同的基本体系，挑选计算比较简便的，进行分析计算。 力法方程： δ11X1+δ12 X2+⊿1P = 0 δ21X1+δ22 X2+⊿2P = 0
(2)、作M i 、MP 图，求δ、⊿ (用第一种基本体系） δ11=[(1/2×l×l)(2/3×l) +(l×l)×l]/EI = 4 l 3/3EI δ22=δ11= 4l3/3EI δ12=δ21= -[(l×l)×l]/EI = - l3/EI
⊿1P= -[(1/3×ql2/2×l)×3/4×l +(ql2/2×l)×l)/EI = -5ql4/8EI ⊿2P=[(ql2/2×l)×l] =ql4/2EI
（3）解方程 （求解未知量） 力法方程：（可消去 l3/EI） 4/3 X 1 -X 2 - 5ql/8 = 0 解出： X 1 =3ql/7 X2 = - 3ql/56
（4）作内力图 弯矩图 M =M1X1+M2X2+MP=3ql/7M1-3ql/56M2+ MP MBC=3ql/7×l-3ql/56×0-ql2/2= - ql2/14 (上边受拉) MBD=3ql/7×0-3ql/56×l+0 = - 3ql2/56 (上边受拉) MBA=3ql/7×(-l) -3ql/56×l+ql2/2=ql2/56=MAB (右边受拉)
弯矩图：
剪力由杆件平衡计算； 轴力由结点平衡计算 FQ图 FN图 4ql2/56 3ql/56 32ql/56 24ql/56 FQBC= FNBA= -5ql/8 3ql2/56 AB段剪力不为零，BC、BD轴力为零。 FQBD= 3ql/56 3ql/56 24ql/56 5ql/8 3ql/56 32ql/56 FQ图 FN图
讨论： 1、一个超静定结构,可选不同的基本体系进行计算。当然希望选择计算较为简便的。 本题如选第二个基本体系，则有：δ12=δ21=0。（为什么？） 力法方程可写为： δ11X1+⊿1P = 0 δ22X2+⊿2P= 0
如不同，为什么？ 2、荷载作用下超静定结构反力、内力的特点： 多余力（反力、内力）的大小只与各杆件的相对刚度有关，而与其绝对刚度无关，同一材料所构成的结构，其反力内力也与材料的性质（弹性模量）无关。 右上图刚架的各杆弯矩值与例题中各杆的弯矩值是否相同？ 如不同，为什么？
3、变形曲线草图可根据弯矩图大致画出。
二、铰接排架 计算中注意阶梯柱的图的图乘问题。 计算特点： 横梁(屋架） : EA=∞链杆 柱: 阶梯形的变截面柱其上端与链杆铰接，下端与基础刚接。 计算中注意阶梯柱的图的图乘问题。
例：用力法计算图示两跨不等高排架 解：超静定次数 n=2 ， 选基本体系和基本未知量， 力法基本方程： δ11 X1+δ12 X2+⊿1P = 0 δ21 X1+δ22 X2+⊿2P = 0
基本体系和基本未知量
⊿1 、 ⊿2 为切口处两个截面的轴向相对位移。变形条件为：切口处的两个截面沿轴向应仍保持接触，沿轴向的相对位移为零。 提问： （1）如果水平杆的EA≠∞，是有限值，力法方程是否与上面的列法一致？在计算方程的系数时应注意些什么？ （2）选取基本体系时如将水平杆拿掉，方程应如何列？（水平杆的EA=∞ 或EA≠∞，有何区别？）
2、系数和自由项 δ11 =[（1/2×6×6)×2/3×6]/EI1 +[(1/2×6×6)×2/3×6]/EI2 =504/EI2
δ22=2×[1/2×3×3)×2/3×3]/EI1 +2× [(1/2×3×7)×(2/3×3+1/3×10) 16/3 23/3 δ22=2×[1/2×3×3)×2/3×3]/EI1 +2× [(1/2×3×7)×(2/3×3+1/3×10) +(1/2×10×7)×(1/3×3+2/3×10)]/EI2 =2270/3EI2
δ12=δ21=-[(1/2×6×6)×(2/3×10+1/3×4)] = - 144/EI2
⊿2P= -[1/2×20×1×(2/3×3+1/3×2)]/EI1 +(-1)[(1/2×20×7)×(2/3×3+1/3×10)
