教材 清华出版社 张晓虹等,2007年9月版, 26元 数字信号处理基础

回顾与复习 Ｚ变换 信号与系统的分析方法有时域分析法和变换域分析法。 连续时间系统中，其变换域方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换； 回顾与复习　Ｚ变换 　　　信号与系统的分析方法有时域分析法和变换域分析法。 　　　连续时间系统中，其变换域方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换； 　　　离散时间系统中，其变换域方法是Z变换和傅立叶变换。对求解离散时间系统而言，Z变换是个极重要的数学工具，它可以将描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。

Ｚ变换的定义与收敛域 Ｚ反变换 Ｚ变换的基本性质和定理 序列的Ｚ变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 离散系统的系统函数、系统的频率响应

Ｚ变换的定义与收敛域 Ｚ变换的定义 　　　对于一个序列x(n)，它的Z变换定义为 　其中Z为一个复变量，上式定义的Z变换称为双边Z变换或标准Z变换，

Ｚ变换的收敛域 　　　由于x(n)的Z变换是一个无穷级数，就必然存在收敛和发散的问题，仅当级数收敛时才可将X(z)表示成一个闭合形式，按照级数理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和的条件，即 　使上式成立的所有Z值的集合称为X(z)的收敛域，不同形式的序列，其收敛域不同．

例：求序列　　　　的Ｚ变换，其中　　。 解： 　第一部分的收敛域为　　　，即　　　　；　　　　　第二部分的收敛域为　　　， 　即　　　。 　已知　　， 所以

Ｚ反变换 求Ｚ反变换的方法通常有： 围线积分法（留数法）、部分分式展开法、长除法 １、部分分式法 　　　求Ｚ反变换的方法通常有： 　围线积分法（留数法）、部分分式展开法、长除法 １、部分分式法 　一般X(z)是z的有理分式，可表示X(z)=B(z)/A(z)，B(z)和A(z)都是变量z的实系数多项式，且没有公因式，可以把X(z)分解为部分分式的形式，然后求出各部分分式的z反变换（基本Ｚ变换对的公式可查表),将各反变换相加即得到x(n)。

如果X(z)只有一阶极点，则X(z)展成 最好写成 A0、Am分别为X(z)在z=0、z=zm处极点的留数，即 如果X(z)中含有高阶极点， 设X(z)含有k个一阶极点，一个s阶极点zi，则X(z)展成 其中Br用下式确定

２、长除法 　　x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即 　 因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式，从而得到x(n)。 如果用收敛域判定x(n)是右边序列，则展开成负幂级数，为此X(z)的分子分母按z的降幂（或z-1的升幂）排列； 　　如果是左边序列，则展开成正幂级数，为此X(z)的分子分母按z的升幂（或z-1的降幂）排列。

例：用两种方法求　　　　　　　　的Ｚ反变换． 解：①部分分式法：

②长除法 由收敛域知x(n)是右边序列，所以X(z)按z的降幂排列 因此得出

Ｚ变换的性质和定理 １、线性 线性就是要满足比例性和可加性，若 则 　　线性就是要满足比例性和可加性，若 　　则 其中　　　　　　，　　　　　　，即线性组合后的收敛域为各个序列z变换的公共收敛域，如果这些组合中某些零点和极点相互抵消，则收敛域可能扩大。

２、序列的移位 　若序列x(n)的z变换为 　　则有 　　其中m为任意整数，m为正，则为延迟，m为负则为超前。 证： 　　对双边序列，移位后收敛域不会发生变化；但是单边序列在z=0或z=∞处收敛域可能有变化． 　　例如，Z[δ(n)=1]=1，在z平面处处收敛，但是Z[δ(n-1)]=z-1，在z=0处不收敛，而Z[δ(n+1)]=z，在z=∞处不收敛。

３、乘以指数序列（Ｚ域的尺度变换） 　　若 　　则 收敛域为　　　　　　　　　　　　　　　，可是复数。 　　此性质表明X(z)如果在z=z1处为极点，则X(a-1z)将在a-1z=z1 ，即z=az1处为极点。如果a为正实数，则表示z平面缩小或扩大，零极点在z平面沿径向移动；若a为复数，则在z平面上，零极点既有幅度伸缩，又有角度旋转，因此此性质是一种z域尺度变换。

４、序列的线性加权 若序列x(n)的z变换为 　　则 证明：由于z变换在其收敛域中处处解析 　　所以 通过递推可以证明： 式中

５、共轭序列 　　若 　　则 ６、翻摺序列 证：

７、初值定理 　 如果x(n)是因果序列，则有 证明：因为x(n)是因果序列，有 　　所以 ８、终值定理 如果x(n)是因果序列，且其z变换的极点除在z=1处可以有一阶极点，其它极点均在单位圆内，则有

