第四章 地下水向完整井的非稳定运动 Distorted scale!! MULTIPLE AQUIFERS 1 肖 长 来, 水工203，电话88502287 吉林大学环境与资源学院 2009-11

第四章 地下水向完整井的非稳定运动 §4-1 承压含水层中的完整井流 §4-2 有越流补给的完整井流 §4-3 有弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流 §4-4 潜水完整井流 天地不可一日无和气， 人心不可一日无喜神。

§4-2有越流补给的完整井流 4.2.1 基本方程 在第1章中，我们曾谈到在越流含水层中抽水时会发生越流。有时，人们把这种系统，包括越流含水层、弱透水层和相邻的含水层(如果有的话)称为越流系统(图1-30)。 越流系统通常可以划分为三种类型: 第一越流系统是不考虑弱透水层弹性释放、忽略补给层水位变化的越流系统； 第二越流系统是考虑弱透水层弹性释放、不考虑补给层水位变化的越流系统； 第三越流系统是不考虑弱透水层弹性释放、考虑补给层水位变化的越流系统。

图4-9 有越流补给时承压含水层中的完整井

第3章探讨了这种情况下的稳定运动(图3-9)。 现在进而探讨这种情况下的非稳定运动。研究时采用了和研究稳定运动时相同的地质模型(图3-9)和假设，即： (1)越流系统中每一层都是均质各向同性，无限延伸的第一类越流系统，含水层底部水平，含水层和弱透水层都是等 厚的； (2)含水层中水流服从Darcy定律； (3)虽然发生越流，但相邻含水层在抽水过程中水头保持不变(这在径流条件比较好的含水层中不难达到)； (4)弱透水层本身的弹性释水可以忽略，通过弱透水层的水流可视为垂向一维流； (5)抽水含水层天然水力坡度为零，抽水后为平面径向流； (6)抽水井为完整井，井径无限小，定流量抽水。

The Hantush-Jacob solution has the following assumptions: The aquifer is leaky and has an "apparent" infinite extent The aquifer and the confining layer are homogeneous, isotropic, and of uniform thickness over the area influenced by pumping The piezometric surface was horizontal prior to pumping The well is pumped at a constant rate The well is fully penetrating Water removed from storage is discharged instantaneously with decline in head The well diameter is small, so well storage is negligible Leakage through the confining layer is vertical and proportional to the drawdown The head in any un-pumped aquifer(s) remains constant Storage in the confining layer is negligible Flow is unsteady.

在上述假设条件下，根据微分方程(1-83)，把水头化为以降深表示，并改用柱坐标，于是有越流补给的抽水含水层中地下水运动的基本方程为： 相应的定解条件为： 对方程（4-29）施行Hankel变换，于是原定解问题变为常微分方程的初值问题，可以很容易地求得它的特解。 (4-29) (4-30) (4-31) (4-32)

有关推导过程请参阅文献[2]。(4-33)式为Hantush和 Jacob于1955年建立的有越流补给的承压水完整井公式。其 再施行逆变换可求得其解为： 其中， 有关推导过程请参阅文献[2]。(4-33)式为Hantush和 Jacob于1955年建立的有越流补给的承压水完整井公式。其 中 ，为不考虑相邻弱透水层弹性释水时越流系统的 井函数，其值列于教材表4-5中。 (4-33) (4-34)

根据表4-5的井函数表，绘制 曲线（图4-11).曲线反映出，有越流补给的s-t关系大致可分为三个阶段： 4.2.2 公式讨论 1) 降深-时间曲线的形状 将（4-33）式写成无量纲降深形式： 根据表4-5的井函数表，绘制 曲线（图4-11).曲线反映出，有越流补给的s-t关系大致可分为三个阶段： 图4-11 越流潜水含水层的标准曲线

（1）抽水早期，降深曲线同Theis曲线一致。这表明越流尚 未进入主含水层，抽水量几乎全部来自主含水层的弹性释 水。在理论上，相当于 =0或B→∞， →W（u）此 时和Theis曲线一致。 标准曲线组中又反映出， 不同时，与Theis曲线吻合的 时间也不一样。在其他条件一定时，如果越流系数 越小 （即 越小），同Theis曲线一致的过程就越长。这说明， 弱透层透水性越小，厚度越大，阻力越大，越流进入抽水层 的时间越晚。当弱透水层透水性无限小时，在有限的抽水时 间内，可能没有明显的越流反映，而同Theis曲线相一致。

（2）抽水中期，因水位下降变缓而开始偏离Theis曲线，说明越流已经开始进入抽水含水层。 这时，抽水量由两部分组成：一是抽水含水层的弹性释水，二是越流补给， 值由零进入有限值，即： 因此，越流含水层的降深小于无越流含水层的降深，而且随 增大(即 越大)，越流含水层的降深比无越流含水层的降深小得越多。

(3)抽水后期，曲线趋于水平直线，抽水量与越流补给量平衡，表示非稳定流已转化为稳定流。此时方程（4-33），当t→∞时，u→0，可简化成（3-33）式，即： 式中， 为虚宗量第二类Bessel函数（表4-16）。

