第六章 数值积分与数值微分
§1 数值积分问题的提出 定积分计算： 牛顿莱布尼兹公式： 此时，f(x)在区间【a,b】上连续，F(x)为f(x)的原函数。 插值法满足p(xj)=f(xj)(j=0,1,…,n) 原始数据点误差仍保留，插值函数复杂。 转换思路：不一定要求给定点完全插值，而考虑总体趋势上逼近原函数特性，使二者之间的偏差按某种方法度量达到最小。 好处：尽可能减少测试误差影响，关系函数尽量简化。
困难：
思路：避免找原函数，设想积分值最好能由被积函数的值直接决定。 积分中值定理： （1）左矩形公式： （2）中矩形公式： （3）右矩形公式：
定积分定义：将【a，b】作分割a=x0<x1<…<xn=b，记 ，则 （4）近似计算公式： 一般数值求积公式： 求积节点：xk 求积系数：Ak
机械求积法：直接应用被积函数f(x)在一些节点上的函数值的线性组合得出积分的近似值。 机械求积法分类：插值型和外推型
机械求积法几何意义：矩形面积近似代替曲边梯形面积。
§2 插值型求积公式 2.1 插值求积公式
2.2 梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式 插值求积公式的特殊情形/常用情形，即分别取n=1，2，4的情形。
几何意义：两矩形面积和近似代替原曲边梯形面积。 （1）梯形公式T(f) ： 几何意义：两矩形面积和近似代替原曲边梯形面积。 a b a+b 2
（2）辛卜生公式（Simpson）S(f) ：
几何意义：三矩形面积和近似代替原曲边梯形面积。
（2）柯特斯公式（Cotes）C(f) ：
几何意义：五矩形面积和近似代替原曲边梯形面积。
2.3 插值型求积公式的截断误差与代数精度
定理6.1 求积公式 至少具有n次代数精度的充分必要条件是该公式是插值型的，即
2.3 梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的截断误差
§3 复化求积公式
复化的出发点：减少求积区间长度对误差的影响，提高求积结果的精度。 复化的办法：将积分区间分为若干个小区间，每个小区间上应用基本求积公式计算，再将个小区间上的求积结果累加。
3.1 复化梯形公式
3.2 复化辛卜生公式
3.3 复化柯特斯公式
3.4 复化求积公式的阶 结论：复化梯形公式、复化辛卜生公式和复化柯特斯公式分别是二阶、四阶和六阶收敛的。
3.5 步长的自动选择 问题：加密节点可提高精度，但求积之前必须给出合适的步长，太大满足不了精度，太小增加不必要的计算，如何选择步长？ 办法：计算机自动选择，加逐次二分，反复求积，直至最后两次积分值的差满足精度要求为止。 理由：
§4 龙贝格求积公式 出发点：既发扬梯形公式的计算简单性，又显著提高其代数精度。
复化梯形公式的递推计算：
龙贝格求积过程的列表描述：
作业 P158习题6：第9题