第四节 多元复合函数的求导法则 在本节中, 我们把一元函数微分学中复合函数的求导法则推 广到多元复合函数的情况. 下面按照多元复合函数不同的复合 情形, 分三种情形讨论. 1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形. 定理 1. 如果函数 u=φ(t) 及 v=ψ(t) 都在点 t 可导, 函数 z=f(u,v) 在 对应点 (u,v) 具有连续偏导数, 则复合函数 z=f[φ(t), ψ(t)] 在点 t 可导, 且有

其中除以△ t, 得到 证明 : 在区间 I 内任取一点 t, 设 t 取得增量△ t 后,t+ △ t ∈ I, 由上 讲定理知, 函数 z=f(u,v) 在点 (u,v)=(φ(t), ψ(t)) 处可微, 故有

又因点 t 是区间 I 内任意取定的一点, 因而复合函数在 I 内可导, 且 (1) 式成立. 公式 (1) 称为全导数公式, 称为全导数

这个公式可以推广到复合函数的中间变量多于两个的情形, 例如设 z=f(u,v,w),u=φ(t),v=ψ(t),w=ω(t), 复合而得到复合 函数 z=f[φ(t),ψ(t),ω(t)] 则在与定理类似的条件下, 这函数在 区间 I 内可导, 且 其导数为 例 1 设 z=u v (u>0,u≠1), 而 u=u(t),v=v(t) 均可导, 求

对 z=u v 我们曾经用对数求导的方法 现在我们利用复合函数的求导, 方法要简单. 例 2 已知 z=u 2 v 2, u=asint,v=bcost, 求

例 3 设 z=uv+sint, u=e t, v=cost, 求 全导数实际上是复合一元函数的导数, 在这里是借助偏导数来 求全导数. 2. 复合函数的中间变量均为多元函数 的情形

与定理 1 类似, 我们给出下列定理 定理 2 设 z=f(u,v),u=φ(x,y),v=ψ(x,y) 若 z=f(u,v) 具有连续偏 导数,u=φ(x,y) 及 v=ψ(x,y) 都有对 x 及对 y 的偏导数, 则复合二 元函数 z=f[u=φ(x,y),v=ψ(x,y) ] 的两个偏导数存在, 且 这种复合函数的导数和全导数的情形没有本质区别, 在求 时把 y 看作常量, 由公式 (1)

不同的是, 这里由于复合函数 z= f[u=φ(x,y),v=ψ(x,y) ] 及 u=φ(x,y),v=ψ(x,y) 实际上都是 x,y 的二元函数, 因此要把 (1) 中 的导数记号换成偏导数记号. 类似地, 设 z=f(u,v,w) 具有连续偏导数, 而 u=φ(x,y),v=ψ(x,y), w=ω(x,y) 都具有偏导数, 则复合函数 z=f[φ(x,y),ψ(x,y),ω(x,y)] 有对 x,y 的偏导数, 且

3. 复合函数的中间变量即有一元函数, 又有多元函数的情形 定理 3. 如果函数 u=φ(x,y) 在点 (x,y) 具有对 x 及对 y 的偏导数, 函 数 v=ψ(y) 在点 y 可导, 函数 z=f(u,v) 在对应点 (u,v) 具有连续偏导 数, 则复合函数 z=f[φ(x,y),ψ(y)] 在点 (x,y) 的两个偏导数存在, 且 有

上述情形实际上是情形 2 的一种特例, 即在情形 2 中, 如变量 v 与 x 无关 了. ; 在 v 对 y 求导时, 由于 v 是 y 的一元函数, 故 换成 从而 在情形 3 中, 还会遇到这样的情形 : 复合函某些中间变量本 身又是复合函数的自变量. 例如, 设 z=f(u,x,y) 具有连续偏 导数, 而 u=φ(x,y) 具有偏导数, 则复合函数 z=f[φ(x,y),x,y] 可 看作情形 2 中当 v=x,w=y 的特殊情形, 因此 就得到此结果

从而复合函数 z=f[φ(x,y),x,y] 具有对自变量 x 及 y 的偏导 数, 且由公式 (5),(6) 得到 注意 : 这里 中的 y 看作不变而对 x 的偏导数, 是把 f(u,x,y) 中的 u,y 看作不变而对 x 的偏导数, 与 z=f[φ(x,y),x,y] 是把复合函数 是不同的, 与 也有类似的区别

结合上面的情形, 我们可知道多元复合函数的求导法则可 有下面几种情形 z---u x y

z x u x w uvuv xyzxyz

这里应该注意,(*) 式中的 z uvxuvx xyxy 对自变量 x 求偏导数 ; 而 是函数 f(u,v,x) 对其第三变元 ( 相当于中间变量, 即把 u,v,x 看 成相互独立的变量,u,v 在这里不是 x 的函数 )x 求偏导数, 二者一 般不相同. 是复合函数 是不同的, 与

上面的计算公式不必刻意去记, 但要彻底理解. 注意到以下 几点有助于理解并写出上述公式, 并在解题中自如地应用. (1) 用图示法表示出函数的复合关系. 如 z uvxuvx xyxy

(2) 函数对某自变量的偏导数之结构 1). 项数 = 中间变量个数 (u,v,x)3 个 → 三项. 2). 每一项 = 函数对中间变量的偏导数 × 该中间变量对其指 定自变量的偏导数 (3) 一般情况, 函数 z 对中间变量 u,v,w 的偏导数 仍然是以 u,v,w 为中间变量,x,y 为自变量的复合函数, 对 它们求偏导数时须重复使用复合函数求导法. (4) 对于抽象函数在求偏导数时, 一定要设中间变量. 例如

例 4 设 z=arctgv, u=cos(xy),v=x+y, 求 z u v x y 和

例 5 设 z=f(u,x,y) 具有连续偏导数, 而 u=φ(x,y) 具有偏导数, 求复合函数 z=f(φ(x,y),x,y] 对 x 及 y 的偏导数.

是 f[φ(x,y),x,y] 中的 y 看作常量, 而对自变量 x 求偏导数 ; 是把 f(u,x,y) 中 的 u,y 看作常量而对中二者也是不同的. 间变量 x 求偏导数 另外和 也有类似的区别. 例 6 设 求 分析 : 若直接引入中间变量设 根据规则, 得到 注意 : 这里 与

是把 f[φ(x,y),x,y] 中的 y 看作常量, 而对自变量 x 求偏导数 ; 另外和 也有类似的区别. 例 6 设求 注意 : 这里与 是不同的 是把 f(u,x,y) 中的 u,y 看作常量而对中. 间变量 x 求偏导数

这样做使得函数关系复杂化, 而先用乘法公式, 再用复合函数求 偏导数公式可使问题简单化. 解答 先用乘法公式 然后对 [f(x 2 -y 2,xy)] ’ x 用复合函数求偏导数公式, 设 u=x 2 -y 2, v=xy

例 7 设 z=f(y,xy), 其中 f 具有二阶连续偏导数, 求

三. 多元复合函数的全微分 设 z=f(u,v),u=φ(x,y), v=ψ(x,y), 则 z 通过中间变量 u,v 是 x,y 的函 数, 若 f,φ,ψ 都可微, 则由全微分公式, 有

由 (1),(2) 知, 不论 u,v 是自变量还是中间变量,(2) 式总是成立, 这 个性质叫全微分形式的不变性. 多元函数具有一阶微分形式 的不变性. 它是一元函数相应性质的推广. 利用这一性质可以 证明公式或计算导数与微分, 特别当函数结构复杂时, 更方便. 例 8 利用全微分形式的不变性, 求函数 w=f(xy,yz,zx) 的全微分 和偏导数.