与(4-16)式比较可以看出，越流含水层水位下降速度比无越流含水层慢。 2）水头下降速度 与(4-16)式比较可以看出，越流含水层水位下降速度比无越流含水层慢。 另外，与无越流含水层一样，当t足够大时，在一定的范围内，水位下降速度是相同的。 (4-36)

4.2.3 利用抽水试验资料确定越流系统的参数 1）配线法 用定流量抽水试验实测的lgs-lgt曲线与标准曲线lg -lgu的形状是相同的，只是其纵、横坐标彼此平移了lg 和 而已。 下面仅简单地写出其步骤： （1）在双对数坐标纸上绘制 标准曲线； （2）在另一同模数的透明双对数坐标纸上，投上s-t实测数 据； （3）在保持对应坐标轴彼此平行的前提下，相对移动两坐 标纸；在一组 标准曲线中找出最优重合曲线(图4-12)； （4）两曲线重合以后，任选一匹配点，记下对应的四个坐 标值 ， ，t，s。将它们分别代入（4-33）和（4-35） 式，可以计算含水层的参数T和μ*，

即： （5）已知 和r，可计算出B值和 值： 图4-12越流含水层的配线法

（a）取(4-33)对lgt的导数，由（4-36）式有 2) 拐点法 （1）原理 （a）取(4-33)对lgt的导数，由（4-36）式有 故有： 从(4-37)可看出，同一观测孔的s-lgt曲线的斜率变化规律是 由小到大，又由大变到小，存在着拐点。可以通过s对lgt的 二阶导数等于零来确定其位置。设拐点为P，则： (4-37)

将(4-39)式代回（4-37）式，得拐点处切线的斜率为： 故在拐点有： 解得拐点处的时间tp为： 相应的u值为： 将(4-39)式代回（4-37）式，得拐点处切线的斜率为： (4-38) (4-39) (4-40)

（b）求拐点处降深：把(4-39)式代入（4-33）式，得： 进行变量代换：设， 当y=0， 当 ， 则 (4-41) (4-42)

（4-43）式表明，拐点处降深等于最大降深的一半 （图4-13）。 将（4-41）式和（4-42）式相加，得： （4-43）式表明，拐点处降深等于最大降深的一半 （图4-13）。 (4-43) 图4-13 s-lgt曲线

（c）建立拐点P处降深sp与斜率ip之间的关系。用（4-40） 式除（4-43）式得： （4-44）式右端的值已列成表4-7 表4-7 的数值表（略） 应用上述原理，根据某一观测孔的观测资料绘出s-lgt曲线， 就可计算有关参数。 (4-44)

（2）步骤： （a）单孔拐点法，有一个观测孔时： ① 在单对数坐标纸上绘制s-lgt曲线，用外推法确定最大降深smax(图4-13)，并用（4-43）式计算拐点处降深sp ② 根据sp确定拐点位置，并从图上读出拐点出现的时间tp。 图4-13 s-lgt曲线

③ 做拐点P处曲线的切线，并从图上确定拐点P处的斜率ip。 ④ 根据（4-44），求出有关数值后，查表4-7确定 和 值 ⑤ 根据 值求B值： 按（4-40）式和（4-38）式分别计算T和 值： ⑥ 验证，因为图解出的smax和sp常有较大的随意性而引起 误差，所以进行验证是必要的。将所求得的参数代入（4- 33）式，并给出不同的t值，计算理论深降。然后把它同实 测降深比较，如果不吻合，则应重新图解计算。

当抽水时间不长，观测孔降深未趋于稳定，不知道或不可 能外推求出sm时，不能用上面介绍的方法。此时可利用下述方法求参数。 （b）多孔拐点法，有多个观测孔时： 当抽水时间不长，观测孔降深未趋于稳定，不知道或不可 能外推求出sm时，不能用上面介绍的方法。此时可利用下述方法求参数。 根据（4-40）式有： 两边同时取对数： (4-45)

式（4-45）表明，r与 呈线性关系。如有三个以上的观测 孔资料能绘制出r-lgip曲线时，可以用它来计算参数。 具体步骤如下： ① 绘每个观测孔的s-lgt曲线（图4-14），并从图上确定每条 曲线直线段的斜率近似地代替拐点处的斜率。 图4-15 r- 曲线 图4-14各观测孔的s-lgt曲线 图4-15 r- 曲线

② 根据各孔的斜率作r- 曲线（图4-15），应为一条直 线。取该直线的斜率，得： ③ 将r-lgip直线段延长交横轴于一点，读得r=0时的（ ）。 把它代入（4-45）式，得： ④ 将所求得的B、T代入(4-43)式，计算出不同观测孔的拐点 处降深：

利用从s-lgt曲线上读得tp值，然后按（4-38）式算出各孔的值： 最后取其平均值。 思考题： 式（4-33）的假设条件是什么?有何局限性?

