第二章 函 数 插 值 — 三次样条插值

什么是三次样条插值 给定插值节点 x0 , x1 , … , xn  [a, b] 及函数值 f(xk) = yk ， k = 0, 1, 2, …, n 求一个定义在 [a, b] 上的插值函数 S(x)，满足： 即二阶连续可导 插值条件： S(xk) = f(xk) = yk 在每个小区间 [xk, xk+1] 上是三次多项式

内容提要 三次样条插值 什么是三次样条函数 边界条件的处理 三次样条函数的计算 具体计算过程

三次样条插值 定义：设插值节点为 a = x0 < x1 < … < xn-1 < xn = b 若函数 S(x)C2[a,b]，且在每个小区间 [xk , xk+1]上是三次多项式，则称其为三次样条函数 如果同时还满足 S(xk) = f(xk) = yk ， k = 0, 1, 2, …, n 则称 S(x) 为 f (x) 在 [a , b] 上的三次样条插值函数

三次样条插值 怎样计算三次样条插值函数 S(x) 满足： sk(xk) = yk , sk(xk+1) = yk+1 ① S(x)C2[a,b]； ② 在 [xk , xk+1] 是三次多项式 ③ S(xk) = yk ， k = 0, 1, 2, …, n 其中 sk(x) 为 [xk, xk+1 ] 上的三次多项式，且满足 sk(xk) = yk , sk(xk+1) = yk+1 k = 0, 1, …, n-1

边界条件 ( k = 1, 2, …, n-1) 每个 sk(x) 均为三次多项式，有 4 个待定系数，所以共有 4n 个待定系数，故需 4n 个方程。前面已经得到 2n +2(n-1) = 4n-2 个方程，还缺 2 个方程！ 实际问题通常对样条函数在两个端点处的状态有要求，即所谓的 边界条件

常用的边界条件 第一类边界条件：给定函数在端点处的一阶导数，即 第二类边界条件：给定函数在端点处的二阶导数，即 当 时，称为自然边界条件， 此时的样条函数称为自然样条函数 第三类边界条件：若 f (x) 是周期函数，且 xn – x0 是一个周期，于是要求 S(x) 也是周期函数, 即满足

三次样条函数的计算 设 S”(xk) = Mk， k = 0, 1, 2, …, n 下面计算 S(x) 在 [xk, xk+1] 的表达式 sk (x) 由于 sk(x) 是三次多项式，故 sk”(x) 为线性函数，且 sk”(xk) = Mk , sk”(xk+1) = Mk+1 由线性插值公式可得 求积分，可得

三次样条函数的计算 将插值条件 sk(xk) = yk，sk(xk+1) = yk+1 代入，即可确定积分常数 c1 和 c2 。整理后可得 sk(x) 的表达式为 k = 0, 1, …, n-1 只需确定 M0, M1 , … , Mn 的值，即可给出 sk(x)的表达式，从而可以得到 S(x) 的表达式。

Mk 的计算 条件： 易知 k 6 f[xk-1, xk, xk+1] k dk

Mk 的计算 或 k = 1, 2, …, n-1

Mk 的计算 整理后得关于 Mk-1, Mk 和 Mk+1 的方程： k = 1, 2, …, n-1 其中 k = 1, 2, …, n-1 共 n-1 个方程，附加边界条件，补充两个方程后，即可确定 n+1 个未知量 M0, M1 , … , Mn

第一类边界条件 第一类边界条件： 直接代入 sk (x) 的一阶导数表达式即得 与前面的 n-1 个方程联立可得 n+1 阶线性方程组：

第二类边界条件 第二类边界条件： 直接可得 故前面方程中只含 n-1 个未知量，即可得 n-1 阶线性方程组:

第三类边界条件 第三类边界条件： 可得 其中 与前面的 n-1 个方程联立可得 n 阶线性方程组：

具体计算过程 上述三个方程都存在唯一解。 具体计算过程 (1) 根据插值条件和边界条件给出 M0, M1 , … , Mn 的方程组 (2) 解方程 (3) 将 M0, M1 , … , Mn 代入 sk(x) 的表达式， 写出三次样条函数 S (x) 在整个插值区间上的分段表达式

具体计算过程 三弯 矩方程

具体计算过程 注：需将 sk(x) 写成如下形式 sk (x) = a3(x - xk)3 + a2(x - xk)2 + a1(x - xk) + a0 Matlab 中三次样条插值函数 spline 输出的多项式是按上面的格式输出的！

插值举例 例 ：(教材 44 页，例 7) 函数 f (x) 定义在[27.7, 30] 上，插值节点及函数值如下 ，试求三次样条插值多项式 S(x) ，满足边界条件 S’(27.7)=3.0, S’(30)=-4.0 x 27.7 28 29 30 f(x) 4.1 4.3 3.0 ex28.m 解：(板书)

误差估计 误差估计（了解） 定理：设 f(x)  C4[a, b]，S(x) 为满足第一或第二类边界条件的三次样条函数，则 其中 证明：不要求

插值举例 例：(教材45页，例 8，上机) 函数 ，插值区间 [-5, 5]，取 11 个等距节点，试同时画出 10 次插值多项式 L10(x) 与三次样条插值多项式 S (x) 的函数图形 ex29.m

作业 1. 教材第 48 页：20（2），21 提示： 第 20 题：将 S(x) 在每个小区间上的表达式写成下面的形式