3、解方程（消去1/EI2） X1=1.927kN X2=6.745kN 4、作弯矩图 M=1.927M1+6.745M2+MP 504X1 -144X2 = 0 -144X1+2270/3X2-14480/3 =0 X1=1.927kN X2=6.745kN 4、作弯矩图 M=1.927M1+6.745M2+MP
§10- 4 超静定桁架和组合结构 1、超静定桁架（杆件内力只有轴力） 计算特点： 系数: 自由项: 最后内力： FN=FN1X1+FN2X2+ … +FNnXn+FNP
例：用力法计算图示桁架，各杆EA=常数 解：超静定次数 n=1 ，选基本体系如图所示。 注意斜杆12不是去掉，而是截断。 FP FP X1 解：超静定次数 n=1 ，选基本体系如图所示。 注意斜杆12不是去掉，而是截断。 力法方程为： δ11X1+⊿1P = 0
X1=1 计算过程: FN1 -FP FP FP -FP FP FP FP FNP
习惯上列表计算 杆件 l FN1 FNP FN1FNPl 01 a -1/√2 1/2×a +FP /2 13 -FP FP·a /√2 1/2×a +FP /2 13 -FP FP·a /√2 - FP /2 23 20 03 √2a +1 √2FP 2FP·a √2FP/2 12 -√2FP/2 ∑ 2(1+√2)a (√2+2) ×FP·a FN FN12l
讨论： 1、桁架中的杆件（EA=常数）不是去掉而是截断，计算δij时，不能忘记被截断杆的轴力。如忘记会出现什么问题？ FP 如在上题选基本体系时，去掉12杆，则力法方程应怎样写呢？ δ11X1+⊿1P = - X1l /EA 为什么？ X1 X1
2、桁架计算中，一般列表进行计算。 3、超静定桁架常见形式包括：多跨连续式桁架、双重腹杆桁架。要使力法方程计算简便选基本体系是关键；原则：尽量使基本体系在未知单位力作用下，许多杆的轴力为零。
2、超静定组合结构
计算特点： 梁式杆： 二力杆：只考虑轴向变形对位移的影响 梁式杆：只考虑弯曲变形对位移的影响
例: 基本体系 1.5m FP=74.2kN 图示加劲式吊车梁,横梁和竖杆由钢筋混凝土做成,斜杆为16锰圆钢,各杆刚度如下: 梁式杆AB: EI=1.989×104 kN·m2 二力杆AD、DB: EA=2.464×105 kN 二力杆CD： EA=4.95×105 kN B A C 1m D 3m 3m FP C B A X1 D 基本体系
此结构是一次超静定的，取基本体系如图所示。力法典型方程为： 解： 3/2 此结构是一次超静定的，取基本体系如图所示。力法典型方程为： δ11 X1+⊿1P = 0 C B A -√10/2 -√10/2 D X1=1 M1 图（m）FN1 FP 作M1图，并求各杆轴力。 55.65 C B A 作MP图。 求系数和自由项。 83.475 D MP 图（kN·m）FNP=0
δ11=∑ FN12 l /EA+∑∫M12 dx/EI = 1/2.464×105[2×(-√10/2)2×√10]+1/4.95×105×12×1+1/1.989×104 [2×(3×3/2)/2×2/3×3/2] = 29.7869×10 -8 m/N ⊿1P=∑ FN1 FNP l /EA+∑∫M1MP dx/EI =1154.1290×10 -5 m X1= - ⊿1P / δ11 = - 38746 N= - 38.746kN
按下列公式计算最后内力 M = - 38.746 M1+MP FN = - 38.746FN1+FN P FP 2.469 - 38.746 61.263 54.416 61.263 M 图（kN ·m）FN1 ( kN )
5、讨论： （1）下部桁架部分支撑力为38.746kN 时，横梁最大弯矩为54.416kN·m。 （3）超静定结构内力分布与横梁和桁架的相对刚度有关。下部链杆截面小，弯矩图就趋向于简支梁的弯矩图；下部链杆截面大，弯矩图就趋向于连续梁的弯矩图。 （4）提问：如果横梁特别“软”，结果会怎样？
