光学信息技术原理及应用 (二) 常用函数 卷积与相关
学习内容: 复习脉冲函数(δ函数) (定义,性质,物理含义) 光学中几种常见的函数 矩形函数,阶跃函数,三角函数等
δ函数的概念和定义
空间δ函数的图示 x y z δ(x,y) x δ(x) δ(x+a) δ(x-a) a -a
δ函数的基本性质和物理意义
其它常用函数和傅立叶变换 矩形函数 rect(x) 1 -1/2 1/2 x
Sinc 函数 主瓣宽度: 2a 描述单缝和矩孔的夫琅和费衍射振幅分布, 其平方表示衍射光强 x Sinc(x/a) -a a 2a -2a -a a 2a -2a 3a -3a 主瓣宽度: 2a 描述单缝和矩孔的夫琅和费衍射振幅分布, 其平方表示衍射光强
梳状函数 Comb(x)=∑δ(x-n) (n=-∞-∞) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x Comb(x)
常用函数及其傅里叶变换(1) (1)常数c (2 )函数 (3)余弦函数 (4)正弦函数
常用函数及其傅里叶变换(2) (5)阶跃函数 用于表示开关 (6)符号函数 用于改变极性 (正负号)
常用函数及其傅里叶变换(3) (7)矩形函数 表示狭缝 (8)三角形函数 表示矩形光 瞳OTF
常用函数及其傅里叶变换(4) (9)梳状函数 用来表示光栅,抽样 (10)高斯函数 用于表示激光光束光强分布
卷积的定义 对于两个复值函数 和 , 其卷积定义为 式中*表示卷积运算。
卷积过程图示(1) 原函数 折叠 位移 相乘—得到被积函数
卷积过程图示(2)
卷积过程的两个效应 展宽 平滑化:被积函数经过卷积运算,其微细结构在一定程度上被消除,函数本身的起伏变得平缓圆滑。
卷积运算定理 1、交换律 2、分配律 3、结合律 这几个定律不难证明。
包含δ函数的卷积----函数的移位 任意函数和脉冲函数的卷积: 原点处的篩选性质有 任意函数和位于 处的脉冲函数的卷积得到 任意函数和位于 处的脉冲函数的卷积得到 这个性质有助于对于重复的物理结构的描述,如光栅、双缝等
卷积的物理意义----透镜的非相干成象 理想的物象关系是点点对应,物象共轭。 实际成象时产生一个弥散斑。由物点和附近的无数个点共同产生 如果每个点的贡献只与该点与物点的距离有关,与具体象(高斯物点所成的)的位置无关 像点的总光能表示为
相关运算 两个函数的互相关定义为: 与卷积的差别在于相关运算中后一个函数取复共轭,且不需要折叠,不满足交换律。互相关运算是两个函数间相似性的度量。 函数本身的自相关定义为 自相关有一个重要性质:它的模在原点处最大,即 这个性质常常用来作为图象(信号)识别的判据
互相关与自相关比较 互相关在两函数有相似性时出现峰值,自相关则会在位移到重叠时出现极大值