第八章 习题课 多元函数微分学

一 基本要求 1 理解二元函数的概念，会求定义域。 2 了解二元函数的极限和连续的概念。 3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导 数的求法。 4 掌握多元复合函数的微分法。 5 了解全微分形式的不变性。 6 掌握隐函数的求导法。

7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及 法线。 8 了解方向导数的概念和计算公式。 9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向 导数之间的关系。 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法 及最大（小）值的求法。

二 要点提示 （一）函数的概念 1. 点函数的定义： 设 是一个点集，如果对于每一点 变量 按照一定的法则总有确定的值和它 对应，则称 是点 的函数，记为 注意 1. 从一元函数推广 2. 多元函数与一元函数的区别

当 时， 为一元函数； 当 时， 为二元函数； 当 时， 为三元函数； … 当 时， 为 元函数。

2. 多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有 限次的四则运算和复合步骤所构成，可 用一个式子所表示的函数，称为多元初 等函数。 一切多元初等函数在其定义区域内是连 续的。

（二）偏导数与全微分 1 ．偏导数 （ 1 ）定义：偏导数是函数的偏增量与自变 量增量之比的极限。

（ 2 ）计算 求多元函数的偏导数实际上是一元函数 的微分法问题，对一个变量求导，暂时将 其余变量看作常数。 2 ．全微分 微分公式：

（三）多元函数连续﹑偏导存在与可微之 间的关系 一元函数：可导 函数可微， 一元函数：可导 连续， 多元函数：偏导数连续 函数可微 多元函数连续 函数的偏导数存在。

（四）多元函数微分法 1 ．多元复合函数求导法 （ 1 ）链式法则 链式法则的实质是函数必须对中间变 量求导。依据函数的复合结构，可按照 “ 连线相乘，分线相加 ” 的原则来进行 。

设 则 是 的复合函数.

称为全导数. 求多元复合函数偏导数的关键在于弄清 函数的复合结构, 它可用 “ 树形图 ” 来表示.

注意：

2 ．隐函数求导法： 方法 1 对方程两端求（偏）导数，然后解 出所求（偏）导数 方法 2 隐函数的求导公式： 设 是由方程 所确定的隐函数，则

（五）微分法在几何上的应用 1 ．空间曲线的切线及法平面 （ 1 ）设空间曲线： 是曲线上一点，其相应 的参数为 ，则曲线在点 处切向量为

曲线在点 处的切线方程为 曲线在点 处的法线方程为

若曲线的方程表示为 则在点 处切向量为

2 ．曲面的切平面及法线 （ 1 ）设曲面方程为（隐函数形式） 为曲面上一点 ，则曲面在 点 处 的法向量为

切平面方程为 法线方程为

（ 2 ）若曲面方程为（显函数形式） 则可写为隐函数形式 曲面上 点的法向量为

（六）方向导数与梯度 1. 方向导数的定义 2 ．计算公式：若 可微，则 其中 为 轴正向到方向 的转角

若 可微, 则 其中 ﹑ ﹑ 为方向 的方向角。 注意 : 方向导数存在 偏导数存在

3. 梯度： 设 在平面区域 D 内具有一阶连续 偏导数，则对于每一点 ，向量 称为 在点 的梯度。 梯度与方向导数的关系： 梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致， 而它的模为方向导数的最大值。

（七）函数的极值﹑最大值和最小值 1 ．极值的必要条件： 若 在点 处有极值，则 这时称 为驻点。 驻点不一定是极值点

2 ．充分条件： 设 在驻点 的某邻域内有 连续的二阶偏导数，记 （ 1 ）当 时， 是极值。 ，极小值； ，极大值； （ 2 ）当 时，不是极值； （ 3 ）当 时，不能确定。

3 ．条件极值：函数 在条件 下的极值称为条件极值。 拉格朗日函数为 求条件极值的方法： (1) 可将条件代入函数，转化为无条件极值问题； (2) 可以用拉格朗日乘数法。

4 ．函数的最大值和最小值 求函数在有界区域上的最大值和最小值的方法 1. 求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在 的点的函数值， 2. 求出在的边界上可能的最大值﹑最小值, 3. 比较大小，其中最大者就是最大值，最小者 就是最小值。 在实际问题中往往可根据问题本身的性 质来判定驻点是否是最值点。

三 例题分析 （一）求定义域和极限 讨论极限

答案 : (1) 令 (2) 设 沿直线趋近于 (0,0) 极限不存在

（二） 求偏导数和全微分 : 1. 求一阶偏导数及全微分. 2. 求 3.

答案

具有连续偏导数，求偏导数.

答案 :

（三）曲线的切线和法平面、曲面的切平 面和法线曲线的切线和法平面 1. 求曲线 在点 处的切线方程及法平面方程. 2. 作一平面与直线 垂直且 与球面 相切.

答案： 1. 方程组 确定隐函数 即曲线 ，其切向量为 切线方程： 法平面方程：

2. 设切点为 则法向量为 : 所求平面的法向量 方法 1 所求平面设为 由点到平面的距离公式，有 所求平面：

方法 2 代入曲面，得 所求方程为 即

解

（四）多元函数的极值和最值 将正数 分成三个正数 之和, 使 得 最大. 方法 1 得唯一驻点 : 由题意知结论.

方法 2. 用拉格朗日乘数法, 设拉格朗日函数 : 令 解得 由题意即为所求.

解

5. 设 具有二阶偏导数, 练 习 题练 习 题

附练习：关于多元复合函数的偏导数 : 例 1 设 求 解 同理,

例 2 设 求 解

幂指函数 幂指函数的求导公式 : 将幂指函数当作幂函 数求导加上将幂指函数当作指数函数求导. 例 可与对数求导法对比.

例 4 设 解设 则

例 5 设 求 解 注意区别 与

例 6 设 具有二阶偏导数, 解设 这里 仍是以 为中间变量的函数, 且与函 数有相同的复合结构, 故对它们求偏导要按复合函 数求导法则.

记

补充练习 1. 求 2. 二阶可导，求 3. 可导求 4. 求 5. 求

补充题参考答案 设

其中

3. 或

4. 设

5. 解 1 取对数求导法 解 2 求导公式