§10-5 对称结构的计算 一、选取对称的基本体系 1、什么是结构的对称性 （1）结构的几何形状和支承情况，对某轴（或点）对称。 §10-5 对称结构的计算 一、选取对称的基本体系 1、什么是结构的对称性 （1）结构的几何形状和支承情况，对某轴（或点）对称。 （2）杆件的截面尺寸和材料弹性模量，对此轴（或点）也对称。 几何对称 支承对称 刚度对称
2、对称简化的目的 （1）使力法方程中尽可能多的副系数和自由项为零。 关键：选择合理的基本体系，以及设置适宜的基本未知量。 一个极端情况（n次超静定） δ11X1+⊿1P = 0 δ22X2+⊿2P = 0 … … δnnXn+⊿nP = 0 （2）根据结构的对称性，有时可较简便地定性分析结构的内力和变形。
3、选取对称的基本体系 选取对称的基本体系，并取对称力或反对称力为基本未知量。 如图，一对称结构，沿对称轴截面切开，得到一个对称的基本体系。 X1、X2——正对称未知力； X3 ——反对称未知力。 X2 X1 X3
X1、X2引起的内力、变形是正对称的； X3引起的内力、变形是反对称的。 分析系数： δ13=δ31= 0 δ23=δ32= 0 X1=1
如有荷载作用，则方程简化为： δ11X1+δ12X2+ ⊿1P = 0 δ21X1+δ22X2+ ⊿2P = 0
4、考虑两种荷载情况 （1）对称荷载作用 FP FP X1 X2 FP FP
结论：对称结构在正对称荷载作用下，反对称未知力必为零，结构的支座反力和内力、变形均为正对称的。 MP图是对称的，有⊿3P=0 因此,反对称未知力X3=0； 只有正对称未知力X1，X2。 故：M=M1 X1+M2 X2+MP 最后弯矩图也是正对称的。 结论：对称结构在正对称荷载作用下，反对称未知力必为零，结构的支座反力和内力、变形均为正对称的。 FP 正对称荷载作用下，对称轴截面只产生轴力和弯矩。 正对称荷载
（2）反对称荷载 FP FP X3 FP FP
结论：对称结构在反对称荷载作用下，正对称未知力必为零，结构所有的反力、内力及变形均为反对称的。 MP图是反对称的，有⊿1P=0，⊿2P=0。 因此,正对称未知力X1=0，X2=0。 只有反对称未知力X3。 故：M=M3 X3+MP 最后弯矩图也是反对称的。 结论：对称结构在反对称荷载作用下，正对称未知力必为零，结构所有的反力、内力及变形均为反对称的。 FP 反对称荷载作用下，对称轴截面只产生剪力。 反对称荷载
5、 荷载分组 对称结构受一般荷载作用，可将荷载分为正、反对称两组，分别作用在结构上进行计算，然后将结果叠加，起到简化计算之效果。 5、 荷载分组 任何非对称荷载均可分解为两部分，即：正对称荷载和反对称荷载。 对称结构受一般荷载作用，可将荷载分为正、反对称两组，分别作用在结构上进行计算，然后将结果叠加，起到简化计算之效果。
FP q M FP /2 q /2 M /2 FP /2 q /2 M /2 M /2 FP /2
二、未知力分组 在某些情况下，一些对称结构选用了对称的基本体系，但其相应的多余未知力，既非正对称，又非反对称。 在此可采用未知力分组的方法。 同样可使方程分为两组，一组只包括正对称未知力，另一组只包括反对称未知力。
正对称未知力 力法典型方程成为： 反对称未知力
如图：n=4，取对称基本体系，但任何一个 基 本未知量都不是对称或反对称的。 FP q FP q FP q XA YA XB YB X1、X3正对称未知力 X2、X4反对称未知力
方程变为两组，为两个二元一次线性方程组。 利用未知力分组，组成广义未知力： XA=X1+X2, XB=X1-X2; YA=X3+X4, YB=X3-X4; 力法方程中：δ12=δ21= 0，δ14=δ41= 0， δ23=δ32= 0，δ34=δ43= 0。 方程变为两组，为两个二元一次线性方程组。 δ11X1+δ13X3 +⊿1P=0 δ31X1+δ33X3+⊿3P =0 δ22 X2+δ24X4+⊿2P=0 δ42 X2+δ44X4 +⊿4P=0 正对称未知力 反对称未知力
