导数极限考点分析和复习建议

1、高考分析 函数极限和导数是教材中新增添的重要内容，教学总课时约26课时，占整个高中数学新增内容的四分之一强。函数极限和导数是进一步刻画、研究函数的重要工具，为运用函数思想解决实际问题提供了更广阔的前景。纵观2000—2003这四年全国高考新课程卷，导数和函数极限所考查的大多是基本内容，题目总体准度不大，但也反映出导数与其他知识点综合，逐渐加大考查力度的趋向，具体考点分布情况如下：

具体考点分析表 年份 题型 题号 题量 分值 考点 2000 解答题 20 1 12 求最值应用题 2001 选择题 8 5 三次函数极值 2002 曲线的切线 2003 7 19 单调性 03江苏卷 21 切线 导数与 不等式

1、高考分析 第一层次主要考查导数的概念、求导的公式和求导的法则； 第二层次是导数的简单应用包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等； 第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起. 强调考查运用导数知识研究函数性质，解决实际问题的能力。对导数知识的考查由基本知识点和解决问题的辅助地位上升为分析问题和解决问题不可缺少的工具，考查的层次也由过去的认知层次上升为对概念内涵及相关知识有机综合的较高层次。

2、专题例析 求函数的极值 求实际问题的最值 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究曲线的切线 导数与其他知识的综合

2.1求函数的极值 题1 （ 01全国新课程卷题8）函数 有 题2（01全国新课程卷文题21）已知函数 题1 （ 01全国新课程卷题8）函数 有 （A）极小值1 极大值1 （B）极小值－2 极大值3 （C）极小值－2 极大值2 （D）极小值－1 极大值3 在点x=1处有极小值－1，试确定a，b的值，并求 的单调区间 题2（01全国新课程卷文题21）已知函数

2.2 求实际问题的最值 题3 （‘2000/全国新课程卷理20）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求它的最大容积？

2.3利用导数研究函数的单调性 题4 （03全国新课程卷题19）设a>0,求函数 ，x∈（0，+∞）的单调区间。

2.4利用导数研究曲线的切线(1) 题5（02全国新课程卷题20）已知a>0，函数

2.4利用导数研究曲线的切线(2) 题6 （03全国新课程卷文18）已知抛物线C1: y=x2+2x,C2: y=-x2+a,如果直线L同时是C1和C2的共切线，公切线上两 个切点之间的线段，称为公切线段。 ①a取什么值时，C1 和C2 有且只有一条公切线？ 写出公切线的方程。 ②若C1 和C2 有两条公切线，证明相应的两条公切 线段互相平分。

2.5导数与其他知识的综合 题7 （03江苏卷21题 ）已知a>0，n为正整数

3、复习建议 着眼基础知识，注重常规训练 辨析概念手段，重视等价变形 沟通新的联系，注重梳理整合 自觉运用导数，更新解题方法 接轨高等数学，提高思维能力

3.1着眼基础知识，注重常规训练 近四年新课程卷对“导数极限”的考查着眼于基本知识和基本技能，考点集中在求函数的极值、求应用题最值、曲线的切线、函数单调性等常规题型，因此导数与极限的复习应定位于立足基础。由于这部分知识具有相对独立性，导数公式使用频率较低，故因求导公式和求导法则使用错误而导致失分颇为常见，所以在导数与极限的复习中应夯实基础知识，注重常规题型。

3.1着眼基础知识，注重常规训练 求函数极值 求应用题最值 主要考点： 切线问题 函数单调性问题 基本技能：导数公式、导数运算法则

3.2辨析概念本质，重视等价变形 3.2.1关于四种概念及其关联， 四种概念即函数 在x0 处有定义，有极限， 连续，可导； 它们的载体为两种极限模式：

3.2辨析概念本质，重视等价变形 3.2.2关于导数定义的变式 题8

3.3沟通新旧联系，注重梳理整合 由于导数内容放在高三学习，与高一函数间隔跨度较大，因此容易使导数内容 游离于函数主干内容之外，不会自觉运用导数知识为工具来研究函数，这就需要重新梳理和整合知识，把导数知识融入到原有知识体系中。

3.3沟通新旧联系，注重梳理整合 3.3.1 与函数的整合 题9 求函数 最小值.

3.3沟通新的联系，注重梳理整合 题10 ( 2001上海卷题7)用计算器验算函数 （x>1）的若干个值,可以猜想，下列命题中的真 命题只能是

3.3沟通新旧联系，注重梳理整合 本题所考查函数 为超越函数，新课程卷考查的函数由幂函数、对数、指数函数逐渐扩大到由上述函数组装起来的较复杂的函数。要利用导数知识处理这些问题，按考纲要求，必须掌握 的求导公式和函数和、差、积、商的导数和复合函 数的求导法则。

3.3沟通新的联系，注重梳理整合 与切线的整合： 求切线的方法多样化 求切线的曲线多样化，由普通二次曲线推广到 三次函数，反比例函数等其他函数 切线问题的深化，即切点不在曲线上的情形。 圆 的切线方程 的类比

3.3沟通新的联系，注重梳理整合 圆 的切线方程 类比出椭圆 ，双曲线 ，抛物线 相应的切线为

3.3沟通新的联系，注重梳理整合 上一点，过A、B作抛 题11 点A，B为抛物线 物线切线 解：∵ 设 A ( ) B 则 方程 方程 …… ① 方程 方程 联立方程消去x得： 即： 由①可得

3.3沟通新的联系，注重梳理整合 本题的背景为如下性质：过抛物线上二点A、B的两垂直切线的交点必在准线上且AB必为焦点弦。以圆锥曲线切线为背景命制考题应该是颇有新意的

3.3沟通新的联系，注重梳理整合 3.3.2 与渐近线的整合 题12 试确定并说明函数 的渐近线

3.3沟通新的联系，注重梳理整合 解：设渐近线为 则由渐近线定义应有 ∴k-1=0 b=0 得k=1 b=0 ∴渐近线为

3.3沟通新的联系，注重梳理整合 评析：渐近线是双曲线的概念，由于在传统教材中，函数极限缺位，因此，对渐近线概念只能描述，函数极限进入新教材后，渐近线完全可以作为研究对象，本题研究熟悉函数 渐近线，作为函数极限应用的良好素材。