高考数学复习与压轴题分类解析 田明泉

研讨的主要问题 浅谈高考招生政策的调整与变化 高考数学复习与压轴题分类解析 选择与填空最后一题 解析几何运算技能与技巧 函数有关的综合问题与解法 互动交流 几点说明 观点 —— 个人意见，仅供参考 例题 —— 山东高考 + 新课标卷 + 变式引申 目的 —— 分析归纳 + 交流分享 + 有所启发

国务院关于深化考试招生制度改革 实施意见 考试招生模式 分类考试 —— 职教与普高，春季与夏季 综合评价 —— 淡化高考分数在录取时的作用 多元录取 ——“ 两依据 ” ， “ 一参考 ” 依据统一高考和高中学业水平考试成绩 参考综合素质评价 减少保送加分项目，照顾边远落后地区 改革 —— 单向的高校批次录取模式 教育公平的相对性与社会性 —— 地域经济的差异、政策的平衡与延续性

《实施意见》的主要热点分析 高考与招生改革趋势与方向 考试的科目与数量的变化 集中命题权（教材等） —— 一纲多卷，分省考试、阅卷、录取 逐渐地改变高考与招生的一体化 鼓励基础教育学校开齐开全课程 命题考试的标准化与专业化 学生与高校的双向选择 学生与课程的双向选择 高考改革源自高考之外 ……

《实施意见》的主要热点分析 减少高考考试科目 语文、数学、外语 —— 减轻负担？ 其余学科学业水平考试成绩 6 选 3 教学 —— 选课走班，降低要求 考试 ——“ 合格考 ” 与 “ 等级考 ” 标准分 —— 两次考与不同学科成绩的等价转换 “ 文理不分科 ”——“ 文理不分班 ” 数学学科的影响最大 教学 —— 课标和教材，分层走班 考试 —— 考纲与说明，试题难度 综合评价 —— 依据与标准 自招延后，取消联考 ——102=89+13 ，时间、科目、成本

浙江方案 3+3= 学生自主从其余 7 门课程选择 3 门作为高考选考科 目。选考科目按比例和等级赋分，每门满分 100 分，选考科目成绩占高考总分 40% 考生选考物理即可报考 ( 包括高校设限选考科目为 物理或没有设限选考科目 ) 的专业 ( 类 )91% ，化学 83.5% ，生物 68.8% ，政治 59.7% ，历史 62.8% ， 地理 60.9% ，技术 70.6% 考生选考任何 3 门，至少可以报考约 66% 的专业 ( 类 ) 。在现行高考中，文科考生只可报考约 34% 的 专业 ( 类 ) 、理科考生只可报考约 66% 的专业 ( 类 )

浙江方案

山东省高考考试政策的主要变化 2015 年英语使用全国新课标 1 卷 听力部分的计分方法参考全国新课标 2 卷 增加 2015 年春季高考招生计划 2017 年前全部高考科目使用全国新课标卷 主要原因 —— 试题安全、命题质量 考试成本、考生流动

2014 全国高考数学 19 套 37 份试卷 1987—— 上海 2002—— 北京 2007—— 广东、山东、海南 2 、宁夏 —— 江苏 2009—— 辽宁、天津、安徽、浙江、福建 2010—— 陕西、黑龙江 2 、湖南、吉林 —— 河南 1 、山西 1 、江西、新疆 2 内蒙古 22012—— 河北 1 、湖北、云南 2 、内蒙古 —— 贵州 2 、四川、重庆、甘肃 2 、 青海 2 、西藏 —— 广西 0 ………………………………………… 2015——18 个省使用全国卷（江西 1 、福建 1 、山东 1 ） 2016——25 个省使用全国卷（或部分科目）

全国新课标数学 1 卷与 2 卷 难度 ——1 卷略高于 2 卷 特点 —— 应用、几何直观、数列递推、创新意识 结构与分值 —— 选择题 12*5=60 ； 填空题 4*5=20 ； 解答题 必作，每道题 12 分 三选一，每道题 10 分 压轴题 ——20 题解几； 21 题函数 三选一的主要区别 —— 1 卷侧重于不等式证明； 2 卷侧重于绝对值不等式求解与证明