三、取半边结构计算 1、奇数跨对称刚架——以单跨对称刚架为例 （1）对称荷载作用下的半刚架 对称轴
（2）反对称荷载作用下的半刚架 （c） （d）
P P/2 P/2 P/2 = + P/2 P/2 8
2、偶数跨对称刚架——以两跨对称刚架为例 （1）对称荷载作用下的半刚架
（2）反对称荷载作用下的半刚架
P I 2I I P/2 P/2 I 2I 没有弯矩 P/2 I 2I P/2 I 2次超静定 9 35
例：求作图示圆环的弯矩图。 EI=常数。 （a) 解： 取结构的1/4分析 (b) 单位弯矩（图）和荷载弯矩（图）为：
外侧受拉为负 若只考虑弯矩对位移的影响，有： ds=Rdφ 弯矩为：
例：作图示结构的弯矩图。各杆EI=常数 X3 20kN X2 20kN X1 X4 10kN 10kN 对称荷载 反对称荷载
解: 1、荷载分组 分析： （1）原结构超静定次数为4。如选对称的基本体系，如上图，4个基本未知量可分为两组： X2 X3 X4——正对称未知力； X1 ——反对称未知力。
(2)、正对称荷载作用情况：（在此，我们假设忽略刚架各杆的轴向变形和剪切变形，弯曲变形非常小）。因此，当图示正对称荷载作用时，只有杆中有轴向压力FP /2=10kN，其它杆中无内力。 因为在刚架计算中，忽略轴向变形的影响，在此条件下，上述内力情况不仅满足平衡条件，也满足变形条件，是真正的内力状态。 可知： X2= - 10， X3= X4=0。 提问：①、如果在刚架计算中，考虑各杆的轴向变 形的影响，则上述内力状态是否正确？ ②、请同学自行验证对称荷载作用下结构的 内力，考虑弯矩图全为零这个结果是否正确？
（3）反对称荷载作用情况： 由反对称荷载作用分析可知（对称结构在反对称荷载作用下，正对称的未知力必为零），图示基本体系下， X2 = X3 = X4=0，只有X1有值，由此计算出的反对称荷载作用下的弯矩图即为原结构的弯矩图。 2、力法方程： δ11X1+⊿1P = 0
求δ11 、⊿1P 。 2/3·3·4+ (3·3)·3·2] =90 10kN X1 3、作M1 、MP图， EIδ11=[(1/2·3·3)· 2/3·3·4+ (3·3)·3·2] =90 X1=1
EI⊿1P =[(1/2·30·3) ·3·2+(1/2·60·3) ·2/3·3·2] =630 4、解方程： X1=-⊿1P/δ11 10kN 4、解方程： X1=-⊿1P/δ11 = - 630/90 = - 7kN
20kN 5、作弯矩图 M=X1M1+MP
§10-6 超静定拱 工程中超静定拱多数是对称的两铰拱和无铰拱。
一、两铰拱计算 1、不带拉杆的两铰拱 l f X1 基本体系 两铰拱 列力法方程：
因拱是曲杆，计算位移δ11和Δ1P时不能图乘，只能积分。基本体系是一曲梁，曲率对位移的影响可忽略不计。 略去剪力的影响；计算Δ1P时，一般只考虑弯曲变形；计算δ11时，除弯曲变形外，有时需考虑轴向变形（当f< l /3 时，考虑轴力的影响。）。
MP=M° y y 1 x x 基本结构X1=1作用下，竖向支座反力为零，任意截面C的弯矩和轴力为：
大跨度、大截面拱可忽略第二项 当 f /l<1/4 时，可取ds=dx （y与的计算）
计算特点： 在竖向荷载作用下计算公式为： 和 只能积分； H——推力由变形条件求得； 关于位移计算简化的讨论； 通常可以略去Q 对于扁平拱，当 % 不能忽略
2、带拉杆的两铰拱 推力减少了拱肋弯矩 为什么要用拉杆？ 墙、柱不承担推力 E、I、A X1=1 X1 MP E1、A1
其中 两类拱的比较： 无拉杆 有拉杆 相当于无拉杆 E1A1 E1A10 简支曲梁 适当加大E1A1使H*较大，可减小拱肋M，H求出后，计算内力公式与前面一样。
二、对称无铰拱的计算 （a） （b） 3次超静定 （1）利用对称性 δ13=δ31= 0 δ23=δ32= 0 力法方程可简化为独立的两组：
