第六章 数值微分 6.1 插值型数值微分公式 6.2 插值型数值积分
6.1 插值型数值微分公式 当 x 为插值节点 时，上式简化为 故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数 值进行近似计算，以便估计误差。 一般地 这类公式称为插值型数值微分公式。
6.1.1 常用的数值微分公式 给定两点上的函数值 这称为两点公式。
若给定三点上的函数值 则由 这称为三点公式，其中（ 6—4b ）又称为中点公式。
进一步由 可得计算公式
6.1.2 数值微分公式的误差分析 两点公式的截断误差为 这里 (6-6)
三点公式的截断误差为 (6-7) 这里
例 6.1 为计算 在 x=2 处的一阶导数值，我们可 选用中点公式 当计算保留四位小数时，得到计算结果。 而精确值为 ，可见当 h=0.1 时近似结果最 好，步长太大或太小计算效果均不好。
为估计二阶导数数值微分公式的误差，可设 f (x) 四阶连续 可微，故得 从而得到误差估计式
6.2 插值型数值积分 插值型数值积分的思想是： 若已知 则利用拉格朗 日插值多项式建立近似计算公式 这里 称为插值型求积公式， 称为求积节点， 称为求积系数，其和
6.2.1 牛顿柯特斯公式 则 ， N-C 求积公式表示为 Cotes 系数
特别地 这称为梯形公式； 这称为 Simpson 公式； 这称为 Cotes 公式。 对应于 情形的 Cotes 系数见表 6-1 （书 92 页） 。
6.2.2 复合求积公式 求积公式的稳定性分析：
复合求积的方法： 当取 m=1 时，称为复合梯形公式，简记为 T n 当取 m=2 时，称为复合 Simpson 公式，简记为 S n 当取 m=4 时，称为复合 Cotes 公式。
例 6.2 试利用表 6-3 的函数表，分别用复合梯形公式、复合 Simpson 公式和复合 Cotes 公式计算定积分 解
6.2.3 插值型求积公式的误差分析与步长减半算法 记 为采用插值型求积公式进行积分近似的截 断误差，则由多项式插值公式的误差估计式（ 6-1 ）得 因此，当 f(x) 为次数不超过 n 次的多项式时，插值型求积公 式精确成立，由此引出 “ 代数精度 ” 的概念。 定义 6.1 （代数精度） 若近似于定积分的数值积分公式 当且仅当 f(x) 为次数不高于 n 次的代数多项式时恒等于定积 分 I, 则称该数值积分公式的代数精度为 m （次）。 由定义知，插值型求积公式的代数精度至少为 n 。
定理 6.1 设 I n 为由 N-C 公式（ 6-10 ）计算生成，则当 n 为奇 数时， I n 的代数精度为 n ；当 n 为偶数时， I n 的代数精度为 n+1 ，且当 在区间 [a, b] 上连续时，我们有如下误差 估计式
特别地，
从而可得
为便于估计误差，实际计算时常常采用步长逐次减半的算 法，下面介绍其思想。 由 得 所以
因此，可先用 计算出 T 1 ，并把步长减 半算出 T 2 ，若 则 T 2 即为所求 的近似值，否则再把步长减半，算出 T 4 ， 根据式 6-18a) 进 行事后误差估计 ， 如此递推计算，直到某个 n 满足 为止 ，取 为所求的近似值，这就 是梯形公式的步长逐次减半算法。 类似地，可对 Simpson 公式和 Cotes 公式分别利用 （ 6-18b ）和（ 6-18c ）进行事后误差估计，建立步长逐次 减半的算法。
为减少计算量，需建立递推公式，现对复合梯形公式推导之。 这里 对应于新的步长， 对 应于新分点。
因此可建立梯形公式的步长逐次减半递推公式：
例 6.3 试用梯形公式的步长逐次减半算法计算定积分 使误差小于 。 解 一般的计算结果见表 5-4 。
6.2.4 龙贝格积分法 这说明收敛较快的 Simpson 步长减半序列 可由梯形公式的 步长减半序列 构造生成。
类似地， (6-20c) 称为龙贝格（ Romberg ）积分公式。按以上方法 可继续外推下去，建立如下收敛较快的外推算法 — 龙贝格积 分法（书 96 页）。
例 6.4 试用龙贝格积分法求解例 6.3 的定积分 使误差小于 用龙贝格积分法求解得到表 5-5 。 由于 ，故取 与例 6.3 比较可见，对于该积分采用梯形公式的步长逐次 减半算法计算所需乘除工作量为 ， 并需计算 个点上的函数值，而采用龙贝格积分法计算 则需要乘除工作量 ，与前者相同， 但只需计算 个点上的函数值，远远低于前者，因此，后者的 总计算量远远低于前者，龙贝格积分法的加速效果十分显著。 解