14 全国新课标 1 卷 —— 应用题

14 全国新课标 2 卷 —— 应用题

14 全国新课标 1 卷 —— 几何直观

12 全国新课标 1 卷 —— 几何直观

14 全国新课标 1 卷 —— 数列递推

14 全国新课标 2 卷 —— 数列递推

高考数学三轮复习的几个层次 量的积累 —— 覆盖面，清除死角 知识与方法 重点突出 ——6 大模块，以点带面 函数、解几、概率、立几、数列、三角 总结规律 —— 挖掘内核，形成能力 新课与复习、解题与应试、探究与反思 适度扩充 —— 自招保送，更上一层楼 高考为轴，扩充方法、效率为先

数学解题的三个层次 高考数学试题常见的三个层次 常规题 —— 比规范 新意题 —— 看应变 能力题 —— 见功底 数学解题教学的建议 会做做对 —— 基本要求 反思总结 —— 较高要求 迁移引申 —— 努力追求

13 山东理 18—— 易被忽略的角落

史上最难的立几题 ——12 山东

选择填空压轴题的特点 综合性强 —— 基础扎实 灵活性高 —— 解题技巧 运算量大 —— 运算技能 创意出新 —— 创新意识 选填答案 —— 评分客观 得分率低 —— 选拔功能

14 山东数学试卷结构变化的影响 填空题解法与得分策略： 分值加大，比例增加，往年实际得分不高 填空题最后一题常为命题试验田 其它条件不变的情况下，考生得分会下降 填空题的特点与失分的主要原因 只填写最终结果 —— 无步骤分，一错皆错 答案最简且准确 —— 运算到底，题设条件 书写清晰且规范 —— 易于辨识，符合要求 需要注意的几个问题 区间端点取舍；定义域、值域和解集等； 单调区间；标准方程；带圈的数字等

填空最后一题 ——14 山东理

填空最后一题 ——13 山东文理

填空最后一题 ——12 山东文理

周期函数概念的推广 —— 北京 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。 设顶点 P （ x ， y ）的轨迹方程是 ，则 的最小正周期为 ； 的图像与 x 轴所围区域的面积 为 。 在其两个相邻零点间

填空最后一题 ——14 全国 1

填空最后一题 ——14 北京

填空最后一题 ——13 全国卷 1 理

函数图像的对称性 ——13 上海

函数图像的对称性

新意题举例 ——14 全国 1 卷

填空最后一题 —14 福建

新意题举例 ——14 北京

95 年全国奥赛 ——“ 棒小伙原理 ” 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙 大，则称甲不亚于乙。在 100 个小伙子中 ，如果某人不亚于其他 99 人，就称他为 棒小伙子，那么 100 个小伙子中的棒小伙 子最多可能有多少个？

数学与逻辑 —— 三门问题

选择最后一题 ——14 山东文

拓展：线性规划的方法 —— 济南高三

填空最后一题 ——12 江苏

变式的应用 —— 线性规划

选择最后一题 ——14 山东理

选择最后一题 ——13 山东理

多元代数式求值 ——13 湖北

多元代数式求值

选择最后一题 ——12 山东理

选择最后一题 ——14 湖北卷

选择最后一题 ——14 辽宁

选择最后一题 ——13 全国 1 卷

选择最后一题 —— 13 全国 2 卷

直线分三角形面积 ——10 复旦

直线分三角形面积 —— 早稻田

选择最后一题 ——14 福建

函数图象的确定与作法 定义域 —— 图像的宽度 值 域 —— 图像的高度 极值点 —— 图像的局部最高（低）点 凹凸性 —— 图像的形状与弯曲方向

图像的凹凸性 ——14.12 学考

琴生不等式与函数凹凸性

图像的凹凸性 ——14.12 学考

琴生不等式与函数凹凸性

07-14 年山东卷压轴题分布情况 年份 理科理科 07 椭圆函数 文科文科 07 函数椭圆 08 函数抛物线 08 函数椭圆 09 函数椭圆 09 函数椭圆 10 椭圆函数 10 函数椭圆 11 函数椭圆 11 函数椭圆 12 抛物线函数 12 椭圆函数 13 函数椭圆 13 函数椭圆 14 函数抛物线 14 函数椭圆