设坐标原点在拱顶点，x轴以向右为正，y轴以向下为正，在右半拱φ为正值，内力符号规定与三铰拱相同。拱轴任一截面（x，y）在X1=1、X2=1和X3=1作用下的内力为 O O O 15
在计算δii、δij和ΔiP时，通常只考虑弯矩的影响。只有当拱扁平（f<l/5）时，计算δii时除弯矩的影响外还需考虑轴力的影响。各系数和自由项的计算公式如下：
见书P194例10.10
§10-7、温度改变及支座移动时超静定结构计算 一、温度改变对超静定结构的影响 1、特点： 静定结构温度改变时，有变形和位移，但不产生反力和内力。 超静定结构温度改变时，有变形和位移，同时产生反力和内力(称为自内力)。 其中： 均匀温度改变产生轴向变形； 不均匀温度改变产生轴向变形和弯曲变形； 无剪切变形。
静定结构 超静定结构
2、力法分析原理、公式 （2）力法基本方程： （以两次为例） δ11 X1+δ12 X2+⊿1t = 0 （1）原理：基本体系在温度改变和多 余未知力的共同作用下，去掉多余约束处的位移应与原结构的位移相同。 （2）力法基本方程： （以两次为例） δ11 X1+δ12 X2+⊿1t = 0 δ21 X1+δ22 X2+⊿2t= 0
⊿Kt —温度改变在基本体系中产生的沿XK方向的位移。 δ11 X1+δ12 X2+⊿1t = 0 δ21 X1+δ22 X2+⊿2t = 0 式中 ⊿Kt —温度改变在基本体系中产生的沿XK方向的位移。 注：计算系数时，刚架只考虑弯曲变形；计算自由项时，刚架要同时考虑弯曲和轴向变形。
(3) 因为基本结构是静定的，故内力全由多余未知力引起的：
例： 图示刚架，浇注混凝土时室内外温度为+15o C，冬季室外为-35o C，室内为+15o C。 - 350 C 各杆件EI=常数， E=2×106N/cm2 =2×107kN/m2 , α=10-5。试作内力图。 - 350 C l =4m +150 C l =4m
解： t1= - 500 C （1）基本体系如图，n=1。 典型方程： δ11 X1+⊿1t= 0 （2）计算系数和自由项。 注：t1、t2、是里外两面各自的温度改变量 。故有： t1= - 350 C - 150 C= - 500 C t2= 150 C - 150 C= 00 C
δ11=[(l×l)×l+(1/2× l×l)×2/3×l]/EI =4l3/3EI I=b·h3/12=7.2×10-3m4 -1 t1= - 500 C t2= 00 C X1 δ11=[(l×l)×l+(1/2× l×l)×2/3×l]/EI =4l3/3EI I=b·h3/12=7.2×10-3m4 l X1=1 -1 M 图 FN
to=[(-35-15)+(15-15)]/2 =1/2(-35+15)-15= -25oC ⊿t=0-(-50)=50oC t1= - 500 C =1/2(-35+15)-15= -25oC t2= 00 C X1 ⊿t=0-(-50)=50oC ⊿1t =α ·(-25)·(-1)·l - α·50/h·(l2+1/2·l2) l = +25· α ·l - 75·α·l2 /h X1=1 = -1900 -1 M 图 FN
（3）解方程 X1 = -⊿1t / δ11 =1900 ·3EI/(4l3) =22.27·EI （4）作内力图 M AB =X1 M1= 22.27·EI·4 = 89.08EI =128.3 k N· m （左拉） FNAB =X1 FN1= 22.27·EI·(-1) = - 22.27·EI = - 32.01 k N （压力） M(kN·m) FN (kN)
讨论： （1）力法方程中的自由项⊿it是由于基本体系温度改变引起的位移。 （2）温度改变引起的内力与各杆的EI有关。温度一定，截面尺寸愈大，内力也愈大；如要改善受力，加大截面尺寸不是唯一有效的途径。 （3）结构内力全部由未知力引起的（自内力）。
