§ 9.1常用数学软件简介及MATLAB基础知识 学习目标 教学建议 第九章 数学实验 § 9.1常用数学软件简介及MATLAB基础知识 § 9.2 MATLAB在微积分中的应用 § 9.3 MATLAB在线性代数中的应用 § 9.4 MATLAB在概率统计中的应用 § 9.5 利用MATLAB绘图

§9.2 MATLAB在微积分中的应用 一.建立符号变量 二.求符号函数在某一点的函数值 三.求符号函数的极限值 四.求符号函数的各阶导数(偏导数) 五.求符号函数的积分 六.求代数方程（组）的符号解析解 七.求符号函数的极值(最值)

一. 建立符号变量 MATLAB符号运算是通过符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。 一. 建立符号变量 在MATLAB中运算可粗略分为两类： 数值运算　 特点：工程运算　近似　广泛 符号运算　 特点：理论推导　精确　局限 MATLAB符号运算是通过符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。

一. 建立符号变量 1.符号常量与变量的设置(sym与syms). sym命令可将字母或者数字转换为符号变量或常量. a=sym('2'); 一. 建立符号变量 1.符号常量与变量的设置(sym与syms). sym命令可将字母或者数字转换为符号变量或常量. a=sym('2'); y=sym('pi'); z=sym('z'); 2. sym命令格式： 3.符号（精确）运算与数值（近似）运算结果的细微差别： 输入：sin(pi),数值计算结果： 1.224646799147353e-016 先设置pi为符号常量：y=sym('pi');计算sin(y),结果：

一. 建立符号变量 4.syms命令 对比： x=sym('x'); y=sym('y'); z=sym('z'); syms x y z 一. 建立符号变量 4.syms命令 对比： x=sym('x'); y=sym('y'); z=sym('z'); syms x y z 注意 1. sym是将字母或者数字转换为字符 ； 2. syms一次可以定义多个字母符号变量， 但需用空格隔开，不得使用，和'号。

练习 1 用两种方法建立符号变量与符号表达式并加以运算. 一. 建立符号变量 练习 1 用两种方法建立符号变量与符号表达式并加以运算. 解 在MATLAB命令窗，依次输入： clc，clear % 清屏；清除之前自定义变量 f=sym(‘3*x^2+5*y+2*x*y+6’) %定义符号表达式 syms x y n %声明x y n均为符号变量 z=x^2+sin(x*y^n) % 由符号变量组成新符号式 2*f -z+6 %组成另一新符号式 结果： f= 3*x^2+5*y+2*x*y+6 z= x^2+sin(x*y^n) ans = 5*x^2+10*y+4*x*y+18-sin(x*y^n)

说明 （1）可在%号后为程序加注释，它不参与运算，为了 程序共享或增加程序的可读性，重要注释不可缺少； （2）除直接运行程序文件，MATLAB命令均需在命令 窗依次输入，才能执行，以后的例题不再注明； （3）与数学习惯表达不同, MATLAB表达式中的乘号 “ * ”不可省略； （4）clear命令通常用于程序之初，避免后续计算受先前 自定义变量的影响.

二.求符号函数在某一点的函数值 命令格式：eval（y） 功能：求符号函数在某一点的函数值． 练习 2 求函数 在 处的值. 解 输入： 练习 2 求函数 在 处的值. 解 输入： syms x e ,y=e/(2-x)+sin(x), x=1;e=exp(1) % 给表达式中字母赋值 y1=eval(y) %求符号表达式y的数值计算结果并赋值给y1 结果： y =e/(2-x)+sin(x) e =2.7183 y1 =3.5598

三.求符号函数的极限值 命令格式：limit(f,x,a) 功能：求表达式f当x→a 时的极限． 练习 3 求下列表达式的极限 练习 3 求下列表达式的极限 步骤：一、设变量 　　　二、利用limit命令的规范格式求极限

练习 3 求下列表达式的极限 解 输入： syms a m x,f1=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a); l1=limit(f1,x,a) %求 (1)的极限l1 l2=limit(exp(x),x,-inf) %求(2) 的极限l2 l3=limit(tan(x),x,pi/2,'left') %求(3) 的极限l3 结果： l1 = a^(1/m)/a/m % (1)的极限 l2 = 0 % (2)的极限 l3 = inf % (3)的极限

