1 、不定积分的概念与性质 2 、不定积分的计算 2.1 第一换元积分法 2.2 分步积分法 3 、定积分的概念与计算 第六章 一元函数积分学

教学要求 ⒈理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质，会求当曲线的 切线斜率已知时，满 足一定条件的曲线方程，知道不定积分与导 数（微分）之间的关系． ⒉熟练掌握积分基本公式．熟练掌握不定积分的直接积分法． ⒊掌握不定积分的第一换元积分法（凑微分法）． 注意：不定积分换元求出原函数后要还原成原变量的函数． ⒋掌握分部积分法．会求被积函数是以下类型的不定积分： ⑴幂函数与指数函数相乘， ⑵幂函数与对数函数相乘， ⑶幂函数与正（余）弦函数相乘； 本章重点：不定积分、原函数概念，积分基本公式、不定积分的凑微 分法和分步积分法 本章难点：原函数概念，凑微分法 教学要求、重点、难点

第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 例

原函数存在定理：连续函数一定有原函数. (2) 原函数之间的关系 :  一个函数的原函数有无穷多个，而且任意两个原函数之间  只差一个常数． 所以只要求出 f(x) 的一个原函数 F(x) 再加常  数 C ，即 F(x)+C, 就能得到全体原函数．

例 求 解

注 : 求导数与求不定积分是互逆运算

实例 由于积分运算和微分运算是互逆的，因此 可以根据求导公式得出积分公式。 二、 基本积分公式

基本积分公式基本积分公式 是常数 );

例 求积分 解

（此性质可推广到有限多个函数之和的情形） 三、 不定积分的性质（积分法则）

例 ：求例 ：求 解：原式 注： 被积函数有时需要进行恒等变形，再使用基本积分表.

一、 “ 凑 ” 微分法 --- “ 复合函数的积分 ” 例1：例1： 形式上 “ 凑 ” 成能由不定 积分公式求出的积分 ! 例 2. 第二节 不定积分的计算 凑微分 换元 利用公式积分回代

第一换元积分法（凑微分法） —— 复合函数的积分 步骤： 1 ）确定中间变量 u ，并凑微分 2 ）换元 3) 利用积分公式求积分 4 ）回代 常用的凑微分形式：（见导学 60 页） （1）（1） （2）（2） （3）（3） （4）（4） （5）（5） 例题 1例题 1 例题 2 例题 3 例题 4 例题 5 练习 1 练习 2 例题 2 例题 3 例题 4 例题 5 练习 1 练习 2

二、分部积分法 —— 两个函数乘积的积分 移项得 作不定积分运算, 即得 称之为 分部积分公式. 改写 转化 注. 不能直接求

分步积分法 —— 两个函数乘积的积分 公式： 内容讲解 * 分部积分公式的推导 内容讲解 * 分部积分公式的推导 在分步积分公式中要分清哪个函数作为 u, 哪个函数作为 。分步积分计 算中，被积函数主要有以下几种类型 : （ 1 ）幂函数 X 指数函数 ； 幂函数 X 正（余）弦函数 取 （ 2 ）幂函数 X 对数函数 取 先设出 u ， ，再用列表法求解，表示如图： u V

解： 例.例.

一、 问题的提出 二、 定积分的定义 三、 定积分的几何意义 四、 定积分的计算 第三节 定积分的概念与性质

1 求平面图形的面积 一、问题的提出 会求梯形的面积， 曲边梯形的面积怎样求？若 会，则可求出各平面图形的面积。 考虑如下曲边梯形面积的求法。 a b x y o

a b x y o a b x y o 思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。 一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲 边梯形面积． （四个小矩形）（九个小矩形） 用矩形面积近似曲边梯形面积：

求曲边梯形面积的步骤： 1) 大化小. 在区间 [a, b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形 ; 2) 常代变. 在第 i 个窄曲边梯形上任取 作以为底, 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积得

3) 近似和. 4) 取极限. 令则曲边梯形面积

2. 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, 且 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤 : 1) 大化小. 将它分成 在每个小段上物体经 2) 常代变. 得 已知速度 n 个小段 过的路程为

3) 近似和. 4) 取极限. 总趋于确定的极限 I, 则称此极限 I 为函数 在区间 记作

二、定积分的定义 定义

记为 积分上限 积分下限 积分和

三、定积分的几何意义 : 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和

四 定积分的计算 定积分的分部积分法 不定积分 定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法

牛顿 - 莱布尼兹公式 1 、 N-L 公式：若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，即有不定积分 成立，则 的定积分为： 对于 N­­-L 公式作几点说明： 1 ）定积分是一个确定的数值，它不依赖于对原函数的选取，即 : 若 G(x) ， F(x) 均 为 f(x) 的原函数，则 2) 定积分与积分变量选取的字母无关 3) 把 b 换成 x ，就是一个变上限定积分 4 ）性质：

定积分的计算 1 、第一换元积分法（凑微分法） 说明：积分法与不定积分的凑微分法类似。不同之处在于定积分的计算结果是一个具体的数值，与 上下限有关，所以关于定积分的第一换元积分法要遵循 “ 换元变限，不换元不变限 ” 的原则。 例题 1 例题 2 跟我练习 例题 1 例题 2 跟我练习 2 、分部积分法定积分的分部积分法 公式：定积分的分部积分法 说明：分部积分法与不定积分的分部积分法除了有上下限外，形式上是一样的 例题 1 例题 2 例题 3 例题 1 例题 2 例题 3 3 、变上限定积分的计算 跟我练习 跟我练习 4 、广义积分：形如 练习 5 、奇偶函数在对称区间上的积分： 若 f(x) 为奇函数，则 ；若 f(x) 为偶函数，则 举例