（4）杆件有温度改变时，弯矩图的竖标出现在降温面。升温面产生压应力，降温面产生拉应力（与静定结构不同）。在钢筋混凝土结构设计中，应特别注意降温面可能出现的裂缝。
二、支座移动时的计算 1、特点： 静定结构：在支座移动作用下，只有刚体位移，无弹性变形；不产生反力、内力。 超静定结构：在支座移动作用下，有弹性变形，有位移；有反力、内力（称为自内力）。 因为超静定结构有多余约束。
2、力法分析原理、公式 （1）原理 基本体系在多余未知力和支座移动共同作用下，在去掉多余约束处的位移应与原结构该处的位移相同。 （2）力法方程（以两次超静定为例）： δ11X1+δ12X2+⊿1C= ⊿1 δ21X1+δ22X2+⊿2C= ⊿2 方程的右端项，视所取的基本体系不同而定。
注： 用力法求解支座移动作用下的超静定结构，关键问题是: （1）由于基本体系选取不同，力法方程的右端项⊿K=？不同。 （2）方程自由项⊿KC的定义： ⊿KC——基本体系发生支座移动时，产生 的沿XK方向的位移。 ⊿KC= - ∑FRKcK
例： θ B A 图示一等截面梁AB ，左端为固定端，右端为可动铰。 l θ A B θ a X1 基本体系
解： θ A B a X1 基本体系 力法方程为： δ11 X1 +⊿1C = - a 此梁为一次超静定。基本体系为悬臂梁。
l θ A B θ ⊿1⊿= θl M1 X1=1 计算系数和自由项: δ11 = [(1/2×l×l)×(2/3×l)] /EI =l3/3EI ⊿1C = -∑FR1c1=-( l ×θ )= - lθ 负号表示lθ与X1方向相反。
代入力法方程： δ11 X1 +⊿1C = - a l3/3EI X1 - lθ = - a 解出： X1 = 3EI (θ– a/l) /l2 将代入弯矩叠加公式： M=M1 X1 作出弯矩图如图所示。 3EI (θ–a/l) /l M 图
说明： 1、支座移动时的计算特点 （1）力法方程的右边可能不为零。 （2）力法方程的自由项是由支座移动在基本结构中产生的位移。 （3）因没有荷载作用，内力全部是由多余未知力引起的。 （4）所有内力与杆件EI的绝对值有关。
2、取不同的基本体系计算 简支梁在A点的转角应等于给定值 θ 。 力法方程为： δ11 X1 +⊿1C=θ X1 若取右图简支梁作基本体系 ，则变形条件为： 简支梁在A点的转角应等于给定值 θ 。 力法方程为： A B θ a l δ11 X1 +⊿1C=θ
⊿1⊿=a/l X1=1 a 1 1/l M1 计算系数和自由项: δ11 =1/EI×[(1/2×1×l)×(2/3×1)]=l/3EI ⊿1C = - ∑FR1c1 = -( - 1/l×a )= a/l 由此求得： X1 = 3EI (θ– a/l) /l
思考： θ X1 若取右图所示的基本体系，力法方程的形式如何？ 方程右边等于多少？ 力法方程的自由项应为多少？ a θ
例：图示刚架支座A发生水平位移a，竖向位移b=4a，转角位移φ=a/l，用力法求解，作M图。 解： （1）基本未知量n=2, 力法方程 : δ11X1+δ12X2+⊿1C= ⊿1 δ21X1+δ22X2+⊿2C= ⊿2
解法Ⅰ： 取基本体系如图， 力法方程中： ⊿1= - a(与X1方向相反) ⊿2 = φ (与X2方向一致) δ11X1+δ12X2+⊿1C = -a δ21X1+δ22X2+⊿2C= φ 2、计算系数和自由项： δ11=[(1/2×l×l)×2/3× l]/EI+[(1/2×l×l)× 2/3×l]/2EI=l3/2EI
δ22=[(1/2×1×l)×2/3×1]/EI+ [(1×l)×1]/2EI=5l/6EI δ12=δ21=[(1/2×l×l) ×2/3×l]/EI+ [(1/2×l×l)×1]/2EI =7l2/12EI ⊿1C = -(1×b)=-b ⊿2C = -(1/l×b)=-b/l
3、列方程，求解:（a,b均写为φ的函数，a=φl,b =4φl )