９、有限项累加特性 　　设x(n)为因果序列，即x(n)=0,n<0,若 　　则 １０、序列的卷积和（时域卷积和定理） 　　若

１１、序列相乘（Ｚ域复卷积定理） 　　若 　　则 　其中C是哑变量v平面上，　　　　　的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单闭合围线。 １２、帕塞瓦定理 　　其中C是在　　　　　　　　　　　　公共收敛域内的一条闭合围线。

z变换与傅立叶变换的关系 傅立叶变换是拉普拉斯变换在s平面虚轴上的特例，即s=jΩ，因此有 因而单位圆上的z变换就是序列的傅立叶变换。 可得 因而单位圆上的z变换就是序列的傅立叶变换。

离散系统的系统函数， 系统的频率响应 系统函数的定义 一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h(n)来表示其输入输出关系，即 对等式两边取Ｚ变换得 　则 　将H(z)定义为线性移不变系统的系统函数，是单位抽样响应h(n)的z变换，即

因果稳定系统 因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为 一个线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和条件，即 　　因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为 　　一个线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和条件，即 　而z变换的收敛域由满足的那些z值确定，所以如果系统函数的收敛域包含单位圆|z|=1，则系统是稳定的。 因此，一个因果稳定的线性移不变系统的系统函数H(z)必须在从单位圆到∞的整个z域内收敛，即 也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。

一个线性移不变系统可以用差分方程来描述，其一般形式为 系统函数和差分方程的关系 　　一个线性移不变系统可以用差分方程来描述，其一般形式为 　若系统的起始状态为零，直接对上式取z 变换（利用移位特性），得

　　将两个多项式分别进行因式分解，得 　z=cm是H(z)的零点，z=dk是H(z)的极点，是由差分方程的系数ak和bk决定，除了比例常数K，系统函数完全由它的零点和极点来确定。 　要根据H(z) 唯一确定h(n)，必须同时确定系统的收敛域。例如对于稳定系统，其收敛域必须包含单位圆。

例：已知一线性移不变的因果系统差分方程为， 　　求系统的单位抽样响应h(n)，该系统是否稳定？ 解： 　　由题意知，系统是因果系统，因此h(n)为因果序列，H(z)的收敛域为圆外部区域， 即 　　所以 　　因为系统是因果的，收敛域为　　　，不包含单位圆|z|=1，因此系统是不稳定的。 　　

系统的频率响应 设系统的输入序列是频率为ω的复指数序列，即 线性移不变系统的单位抽样响应为h(n)，利用卷积 和，得到输出为 其中 　　设系统的输入序列是频率为ω的复指数序列，即 线性移不变系统的单位抽样响应为h(n)，利用卷积 和，得到输出为 其中 　是h(n)的傅立叶变换，称为系统的频率响应， 描述的是复指数序列经过线性移不变系统后，复振幅 （包括幅度和相位）的变化。 系统的频率响应正是系统函数H(z)在单位圆上的值， 即

当系统输入为正弦序列时，则输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度 加权，而输出的相位为输入相位与系统相位之和． 　　　当系统输入为正弦序列时，则输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度　　　　加权，而输出的相位为输入相位与系统相位之和． 证：设输入为 　　则输出为 　　由于h(n)是实序列，因此　　　满足共轭对称条件，也就是幅度为偶对称，相角为奇对称，即

IIR与FIR IIR:从离散时域来看,若系统的单位抽样(冲激)响应延伸到无穷长,称为无限长单位冲激响应系统.

例1：设一阶系统的差分方程为 　　求系统的频率响应． 解：将差分方程等式两端Ｚ变换，得： 　　这是因果系统，求出单位抽样响应为 　　则 　　幅度响应为 　　相位响应为 　　系统的极点在单位圆内，因此系统稳定．

jIm[z] Re[z] a -1 h(n)=anu(n) n 1 2 3 7 |H(ejω)| 0<a<1 π 2π ω arg[H(ejω)] 1/1-a -1<a<0 1/1+a π/2 π 3π/2 2π ω

例2：移动通信中的多径问题

例3 设兔子的寿命为10年且雌雄均等，若初始有两只兔子，兔子不死。当每对兔子两个月大的时候，每个月生一对小兔子。问n个月后有多少对兔子？ 解： y(n)=y(n-1)+y(n-2) y(1)=y(2)=1 y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0 Z-T并去掉Y（z）:

y(120)=5.3584e+024 y(60) = 1.5480e+012

作业 三根杆 64个碟子 把碟子从一个杆移到另一杆 要求：每次移动一个碟子，大的不能放到小的上。 问需要移动多少次碟子？ 假设一秒钟移动一次，问要多长时间才能完成任务？