3.3.1 有理函数的积分法 1、有理函数 由两个多项式的商表示的函数. 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例 难点 将有理函数化为部分分式之和. 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

2、化有理函数为最简分式之和 （1）分母中若有因式 ，则分解后为 特殊地： 分解后为 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

（2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3、化真分式化为最简分式之和的待定系数法 例1 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例2 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例3 整理得 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例4 求不定积分 解 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例5 求不定积分 解 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 多项式； 讨论积分 令 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

记 则 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3.3.2 三角有理式的积分法 1、三角有理式 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 3.3.2 三角有理式的积分法 1、三角有理式 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

2、万能置换公式 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例6 求不定积分 解 由万能置换公式 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例7 求不定积分 解（一） 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

解（二） 修改万能置换公式, 令 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

比较以上三种解法, 可知万能置换不一定是最佳方法. 故在三角有理式的积分中，应优先考虑其它手段. 解（三） 可以不用万能置换公式. 结论 比较以上三种解法, 可知万能置换不一定是最佳方法. 故在三角有理式的积分中，应优先考虑其它手段. 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例8 求不定积分 解 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3、特殊变换 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例9 求不定积分 解 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例10 求不定积分 解 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例11 求不定积分 解 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例12 求不定积分 解 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3.3.3 简单无理函数的积分法 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号. 例13 求不定积分 解 令 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例14 求不定积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例15 求不定积分 解 先对分母进行有理化 原式 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3.3.5 小结与思考题1-3 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分（万能置换公式）. 3.3.5 小结与思考题1-3 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分（万能置换公式）. （注意：万能公式并不万能） 简单无理式的积分. 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

思考题 将分式分解成部分分式之和时应注意什么？ 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

思考题解答 分解后的部分分式必须是最简分式. 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

课堂练习题 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3.3 几类特殊函数的积分法（52）

课堂练习题答案 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3.3 几类特殊函数的积分法（52）

3.3 几类特殊函数的积分法（52）

*3.3.4 积分表的使用 （1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. *3.3.4 积分表的使用 （1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果. （4）不定积分公式表见《高等数学B》上册 　　（北师大数科院蔡俊亮等编）附录(II). 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例16 求 被积函数中含有 在积分表（一）中查得公式 4. 现在 于是 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例17 求 被积函数中含有三角函数 在积分表（五）中查得此类公式有两个 选公式 19. 将 代入得 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

例18 求 在积分表（三）中查得公式 31. 将 代入得 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这个公式叫递推公式. 例19 求 在积分表（五）中查得公式 7. 利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这个公式叫递推公式. 现在 于是 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

对积分 使用（三）中的公式 5. 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数. 说明 初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数. 例 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

课堂练习题 利用积分表计算下列不定积分： 3.3 几类特殊函数的积分法（52）

课堂练习题答案 3.3 几类特殊函数的积分法（52）