4、内力图 由于基本结构是静定的，支座移动在基本结构中不产生反力、内力，故原结构的内力均为多余力引起的。 M=X1M1+X2M2 48/11·EI/l·φ 由于基本结构是静定的，支座移动在基本结构中不产生反力、内力，故原结构的内力均为多余力引起的。 M=X1M1+X2M2 MBA= -60/11·EI/l2·φ·l+ 108/11 ·EI/l·φ·l =48/11·EI/l·φ（右边受拉） MAB= -60/11·EI/l2·φ·0+ =108/11·EI/l·φ（右边受拉） 108/11·EI/l·φ
解法Ⅱ： 力法方程： δ11X1+δ12X2+⊿1C = ⊿1 δ21X1+δ22X2+⊿2C= ⊿2 其中⊿1= 0 ， ⊿2 = 0 故 其中⊿1= 0 ， ⊿2 = 0 故 δ11X1+δ12X2+⊿1C= 0 δ21X1+δ22X2+⊿2C= 0
解法Ⅱ： δ11= l3/6EI δ22= 5l3/6EI δ12 = δ21= l3/4EI ⊿1C = -[1×a+l×φ+b×0] = -a- lφ= -2lφ ⊿2C= - [0×a +l×φ+1×b] = -b – lφ= - 5lφ
讨论：与荷载作用下的结构计算比较 （1）取不同的基本体系进行计算，力法方程的右端项有所不同。（为什么？） （2）力法方程中的自由项⊿KC是由于基本体系发生支座移动，在基本体系中沿多余力方向的位移。（如果所选基本体系的支座移动为零，则⊿KC必为零，正确否？） （3）支座移动作用下，超静定结构各杆内力与杆件EI的绝对值有关。（为什么？） （4）结构内力全部由未知力引起的（自内力）。
思考： （1） “无荷载就无内力。”适用范围？ （2）支座移动、温度改变与荷载作用下，超静定结构计算有何异同？ （3）当超静定结构发生制造误差时，如何用力法计算？ （4）计算超静定结构时，在什么情况下，只需给出各杆EI的相对值？在什么情况下，必须给出各杆EI的绝对值？
§10-8 超静定结构位移的计算 一、超静定结构的位移计算 原理：虚功原理。 方法：虚单位荷载法。 §10-8 超静定结构位移的计算 一、超静定结构的位移计算 原理：虚功原理。 方法：虚单位荷载法。 注：荷载作用下的最后内力图和相应的单位内力图，需按超静定结构的计算方法求出。
（一）虚拟状态的选取 1、虚拟力状态选取在超静定结构上。 相应FP=1作用在超静定结构（原结构）上。 如前例，求B结点的转角位移φB。 由图乘法可得如下结果： φB = -q·l3/56EI (逆时针）
2、一般作法：利用基本结构求原结构的位移 用静定结构(基本体系)的虚拟状态,即:将相应的单位力加在基本体系上。 要点：原结构的内力变形（位移）= 基本结构在外因和多余力共同作用下的内力变形（位移）
求原结构的位移问题 求基本结构的位移问题 φB = [-(ql2/56×l) ×1]/EI =-q·l3/56EI (逆时针）
由于计算超静定结构时可采用不同的基本结构，（超静定结构的最后内力变形并不随所取的基本结构不同而异），所以可以将单位力加在任一相应的基本结构上。 由图乘可得： φB = -q·l3/56EI (逆时针）
（二）超静定结构在荷载，支座移动，温度 改变等因素作用下的位移计算公式 （二）超静定结构在荷载，支座移动，温度 改变等因素作用下的位移计算公式 1、荷载作用 设超静定结构在荷载作用下的内力为M、FN、FQ，杆段微段变形为： 位移公式为： M、FN、FQ取自任一与原结构相应的基本体系。
2、支座移动（以超静定刚架为例） 设超静定结构在支座移动作用下内力为M，杆件微段变形为：κ=M/EI。 位移公式为： ⊿i⊿=-∑FRici —— FRi取自任一与原结构相应 的基本体系，为单位荷载作用下该基本体系的支座反力。
3、温度改变（以超静定刚架为例） 设超静定结构温度改变时内力为M，这时，除内力引起的弹性变形外，还有微段在自由膨胀条件下由温度引起的变形，即：
