经济数学 第四章 不定积分

4.1 不定积分的概念与性质 4.2 不定积分的性质 4.3 不定积分的换元积分法 4.4 不定积分的分部积分法

§4.1 不定积分的概念 原函数 已知某商品总收入的变化率为 ， 求总收入函数 ．这是与求导数相反的问题． 定义 4.1 设 是定义在某区间的已知函数， 若存在 ，使得 则称 为 的一个原函数

因为 ，所以 是 的一个原函数， 但 ，所以 的原函数 不是唯一的． 说明： 1 ．原函数的存在问题：如果 在某区间连续， 那么它的原函数一定存在（将在下一章证明）. 2 ．若 存在原函数，则原函数不是唯一。 定理 4.1 若 是 的一个原函数，则 是 的所有原函数，其中 为任意常数．

证 : 由于 又 所以 函数族 中的每一个都是 的原 函数 ． 另一方面，设 是 的任一个原函数， 即 ．则 所以 ，或 ，此即 的 任一原函数均可写成 的形式．

二、不定积分 定义 4.2 函数 的全体原函数叫做 的不定积分, 记为 ． 其中 “ ” 叫做积分号， 叫做被积函数， 叫做 积分变量， 叫做被积表达式． 由定理 4.1 知，若 是 的一个原函数, 则 其中任意常数 称为积分常数．

例 1 求不定积分 解 例 2 求不定积分 解 时， ，又 时， ．

函数 f (x) 的原函数图形称为 f (x) 的积分曲线, 不定积 分表示的不是一个原函数, 而是无穷多个 ( 全部 ) 原函数, 通常说成一族函数, 反映在几何上则是一族曲线, 这族曲 线称为 f (x) 的积分曲线族 不定积分的几何意义 在相同的横坐标处, 所有积分曲线的斜率均为 k, 因 此, 在每一条积分曲线上, 以 x 为横坐标的点处的切线 彼此平行（如图）. f (x) 为积分曲线在 ( x, f (x)) 处的 切线斜率.

例1例1 设曲线通过点 (2,3), 且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程. 因此所求曲线的方程为 解 设所求的曲线方程为, 依题意可知 把（ 2 ， 3 ）代入上述方程，得 C=1

4.2.1 不定积分的性质 性质 1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面. 性质 2 可以推广到有限多个函数的情形，即 性质 2 两个函数的和 ( 或差 ) 的不定积分等于各函数 不定积分的和 ( 或差 ) ，即

4.2.2 不定积分的基本积分公式

例 1 计算下列积分 解

例 2 计算下列积分 解 (1) (2)

4.3.1 第一类换元法 例 原因在于被积函数 cos 2x 与公式 中的被积 函数不一样. 如果令 u=2x ，则 cos2x=cos u ， d u=2dx ，从 而 所以有 ？ 分析 4.3 换元积分法

综合上述分析，此题的正确解法如下：

解

于是类似于例 1 ，可作如下变换与计算： 例 2 求不定积分 ． 分析 注意到被积式中含有 项，而余下 的部分恰有微分关系： 同样可验证计算结果是正确的． 一般，我们有如下的换元积分法 : 定理 4.1 若 是 的一个原函数，则

证明 : 令 ，根据复合函数的微分法，得 因此，由不定积分的定义就得到了定理中的公式． 利用第一换元积分法（也叫凑微分法）计算积 分的一般程序为：

解 被积函数中的一个因子为 余下的因子 恰好是中间变量 的导数，于是有 例 3 求不定积分 ．

例 4 求 解 例 5 求 类似地，有 解

例 6 求不定积分 解 设 ，则 ．于是 说明：在对变量代换发方法熟悉后，可略去中间 的换元步骤，直接凑微分后积分即可 例 7 求不定积分 解

例 8 求不定积分 解

例 9 求不定积分 解 一些常用的微分式：

第一换元积分法是选择新的积分变量 ， 但对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令 ，把作为新的积分变量，才能积出来．即 这种方法叫做第二换元积分法． 第二换元积分法