用limit( )求表达式极限的规范格式： 数学表达式 命令格式 Limit (f ),或limit (f , 0)，或limit (f , x ,0) Limit (f , x , a) , 或 limit (f , a ) Limit (f , x , a , ′ left ′) Limit (f , x , a , ′right ′) Limit (f , x , inf) Limit (f , x , inf) Limit (f , x , -inf)

四.求符号函数的各阶导数(偏导数) 命令格式：diff(f,x,n) 功能：求函数 f 关于变量 x 的 n 阶导数(偏导数) 练习 4 求函数 的导数 步骤：一、设变量（输入表达式） 　　　二、利用diff命令的规范格式求导数

练习 4 求函数 的导数 解 输入： syms x y,y=sin(x*sqrt(x)); y1=diff(y), % 求函数y的导数y1 x=1;y1e=eval(y1) % 求函数y在x=1处的导数值y1e 结果： y1=3/2*cos(x^(3/2))*x^(1/2) y1e =0.8105

练习 5求下列函数的各阶导数(偏导数) 解 输入： syms x y,f1=x*cos(x); f13=diff(f1,x,3) %求(1)中3阶导数 z=x*exp(y)/y^2; %输入z的表达式 z2=diff(z,y) %求z对y的偏导数 z11=diff(z,x,2) %求z对x的二阶偏导数 z12=diff(diff(z,x),y) %求z先对x后对y的混合二阶偏导数 结果： f13 = -3*cos(x)+x*sin(x) z2 = x*exp(y)/y^2-2*x*exp(y)/y^3 z11 = 0 z12 = exp(y)/y^2-2*exp(y)/y^3

五.求符号函数的积分 (1) 求不定积分 命令格式1： int(f) 功能：求表达式f关于默认变量的不定积分． 命令格式2：int(f,x) 练习 6 求不定积分 解 输入： syms x,y=exp(3*x)*(sin(x));int(y) 结果： ans = -1/10*exp(3*x)*cos(x)+3/10*exp(3*x)*sin(x)

五.求符号函数的积分 (2) 求定积分 命令格式1：int(f,a,b) 功能：求表达式f关于默认变量在区间[a，b]上的定积分． 命令格式2：int(f,x,a,b) 功能：求表达式f关于变量x在[a，b]区间上的定积分． 练习 7 求定积分 步骤：求积分与求极限（导数）类似.

练习 7 求定积分 解 输入： syms x ,y1=1/x^2/sqrt(4+x^2); I1=int(y1,2,2*sqrt(3)) %求(1) I2=int(1/x/log(x),exp(1),inf) %求(2) 结果： I1 = -1/6*3^(1/2)+1/4*2^(1/2) I2 =inf

六.求代数方程（组）的符号解析解 命令格式：solve('方程1', … , '方程n','未知数1', …,'未知数n') 功能：求代数方程（组）的符号解析解． 练习 8 解方程组 解 输入： P1='x^2+x*y+y=3';P2='x^2-4*x+3=0'; [x,y]=solve(P1,P2) 结果： x = [ 1] y = [ 1] [ 3] [ -3/2]

七.求符号函数的极值(最值) 综合使用求导、解方程(组) 、求函数值命令即可. 练习 9 利用MATLAB解决§3.4的案例4. 解 输入： 解 输入： syms D C1 C2 Q E=C2*Q/2+C1*D/Q; %输入总费用E与批量Q的关系式 E1=diff(E,Q), %求存货总费用E关于批量Q的导数E1 Q0=solve(E1,Q) %解关于Q的方程,并赋值给Q0 结果： E1 =1/2*C2-C1*D/Q^2 Q0 =[ 1/C2*2^(1/2)*(C2*C1*D)^(1/2)] [ -1/C2*2^(1/2)*(C2*C1*D)^(1/2)]

练习 9 利用MATLAB解决§3.4的案例4.(续) 由实际意义, Q0不可能取负数, Q0 =1/C2*2^(1/2)*(C2*C1*D)^(1/2) , 继续输入： Q= 1/C2*2^(1/2)*(C2*C1*D)^(1/2);E0=eval(E) 结果： E0 =1/2*2^(1/2)*(C2*C1*D)^(1/2)+ 1/2*C1*D*C2*2^(1/2)/(C2*C1*D)^(1/2)