§4.3有弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流 在层状含水层分布区一个含水层常被弱透水层覆盖或下伏 有弱透水层，形成双层或多层结构的含水层组。从含水层中 抽水时，会引起弱透水层弹性释水补给抽水含水层。当弱透 水层厚度较大时这种补给相当大，不能忽略不计。1960年 M.s. Hantush研究了这个课题。 4.3.1 基本方程 下面讨论考虑弱透水层弹性释水，而相邻含水层（如果有 的话）水头保持不变的越流系统的基本方程。其他假设条件 如下：

(1)含水层和弱透水层是均质各向同性和等厚的，产状水 平，分布无限.天然水力坡度为零。单井定流量抽水。 (2)含水层抽水时，能得到弱透水层弹性释水的补给。弱透 水层渗透系数与含水层渗透系数相比，要小的多(差两个数量 级以上)。因此可以认为，通过弱透水层中的水流是垂向运 动，而抽水含水层中则为水平径向运动，服从Darcy定律。 在上述假设条件下，含水层中地下水的运动应遵循(1-83) 式，相应地在弱透水层中地下水的运动服从(1-71)式。如果 越流强度改用降深表示，则由（1-82）式有： 式中， 分别为上、下弱透水层垂直方向的渗透系 数和水头。如整个方程组也改用降深表示，则有：

式中， 分别为抽水含水层、上弱透水层下弱透水层的贮水系数、导水系数和水位降深。 根据连续性原理，在抽水含水层的底板(即 z =m2处)和顶板 (即z =m2+M处)(图1-30)分别有： 常见的考虑含水层弹性释水补给而相邻含水层(如果有的话) 的水头保持不变的越流系统，主要有下列三种情况 （图4-16）：

图4-16 弱透水层弹性释水的三种情况（据Hantush） 第一种情况，与上、下弱透水层相邻的是两个定水头的含 水层； 第二种情况，与上、下弱透水层相邻的是两个隔水层； 第三种情况，与第一个弱含水层相邻的是定水头含水层，与另一个弱含水层相邻的是隔水层。 对于这三种情况，可以分别写出它们的微分方程和定解条 件。先看第一种情况。

上弱透水层： 抽水含水层：

下弱透水层： 第二种情况和第一种情况基本相同，只是将（4-48）和 （4-56）式分别以下式代替：

当 和 时，三种情况有相同形式的近似解： 第三种情况也和第一种情况基本相同，只是将式（4-56）用 下式代替： 上述定解问题，对于足够短的时间和足够长的时间有近似解。 (1) 抽水初期的解 当 和 时，三种情况有相同形式的近似解：

式中， B1,B2 分别为上、下两个弱水层的越流因素。 考虑弱透水层弹性释水时，越流系统的井函数 的值列于表4-8中。

式中， 为不考虑弱透水层弹性释水的越流系统的井函数（表4-5） （2）抽水时间较久时的解： 第一种情况：当 ，同时 时，其解为： 式中， 为不考虑弱透水层弹性释水的越流系统的井函数（表4-5） 第二种情况：当 ，同时 时，其解为： （4-62）

式中， 为无越流含水层的井函数（表4-1）； 第三种情况：当 ，同时 时，其解为： 式中， 为不考虑弱透水层弹性释水的越流系统的井 函数(表4-5)；

2 公式讨论 1）上面列举的是在一般情况下的解。如果在上述三种情况 的任何一个解中，令 就成了无越流补给的承压含水层的Theis公式。 在第一、第三种情况中，如果取 ，此 时(4-62)式和(4-64)式转化为(4-33)式，即不考虑弱透水层弹 性释水的越流系统。 2）在双对数坐标纸上绘制 标准曲线(图4-17)。由 （4-60）式有：

可知，曲线反映出s与t的关系，也反映出s与β的关系。 总的说来，s随着β的增大而减小。当β=0时，曲线和Theis曲线一致。这意味着： ①随着 和 的增大，s会减小。弱透水层的贮水系数增大，可以释放出更多的水，抽水含水层的降深就会相应地减小； ②随着r的增大，s会减小； ③随着越流因素B的减小，s也会减小。

图4-17考虑弱透水层弹性释水，越流系统短期抽水时的标准曲线 （据Walton）

3 利用抽水试验资料确定水文地质参数 根据抽水初期或短时间抽水的资料，利用配线法求参数的原理同前。 利用观测孔的全部观测资料，在双对数透明纸上绘出s-t曲线，把抽水初期的曲线（或短时间抽水的曲线）同标准曲线 （图4-17）重合; 记下匹配点的坐标 ; 代入公式（4-60），求出含水层的参数T和 。

对于长时间抽水，第一种情况〔(4-62)式〕和第三种情况利用配线法确定参数的原理和方法同有越流补给的相同，标准曲线都是用(图4-11)所示的曲线。 根据长期解的第二种情况〔（4-63）式〕，利用配线法确定参数和利用Theis公式的配线法相同。