§5 三 重 积 分 一、 三重积分的概念 二、 化三重积分为累次积分 三、 三重积分换元法 §5 三 重 积 分 三重积分的典型物理背景是求密度非均匀分布的空间物体的质量. 研究三重积分的方法和步骤与二重积分相似. 一、 三重积分的概念 二、 化三重积分为累次积分 三、 三重积分换元法 返回

一、 三重积分的概念 与二重积分相类似, 通过求一个空间立体 V 的质量 M 就可导出三重积分. 设 V 的密度函数为 为了求 V 的质量, 把 V 分割成 n 小块: 在每一小块 上任取一点 则 其中 为小块 Vi 的体积,

设 为一可求体积的有界区域, 是 定义在 V 上的有界函数.现用若干个光滑曲面所组 成的曲面网 T 来分割 V，它把 V 分成 n 个小区域:

定义1 对上述 若有一确定的实数 J, 对任给的正数 总存在某正数 使得对于V 的任 何分割 T, 只要 属于 T 的所有积分和都满足 则称 在 V 上可积, 并称数 J 为 在 V 上的三重积分, 记作

其中 称为被积函数, x, y, z 称为积分变量, V 称为积分区域. 当 在几何上表示 V 的体积. 三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性 质, 这里不再一一细述. 例如: (1) 有界闭域 V 上的连续函数必三重可积; (2) 有界闭域 V 上的有界函数 若其间断点

集中在有限个零体积的曲面 ( 可类似于零面积那样 定义 ) 上, 则 在 V 上必三重可积.

二、化三重积分为累次积分 1. 积分区域为长方体 定理21.15 若函数 在长方体 二重积分 上的三重积分存在, 且对任何 存在, 其中 定理21.15 若函数 在长方体 上的三重积分存在, 且对任何 二重积分 存在, 其中 则积分

也存在, 且 证 用平行于坐标面的平面网 T 作分割, 它把 分成 有限个小长方体 在 上的上、下确界.

， 现按下标 相加, 则有 及

上述不等式两边是分割 T 的上和与下和, 由于 f 在 V 上可积, 当 时, 下和与上和具有相同的极 限, 所以由 (2) 式得 在 上可积, 且 有时为了计算上的方便, 也可采用其他计算顺序. 2. 积分区域为 型区域 型区域 是指可以用以下方式表示的区域:

其中 是 在 平面上的投影, 是 上的连续函数. 此时有 同样地, 当区域 V 为 zx 型区域时, 即当 时, 有

又当区域 V 为 型区域, 即 类似地, 若 其中 是 在 轴上的投影, 是过点

作垂直于 轴的平面在 上的截面. 此时 类似地又有 注 俗称 为“先一后二”形式； 为 形式.使用时应根据实际情形来 “先二后一”

选择累次积分的合适顺序. 例1 计算 解 如图21-33 所示, V 在 xy 平面上的投影区域为 它是 x 型区域; 这里 所以由 公式 (3),

例2 求 其中 是椭球 体:

解 其中 这里 表示 椭圆截面 (垂直于x 轴): 或

由于 的面积等于 因此 同理可得

所以求得

三、三重积分换元法 与二重积分一样, 某些类型的三重积分经过适当的 变量变换后能简化计算. 设变换 把 uvw 空间中的区域 一对一地映成 xyz 空间中 的区域 V, 并设函数 及 它们的一阶偏导数在 内连续且函数行列式

于是与二重积分换元法一样,当 在 上可 积时,可以证明如下三重积分换元公式:

下面介绍几个常用的换元公式: 1. 柱面坐标变换 由于变换 T 的函数行列式

按 (5) 式, 三重积分的柱面坐标换元公式为 这里 为 在柱面坐标变换下的原象. 与极坐标变换一样, 柱面坐标变换并非是一对一的, 并且当 时, 但我们仍可证明 (6) 式成立. 在柱面坐标系中, 用 的平面分割 时, 变换后在 坐标系中,

是以 z 轴为中心轴的圆柱面, 是过 z 轴的半 平面, 是垂直于 z 轴的平面 (图21-34). 用柱面坐标计算三重积分, 通常是找出 V 在 xy 平面

上的投影区域 D, 即当 其中二重积分部分应用极坐标变换计算. 例3 计算 其中 V 如图 21-35 所 示,是由曲面 与 所围的区域. 解 V 在 xy 平面上的投影区域 D为 按柱

坐标变换, 区域 可表为 所以由公式 (6),

2. 球面坐标变换 如图21-36, 由于

所以在球坐标变 换下, 按公式(5), 三重积分的球坐标变换公式为 这里的 为V 在球坐标变换下的原象. 类似地, 球坐标变换并不是一对一的, 并且当 但仍然可以证明 (6) 式

成立. 在球坐标系中, 用 直角坐标系中， = 常数是以原点为心的球面, =常数是以原点为顶 点, 轴为中心轴的圆锥面, =常数是过 轴的半平 面.在球坐标系下, 当区域 为集合

时, (7)式可化为累次积分 例4 求由圆锥体 和球体 所确定的立体体积 (图21-37), 其中

为常数.

解 在球坐标变换下, 球面方程 可表示成 锥面方程 因此 由公式 (8) 求得 V 的体积为

除上面介绍的两种变换外, 下面再举一个例子, 进一 步说明如何根据被积函数或积分区域的特点来选择 其他不同的变换. 例5 求 所确定的区域. 解 作广义球坐标变换

于是 在上述坐标变换下, V 的原象为 由公式 (8), 有