解析几何中的运算技能与技巧 巧用定义 —— 动圆圆心轨迹 曲 线 系 —— 含参数的几何问题 设而不求 —— 点差法 类比结论 —— 由简到繁 三角代换 —— 两大优势 向量工具 —— 垂直平行旋转 光学性质 —— 最值计算 弦长公式 —— 避免重复运算 切线问题 —— 圆锥曲线的极点与极线

压轴题举例 ——14 山东

压轴题举例 ——14 山东推广

类比圆锥曲线的性质 圆的切线性质与垂径定理 圆的直径上的圆周角性质 A B P O x y A B P O x y A B O x y

类比圆锥曲线的性质 —— 淄博 14.1

压轴题举例 —— 14 山东

压轴题举例 —— 14 山东推广

抛物线焦点弦的基本性质 A B F D E O x y

压轴题举例 —— 上海 2.

切线与切点弦 ——13 山东

圆锥曲线的切线与切点弦 圆锥曲线的切线问题 —— 新课标高考命题热点 过圆 上一点圆的切线方程

14 华约 — 圆锥曲线切线与切点弦

圆锥曲线的极点与极线 当点 P 在圆外时，求过切点的直线方程？ 当点 P 分别在圆内、上、外时，直线与圆的位置 关系？

2011 年山东数学压轴题

解析几何中的计算技能与技巧 联立直线和圆锥曲线 方程 直线被圆锥曲线截得的弦长为： ，（其中 ）.）. （参见 田明泉主编. 《高中全程学习》. 中国人民大学 出版社 第 436 页） 弦长公式

三角代换与参数方程 在椭圆中, 可令 在圆 中，可令

三角形面积的三种计算方法 （其中 ）

向量的应用 —— 图形的面积

13 山东 22—— 压轴题

《函数》部分主要内容 基本技能与方法 集合逻辑与数学语言 —— 学科特色 方程与不等式、 “ 三个二次 ” 与 “ 二分法 ” 常见的基本函数图像及性质 主要题型与分类 函数的单调性与求解单调区间 函数的极值、最值与值域 函数零点和切线有关的问题 函数不等式 函数应用问题

函数知识网络 —— 三个二次 二次不等式 含参的二次不等式在 R 的子集上的解的讨论 二次函数 含参的二次函数在 R 的子集上的最值的讨论 二次方程 二次方程在 R 的子集上的解的讨论（区间根） 常用方法 —— 分离参数法： 二分法： 图像法：

函数知识网络 —— 不等式 有理不等式的解法 序轴法（波浪线法） 转化法（分式不等式转化为整式不等式） 绝对值不等式的解法 定义法： 平方法：不等式两边非负 分段讨论法：按零点分区间讨论 几何法： 常见不等式 均值不等式、三角不等式、柯西不等式

绝对值不等式的几何意义与拓展 均值不等式的拓展

几种函数不等式的类型与解法

函数不等式的类型与解法 二分法 —— 零点、函数值的分布 单调性 —— 函数的性质 数形结合 —— 函数图象与 “ 三个二次 ” 分离参数 —— 转化为函数最值或确界 放缩法 —— 不等式性质 构造法 —— 构造函数 消元法 —— 多元不等式

极值点与驻点 ——14 山东

含参数的二次不等式的讨论 二次项系数是否为零 等于零 —— 确定给定区间上一次或零次不等式的符号 不等于零 大于零 小于零 | | 判别式的符号：有根 —— 比较根的大小 无根 确定给定区间上二次不等式的符号

切线与单调性 ——14 山东压轴题

单调性与不等式 —13 山东压轴题

基本函数不等式及变形 恒成立，求 a 若 若 若

函数不等式 ——14 全国 1 卷

双变数函数不等式 ——10 山东 例1例1

双变数函数不等式 ——13 北京

双参数函数不等式 ——12 全国 1 卷

12 全国 —— 函数应用（文）

欢迎交流 请参阅本人编写的以下文章和书籍 《 2009 年高考数学复习的几点建议》 现代教育 《三套新课标高考数学试题的比较》 中国教育报 《 2013 年新课程高考数学模拟试卷》 光明日报考试 《 2010 年山东高考数学答题分析》 现代教育 《 2010 年全国新课标试题解析》 中国数学教育 《从高考数学试题看数学解题》 现代教育