使用第二换元积分法的关键是恰当地选择 变换 ．对于 ，要求其单调、可 导，且其反函数 存在 ． 例 1 求不定积分 则 代入后，得 解 为消去根式，令 即

可以看出：若被积函数中含有一个被开方 式为一次式的根式 时，令 ，可 以消去根式，从而求得积分． 若被积函数含有被开方式为二次式的根式时， 可使用三角代换消去根式． 一般地，当被积函数含有 （ 1 ） ，可作代换 ； （ 2 ） ，可作代换 ； （ 3 ） ，可作代换 ．

例 2 求不定积分 令 于是 解 由 得 及 所以

例 3 求不定积分 解 令 则 ． 由 得 ， 于是 故

补充的积分公式：

证明 : 由公式 §4.4 分部积分法 分部积分公式也可写成 : 得 对上式两边积分, 并应用不定积分的性质 3 及性质 2 即得分部积分公式 定理 4.2 设函数具有连续的导数，则有下列 分部积分公式：

分部积分公式的意义在于, 它可以将求 的积 分问题转化为求 的积分，当后者容易求出时， 分部积分公式就起到了化难为易的作用． 运用好分部积分法的关键是恰当地选择好 和 其选择原则： (1) 要从 中容易求得 ； (2) 要比 容易积出． 例１ 求不定积分

例 2 求不定积分 解 : 例 3 求不定积分 解 :解 : 解 :

例 4 求不定积分 解 :解 : 注意 : 该例表明，有时要多次使用分部积分法， 才能求出积分结果．

将再次出现的 移到左端，并合并后除 例 5 求不定积分 解 :解 : 以 2, 得所求积分为

例 5 的求解，用两次分部积分后出现了 “ 循环现 象 ” ，这时所求积分可用解方程的方法求得． 总结：下述几种类型的积分，均可用分部积分 法求解，且 、 的设法有规律可循． （ 1 ） （其中 、 为常数，且 为自然数 ), 可设 （ 2 ） ( 为自然数 ) 可设 ； （ 3 ） （其中 为常数） 可设

解：令 ，则 ．因此 例 6 求不定积分

含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。 定义一 4.5 微分方程初步 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶 一阶微分方程的一般形式是 二阶微分方程的一般形式是

注：在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现 例：

定义 3 能使微分方程成为恒等式的函数 叫做微分方程的解． 其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的 积分曲线． 例如，是方程的一个解． 我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原 函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个 解．

4.5.2 可分离变量的微分方程 形如 f (x)dx + g(y)dy = 0 （ ） 定义： 的一阶微分方程叫做变量已分离的微分方程。 如果微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)=0 (4.5.2) 中左端的函数 M(x,y) 、 N(x,y) 都可以分解为两个因子的积， 并且这两个因子中一个只含有变量 x, 另一个只含有变量 y ， 即上述方程可以表为 去除这个方程的两边，上式就可化为 以

（ ） 将（ ）式两边积分后， （ C 为任意常数） 可验证，此结果即用隐式给出的方程（ ）的通解． 个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上。 约定 : 在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一

例 1 求微分方程 解 移项、积分 得 例 2 求方程 的通解 解 分离变量，得 两边积分，得通解

例 3 求微分方程满足初始条件 的特解． 解 此为可分离变量的微分方程 分离变量后得 两端积分，得 即故所求特解为 由初始条件 得

4.5.3 一阶线性微分方程 特征 如果 q ( x )=0, 则 (9.3.1) 变为 （ ） 称为一阶线性齐次方程． 的微分方程，称为一阶线性微分方程． （ ）定义 形如

（ ）式称为一阶线性非齐次方程． 下面介绍利用参数变易法求方程（ ）的通解． 的通解． 首先求方程（ ）所对应的齐次线性方程（ ） （ ）是变量可分离的方程，容易求得它的通解 即

于是 把它们代入方程（ ），得 故（ ）式的通解为 （ ）

一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下： (i) 求对应于（ ）的齐次方程（ ）的通解 (ii) 令 ，并求出 代入 (i) ，解出 (iii) 将 (ii) 中的 (iv) 将 (iii) 中求出的代入 (ii) 中 y 的表达式，得到 即为所求（ ）的通解．

例 1 求微分方程 的通解． 解 代入公式 则所求的通解为

例 2 求微分方程的通解． 解 把 x 看作是 y 的函数 将原方程改写为： 此为关于未知函数的一阶线性非齐次方程， 其中，它们的自由项 代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有 即所求通解为