第八章 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个方程所确定的隐函数 及其导数 隐函数的微分法
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数. 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数 ; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数 ; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理 1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x), 并有连续 ( 隐函数求导公式 ) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数 ; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数
两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 1. 验证方程 在点 (0,0) 某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解 : 令 连续, 由 定理 1 可知, ① 导的隐函数 则 ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求
定理 2. 若函数 的某邻域内具有连续偏导数, 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x, y), 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下 : 满足 ① 在点 满足 : ② ③ 某一邻域内可唯一确 机动 目录 上页 下页 返回 结束
两边对 x 求偏导 同样可得 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 2. 设 解法 1 利用隐函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解法 2 利用公式 设 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 3. 设 F( x, y) 具有连续偏导数, 解法 1 利用偏导数公式. 确定的隐函数, 则 已知方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故
内容小结 1. 隐函数存在定理 2. 隐函数 求导方法 方法 1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法 2. 代公式 思考与练习 设求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 课外作业 P ， 3 （ 1 ）（ 2 ）， 5
提示 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解法 2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数. 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 由 d y, d z 的系数即可得