例：图示结构，求φB 。其中a= φl,b=4φl ⊿=φB=∑ ∫Mi·M·ds/EI - ∑R ck = - [(1/2·48/11·EI/l ·φ·l)·2/3·1]/EI - [1/l·(-b)] =-16/11·φ+4φ =28/11·φ （逆时针）
§10-9 超静定结构的校核 （一）超静定结构总校核依据： 结构的最后内力图应满足平衡条件和变形（位移）条件。 §10-9 超静定结构的校核 （一）超静定结构总校核依据： 结构的最后内力图应满足平衡条件和变形（位移）条件。 请自学P.208，校核工作的重要性和力法计算的阶段校核。 从超静定结构解答唯一性定理出发，结构的最后内力图应满足两个条件。满足平衡是必要条件，但不充分；同时满足变形条件，才是充分的。
尤其是力法计算结果，力法方程本身是变形条件方程，如要检查校核，则必须使用变形条件。 1、平衡条件：用计算中未用过的平衡条件，一般取杆件或结点隔离体校核其是否平衡。 2、变形条件：因为多余力是由变形条件得出的，最后内力图是将多余力视为主动力，按平衡条件作出的，多余力有误，平衡条件不能反映，必须用变形条件。
（二）、变形条件校核 1、一般作法： 任意选取基本结构，任取一个多余未知力Xi，根据内力图算出沿Xi方向的位移⊿i，检查⊿i是否与原结构中的相应位移（给定值）相等。 即： ⊿i =给定值
2、荷载作用 ⊿=0 (以刚架为例) 对刚架一般只校核弯矩图。 当结构为无铰封闭框格刚架时，校核封闭框格的任一切口截面两侧的相对转角，取杆中任一截面弯矩为多余未知力MK=1，变形条件为： 当结构中只受荷载作用，沿封闭框格的M/EI图形总面积之和等于零。
例：校核例题的弯矩图 解： 取基本体系如图，用右支座处的反力为X1。 验证 ⊿DV=0 ⊿DV=[-(1/2·3ql2/56·l)· (2/3 ·l)+(ql2/56·l)·l]/EI =[-ql4/56+ ql4/56]/EI = 0 满足变形条件，弯矩图正确。
例：校核图示刚架的弯矩图 M 图 (kN·m) 46.8 28.8 3EI 63.0 6m 2EI q=14kN/m 2EI 115.2 61.2 6m M 图 (kN·m) 图示刚架为一封闭框格,弯矩图如右图所示。要校核其弯矩图正确与否，可校核任一截面相对转角是否为零。
XK=1 MK 图 M 图 (kN·m) 28.8 46.8 1 1 1 1 3EI 2EI 63.0 2EI 115.2 61.2 [-(1/2×115.2×6) + (1/2×28.8×6) +(2/3× 63.0×6)-(1/2×46.8×6)+(1/2×61.2×6)]/2EI +[-(1/2×46.8×6) +(1/2×28.8×6)] / 3EI = -3.6/EI + 21.6/EI -18/EI =0
例：定性地判断下列弯矩图的正误。 FP 请改正 请改正
习题课：超静定结构的计算—力法 重点：熟练掌握用力法求解荷载作用下的超静定结构。 要求： 1、准确地判定超静定次数，正确地选用基本体系。 2、掌握力法的基本原理：力法的一般作法；力法方程的物理意义。 3、理解结构在支座移动、温度改变作用下，力法方程的特点。会计算超静定结构的位移；并能校核超静定结构的最后内力图。 4、会利用对称性简化计算。
复习： 力法方程： 方程的物理意义；方程左右式的意思。 各系数δik的物理意义和计算方法。 自由项⊿iP的物理意义和计算方法。
举例： δ11X1+⊿1P=0 δ11X1+⊿1P=0 δ11X1+⊿1C= - c δ11X1+⊿1P= - X1/k FP FP δ11X1+⊿1P=0 X1 FP FP δ11X1+⊿1P=0 δ11X1+⊿1C= - c X1 FP FP δ11X1+⊿1P= - X1/k X1 FP δ11X1+⊿1P=0 X1
作业： 10.2图（a）、10.3图（b）、10.5图（b） 10.3图（a）、 10.4图（b）、 10.6图（b） 10.9图（f）、10.14、10.18图（a）、10.20 10.23 10.25题（b）